八年级数学上册 第一章 勾股定理阶段专题复习课时练 （新版）北师大版.doc

勾股定理【核心考点训练】考点一:勾股定理的应用1.如图,等腰三角形abc中,ab=ac,ad是底边bc上的高,若ab=10,bc=12,则ad的长度为()a.12b.10c.8d.6【解析】选c.根据等腰三角形的三线合一可得bd=cd=12bc=6,在rtabd中,由勾股定理得ab2=bd2+ad2,所以ad=8.故选c.2.为了向建国六十四周年献礼,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第一、二步骤是:先裁下了一张长bc=20cm,宽ab=16cm的长方形纸片abcd,将纸片沿着直线ae折叠,点d恰好落在bc边上的f处,请你根据步骤解答下列问题:(1)找出图中fec的余角.(2)计算ec的长.【解析】(1)由图可得fec的余角为cfe,由同角的余角相等可得fec的余角还有baf.(2)设ec=xcm,则有ef=de=(16-x)cm,af=ad=20cm.在rtabf中,bf2=af2-ab2=202-162=122,所以bf=12cm.即fc=bc-bf=20-12=8(cm),在rtefc中,ef2=fc2+ec2,所以(16-x)2=82+x2,解得x=6.所以ec的长为6cm.【专家点评】1.命题角度:本部分主要是应用勾股定理解决一些高度、长度或距离的问题.2.解题关键:勾股定理是反映直角三角形中三边关系的定理,是数学中从形到数的一个重要体现,根据勾股定理求线段长、距离、高度、图形面积等在各领域有着广泛的应用,勾股定理的应用是中考中重要考点.其中勾股定理是初中求线段长度的常用依据,在求线段长度的过程中,经常要设未知数,利用方程求解.3.特别提醒:利用勾股定理计算三角形的边长时要注意以下三点:(1)注意勾股定理的使用条件:必须是直角三角形.(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.(3)注意勾股定理公式的变形.考点二:利用三边关系判定直角三角形1.在abc中,ab=6,ac=8,bc=10,则该三角形为()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.等腰直角三角形【解析】选b.在abc中,ab=6,ac=8,bc=10,推断出62+82=102,由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形,故选b.2.下列三角形中,可以构成直角三角形的是()a.三边长分别为2,2,3b.三边长分别为3,3,5c.三边长分别为4,5,7d.三边长分别为1.5,2,2.5【解析】选d.选项a,由于22+22=832=9,故错误;选项b,由于32+32=1852=25,故错误;选项c,由于42+52=4172=49,故错误;选项d,由于1.52+22=6.25=2.52,故正确.【专家点评】1.命题角度:本部分主要是利用三边关系来判别三角形是否为直角三角形.2.解题关键:利用三边关系判定直角三角形是从边的方面来判断直角三角形,只需判断三角形三边是否满足a2+b2=c2(c为最大边)即可,而直角三角形的判定在数学及其他学科某些领域的研究中都起着非同寻常的作用.3.特别提醒:判断直角三角形时要注意以下三点:(1)这一方法与勾股定理的条件和结论正好相反,值得注意的是,在这一方法中不能用“斜边”“直角边”等字样.(2)要判断一个三角形是否是直角三角形,先确定最大边c,再验证c2与a2+b2是否相等.(3)学会识别勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,也就是说,在给定的三个正整数中,其中最大的数的平方等于其他两数的平方和,这组数就是勾股数,如3,4,5就是勾股数.考点三:利用勾股定理解决实际问题1.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为()a.600mb.500mc.400md.300m【解析】选b.小明去书店共有三种走法:(1)ac书店;(2)ab书店;(3)abd书店.因为曙光路与环城路垂直,所以bde为直角三角形,所以bdbe,所以(3)的路程大于(2)的路程,因此只比较(1)(2)的路程即可.在rtabc和rtedb中,因为cab=bed=90,acbd,acb=ebd,ab=ed,所以rtabcrtedb,所以be=ac=300,而bc2=3002+4002,所以bc=500,所以ec=500-300=200,所以(1)的路程为300+200=500(m);(2)的路程为400+300=700(m),所以(1)的路程最短为500m.2.如图,圆柱的底面周长为6cm,ac是底面圆的直径,高bc=6cm,点p是母线bc上一点,且pc=23bc.一只蚂蚁从a点出发沿着圆柱体的表面爬行到点p的最短距离是()a.(4+6)cmb.5 cm c.6 cmd.7 cm【解析】选b.画出圆柱的侧面展开图,根据高bc=6cm,pc=23bc,得pc=236=4(cm),在rtacp中,根据勾股定理求出ap的长,即蚂蚁从a点出发沿着圆柱体的表面爬行到点p的最短距离:ap2=ac2+cp2,所以ap2=32+42=52,所以ap=5cm.【专家点评】1.命题角度:本部分主要是利用勾股定理解决最短路径问题及解决简单的实际问题.如求圆柱侧面上两点的最短路径.求正方体表面上两点间的最短路径等.2.解题关键:勾股定理和直角三角形的判别在现实世界中有着较为广泛的应用,如古埃及人利用结绳的方法作出直角,利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线等.在这些应用问题中,正确地作出图形,找出直角三角形并确定斜边是解题的关键.3.特别提醒:运用勾股定理及其逆定理解决实际问题应注意以下两点:(1)实际问题转化为平面直角三角形来解决时,应明确实际问题中的量与直角三角形边的长度的关系.(2)在解决实际问题的过程中,展开成平面图形时,应分清对应点、线的位置关系.立体图形中的最短距离区别于平面图形中的最短距离,一定要先把立体图形展成平面图形,再利用两点之间线段最短的性质求解.【中考真题训练】训练点一:勾股定理及其应用1.如图,在直角abc中,bac=90,ab=8,ac=6,de是ab边的垂直平分线,垂足为d,交bc于点e,连接ae,则ace的周长为()a.16b.15c.14d.13【解析】选a.在rtabc中,bac=90,ab=8,ac=6,所以bc2=ab2+ac2=102,即bc=10.因为de是ab边的垂直平分线,所以ae=be.lace=ac+ce+ea=ac+ce+be=ac+bc=16.2.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为()a.7b.6c.5d.4【解析】选c.如图,因为等腰三角形abc中,ab=ac,ad是bc上的中线,所以bd=cd=12bc=3,ad同时是bc上的高线,所以ab2=ad2+bd2=52,即ab=5.3.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书周髀算经中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,bac=90,ab=3,ac=4,点d,e,f,g,h,i都在矩形klmj的边上,则矩形klmj的面积为()a.90b.100c.110d.121【解析】选c.如图,过b作bnkl于n,则bnfcab,所以bn=ac=4,nf=ab=3,同理fl=4.所以kl=kn+nf+fl=10,kj=ke+ed+dj=11,所以矩形klmj的面积为1011=110.4.如图,在rtabc中,acb=90,ac=3,bc=4,以点a为圆心,ac长为半径画弧,交ab于点d,则bd=_.【解析】因为ac=3,bc=4,所以ab2=ac2+bc2=9+16=52,即ab=5.因为以点a为圆心,ac长为半径画弧,交ab于点d,所以ad=ac,所以ad=3,所以bd=ab-ad=5-3=2.答案:25.如图,在rtabc中,b=90,沿ad折叠,使点b落在斜边ac上,若ab=3,bc=4,则bd=_.【解析】设b点的对应点为b.连接db,由勾股定理得ac=5.又ab=ab,所以bc=5-3=2,设db=db=x,则dc=4-x,在rtdbc中,利用勾股定理得x2+22=(4-x)2,解得x=32,即bd=32.答案:326.如图,在等腰直角三角形abc中,abc=90,d为ac边上的中点,过d点作dedf,交ab于e,交bc于f,若ae=4,fc=3,求ef的长.【解析】连接bd,因为在等腰直角三角形abc中,d为ac边上的中点,所以bdac,bd=cd=ad,abd=45,c=45.又dedf,所以fdc=edb,所以edbfdc,所以be=fc=3,所以ab=7,则bc=7,所以bf=4.在直角三角形ebf中,ef2=be2+bf2=32+42,所以ef=5.训练点二:利用三边关系判定直角三角形7.在直角三角形中,满足条件的三边长可以是_(写出一组即可).【解析】例如,3,4,5(答案不唯一).答案:3,4,5(答案不唯一)训练点三:勾股定理在实际生活中的应用8.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心o到三条支路的距离相等来连接管道,则o到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心o为点)是()a.2mb.3mc.6md.9m【解析】选c.如图,rtabc中,ac=6m,bc=8m,则ab2=62+82=102,即ab=10(m).设o到支路的距离为xm,连接ao,bo,co.因为sabc=saob+sboc+saoc,所以1268=1210x+128x+126x,解得x=2(m),则3x=6m,即o到三条支路的管道总长是6m.9.如图,已知在rtabc中,acb=90,ab=4,分别以ac,bc为直径作半圆,面积分别记为s1,