八年级数学下册《因式分解》全章学案 湘教版.doc

1.1 多项式的因式分解一、自主学习 （阅读课本p2-3完成下列填空）1、若f=gh，那么g、h叫做f的 。2、什么是因式分解？3、请写出20以内的质数。4、12与15的最大公因数为 。二、合作交流1、你能用几种不同的方法计算1003210022，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。2、你能尝试把a2b2化成几个整式的积的形式吗？3、概念分析整式的积 多项式 多项式 整式的积(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)2 =a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2m(a+b)=am+bm am+bm =m(a+b)整式乘法 一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。4、因式分解与整式乘法有什么关系？三、合作探究1、算一算 (1)1012992= (2)872+8713 =2、下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ).12234.(2)(2)24.42814(2)-1 .121212()3、下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).(5)(1)245 .221()()-1.210252(5)2 .222() 4、下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).()22 .(3)(3)29.() .2()5、找出各组数的最大公因数（1）2、12、8 最大公因数 （2）15、9、27 最大公因数（3）36、12、24最大公因数6、判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)()2222；(2)216(4)(4)；(3)2-45(2)21；(4)221(1)2；(5)2251(5)(5)1；(6)256(6)(1).7、若在因式分解中有 则：m= n=四、学习小结你知道因式分解的定义吗?你会验证因式分解是否正确吗?你会利用因式分解快速解决某些问题呢?五、效果评价1、判断(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解. ( )2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)22+y21(1)(1)；(2)223()() 3；(3)22n2-22()22()；(4)9(21)9(1)(1)；(5)23(23)；(6)922(3+)(3). 1.2 提公因式法（第一课时）一、自主学习1、什么叫做因式分解？它与整式的乘法有何区别？2、一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是,求这块场地的面积？你能用几种方法计算？二、合作交流阅读课本p5-8页回答下列问题：1）如何确定一个多项式的公因式？系数 字母 指数 2）提公因式法分解因式的一般步骤是什么？3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？三、合作探究1、写出下列多项式各项的公因式（1）4kx8ky; (2) 5y3+20y2 (3) 8a3b212ab3c+2ab2、做课本第8页练习2（注意：提公因式不要漏掉“+1”；当多项式第一项是负数时，通常先提出“”号，多项式的各项都要变号）四、拓展延伸1、分解因式4x2y+2xy2xy的结果是a.4（x2+2xy2xy）b.xy（4x+2y1）c.xy（4x2y+1）d.xy（4x2y）2、利用因式分解进行计算： 1210.13+12.10.9121.213、把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式.4、利用分解因式计算：（1）3200432003 （2）（2）101+（2）100.五、学习小结1、确定一个多项式的公因式2、提公因式法的方法？六、效果评价1、观察下列各式：12+(12)2+22=9=3222+(23)2+32=49=7232+(34)2+42=169=132你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理.2、课本p8页，练习3。课本p10页,习题1.2 a 11.2 提公因式法的学案（第二课时）一、自主学习1、复习：多相式的公因式是 多项式的公因式是 2、 猜想：多项式的公因式是 结论：多项式的公因式的形式可以是： 和二、合作交流1、指出下列多项式的公因式，然后进行因式分解1） 2）2、小结：多项式分解因式的一般步骤：三、合作探究1、在“ ”上填上适当的“+”“-”号，使等式成立。1）= 4）= 2）= 5）= 3）= 6）= 2、小结： （n为偶数）（n为奇数）3、下列多项式可以运用提公因式法因式分解吗？1） 2） 3）四、学习小结1、我学会了2、我还有疑问五、效果评价把下列多项式因式分解。1) 2) 3) 4) 5) 1.3 公式法（第一课时）一、自主学习1、回顾平方差公式（a+b）（ab）= ，左边是 ，右边是 ，把这个等式反过来就是 利用平方差公式将多项式a2b2 变为了两个因式相乘的形式这个过程为 这种方法叫公式法2、请将多项式x216因式分解（提示：16是 的平方）：x216= 。3、公式讲解：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.二、合作交流因式分解：（1） (2 ) 25 x2解：原式=（ ）22 解：原式=（ ）2= = 提示：这两个题目是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式。（3）9（m +n）2（mn）2 （4）2x38x解：原式=3（m +n）2（mn）2 解：原式=2x（ ）= =2x（ ）（ ）=（3 m +3n+ mn）（3 m +3nm +n）= = 提示：（3）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，（4）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.（5）x4y4 （6）x22提示：（5）x4可写为（x2）2 （6）2可写为（）2三、合作探究基础练习1.判断正误（1）x2+y2=（x+y）（xy）;（2）x2y2=（x+y）（xy）;（3）x2+y2=（x+y）（xy）; （4）x2y2=（x+y）（xy）.2.把下列各式分解因式（课本p14练习2）（1） （2）（3） （4）（5） （6）提高练习25a2+16b2 49（2a3b）29（a+b）2.解方程x21=0四、学习小结我们已学习过的因式分解方法有 和运用 公式的公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是 ，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五、效果评价p15.3 p17习题1.3 a.11.3 公式法（第二课时）一、自主学习 1、考一考=，=2、想一想：二、合作交流：1、 因式分解的完全平方公式： = =2、 观察思考，分析特征：怎样的多项式是完全平方式？（教师引导学生讨论得出论）只有是完全平方式，才能利用完全平方公式分解因式；三、合作探究1：辨一辨：请判断下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1) （ ）(2) （ ）(3) （ ）(4) 25x410x2+1 （ ） （5）16a2+1. （ ） （6）x2+xy+y2； （ ） （7）2-4x+1 （ ） （8）-2x-1 （ ）2：学一学：把上题中的完全平方式分解因式：（1） （2）（3） （4）25x410x2+1（5）(x+y)2+8(x+y)+163、练一练1：（部分学生板书，师生共同评价）（1） （2） （3） （4）（5）4、深入学习，巩固规律5、练一练3：分解因式：（1） （3）四、学习小结五、效果评价 1、你从下列单项式中找出三项,把它们配成完全平方式;、 4、 9、-12ab、 4、 9、 6a、20xy、 25、-a-20xy、a、2、分解因式：（1）2ax2-12axy+18ay2（2）（3）(x+y)2+8(x+y)+163、分解因式4、分解因式1.4 十字相乘法（第一课时）一、 自主学习1、 引入：计算：(1) (x+2)(x+1) = (5) (x+2)(x+3) = (2) (x+2)(x1)= (6) (x+2)(x3) = (3) (x2)(x+1)= (7) (x2)(x+3) = (4) (x2)(x1)= (8) (x2)(x3) = 小结：在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = 即有： =(x + a)(x + b)2、 新知x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b)x +ax +bax + bx = (a+b)x定义：二、合作交流1、 将下列多项式因式分解。（1） x2 2x 3 （2 ）x2 + 4x + 32、拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：6= ； 12= ； 24= ；-6= ； -12= ； -24= .练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 7x + 12； (2) x24x12； (3) x2 + 8x + 12；3、归纳：要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: x +ax +bax + bx = (a + b)x 由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.三、合作探究用十字相乘法来因式分解(1) x2 11x12； (2) x2 + 13x + 12；(3) x2 x12；四、学习小结我学会了我还有疑问五、效果检测将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 3x + 2； (2) x22x35；因式分解十字相乘法（第二课时）一、 自主学习1、 复习将下列多项式因式分解1） x2+6x72=2） x210xy56y2 =2、 十字相乘法的定义：二、 合作交流1、把37x2 + 38x + 1因式分解. 用画十字交叉线方法表示各种情况2、把2x27x+3因式分解. 用画十字交叉线方法表示各种情况3、 小结十字相乘法的步骤：4、 练习1）2x2 + 3x + 1 用画十字交叉线方法表示各种情况2）5x2 + 6x + 1 用画十字交叉线方法表示各种情况3）2x2 + 13x + 15 用画十字交叉线方法表示各种情况4) 2x2 - x - 15 用画十字交叉线方法表示各种情况三、 合作探究用十字相乘法来因式分解(1)2x25x12； (2)3x25x2； (3)6x213x+5； (4)7x219x6；（5）2(a+b) 2+(a+b)(ab)6(ab) 2四、 学习小结我学会了我还有疑问因式分解总复习一、自主学习：复习问题：1、把一个多项式因式分解指的是把一个_化成_ 的形式。2、分解因式的主要方法有提取公因式法和运用公式法。其中(1)找最大公因式的一般有三看：一看_，找出系数的_；二看_；最后看_，找出相同字母的_。（2）在分解因式时常用的公式a2b2 =a2+2ab+b2 =a22ab+b2 =3、从练习中我们可以发现（1）对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式；（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解；（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分解。(4) 对于二次三项式,不能用完全平方公式分解, 考虑应用十字交叉法二、合作交流：1、判断下列分解因式的正误（1）1y4 = (1y2) (1+y2)(2) x2x5+ x = x(xx4+ 1)(3) x2+x+1=(x+1)2(4) 2n2nmn=2n(nmn)(5) 4b2c2-(b2+c2-a2)2=（2bc+ b2+c2-a2）（2bc- b2-c2+a2）2、将下列各式分解因式(1)x4-9x2= =(2)-5x3+5x2+10x = =(3)(a+b)(c-d)-2(a+b)(c+d) = =(4)(a-b)(a-c)+(b-a)(b-c) = =(5)8x2-2y2= =(6)x5-x3= =(7)9(x+y)2-(x-y)2= =(8) (x2+4)2-16x2= =(9) 2a2(a+b)2-3(a+b)3=(10)m2(m+n)2-n2(m-n)2= =三、合作探究：1、当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式2、248-1可以被60和70之间的某两个数整除，求这两个数。（提示26=64）四、效果检测:课本p21 c 1、2因式分解综合练习一、 自主学习1、复习：我们已经学习 种因式分解，名称是：2、下列各个多项式用哪