高考数学大一轮复习 第九篇 统计与统计案例 第2节 用样本估计总体课件 理.ppt

第2节用样本估计总体 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 频率分布直方图提供了样本数据的哪些信息 提示 各组数据的频率 2 茎叶图提供了样本数据的哪些信息 提示 全部的原始数据 知识梳理 1 作频率分布直方图的步骤 2 频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 就得频率分布折线图 2 总体密度曲线 随着的增加 作图时所分的组数增加 减小 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 即总体密度曲线 中点 样本容量 组距 3 茎叶图 4 样本的数字特征 拓展提升 1 频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1 纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果 2 在频率分布直方图中 各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数据平均值的估计值 3 在频率分布直方图中 垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分 则其对应的数据即为中位数的估计值 对点自测 1 某年级120名学生在一次百米测试中 成绩全部介于13秒与18秒之间 将测试结果分成5组 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 得到如图所示的频率分布直方图 如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1 3 7 6 3 那么成绩在 16 18 的学生人数是 c a 40 b 50 c 54 d 60 c 2 一个频率分布表 样本容量为50 不小心被损坏了一部分 只记得样本中数据在 20 60 上的频率为0 6 则估计样本在 40 50 50 60 内的数据个数之和是 解析 设在 40 50 50 60 内的数据个数之和为m 则4 5 m 50 0 6 解得m 21 a 19 b 20 c 21 d 22 3 某学生在一门功课的22次考试中 所得分数如茎叶图所示 则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 b a 117 b 118 c 118 5 d 119 5 解析 极差为98 56 42 中位数为76 其和为118 4 某市环保总站发布2017年1月11日到1月20日的空气质量指数 数据如下 153 203 268 166 157 164 268 407 335 119 则这组数据的中位数是 答案 184 5 解析 从小到大排序 即119 153 157 164 166 203 268 268 335 407 中位数为中间两数的平均数 即 184 5 5 下列说法正确的是 在频率分布直方图中 小矩形的高表示频率 频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1 茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 一组数据的方差越大 说明这组数据的波动越大 答案 考点专项突破在讲练中理解知识 频率分布直方图 考点一 例1 1 导学号18702538某校100名学生期中考试成绩的频率分布直方图如图所示 其中分组区间为 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 则图中a的值为 解析 1 由题意知 组距为10 根据频率分布直方图得 0 04 0 03 0 02 2a 10 1 故a 0 005 答案 1 0 005 2 为了调查学生每天零花钱的数量 钱数取整数元 以便引导学生树立正确的消费观 样本容量为1000的学生消费钱数的频率分布直方图如图所示 则样本数据落在 6 14 内的频数为 解析 2 根据题意 得样本数据落在 6 14 内的频率是1 0 02 0 03 0 03 4 0 68 所以样本数据落在 6 14 内的频数是1000 0 68 680 答案 2 680 反思归纳 1 纵轴上的数据是频率除以组距 2 各组的频率之和等于1 3 各组的频率等于各组的频数除以样本容量 即时训练 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查 发现其月用电量都在50到350度之间 频率分布直方图如图所示 解析 1 依题意有 0 006 0 0036 0 0024 2 0 0012 x 50 1 得x 0 0044 2 月用电量落在区间 100 250 内的户数为 0 0036 0 006 0 0044 50 100 70 答案 1 0 0044 2 70 1 直方图中x的值为 2 在这些用户中 月用电量落在区间 100 250 内的户数为 茎叶图 考点二 例2 1 导学号18702539某中学从甲 乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛 他们取得的成绩 满分100分 的茎叶图如图所示 其中甲班学生成绩的众数是85 乙班学生成绩的中位数是83 则x y的值为 解析 1 由茎叶图可知 茎为8时 甲班学生成绩对应数据只能是80 80 x 85 因为甲班学生成绩众数是85 所以85出现的次数最多 可知x 5 由茎叶图可知 乙班学生成绩为76 81 81 80 y 91 91 96 由乙班学生成绩的中位数是83 可知y 3 所以x y 8 故选b a 6 b 8 c 9 d 11 解析 2 乙的成绩集中在80分数段 因此乙的平均分数大 标准差小 故选d 反思归纳 1 注意从茎叶图得出样本数据 2 注意利用茎叶图比较 不一定计算 两组数据的平均程度 集中与分散程度 即时训练 1 导学号18702540如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为 a 2 5 b 5 5 c 5 8 d 8 8 解析 1 由中位数的定义可知x 5 由 y 5 8 30 9 24 5 16 8 解得y 8 故选c 2 甲 乙两名学生 六次数学测试成绩 百分制 如图所示 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 甲同学成绩的平均分比乙同学成绩的平均分高 甲同学成绩的平均分比乙同学成绩的平均分低 甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差上面说法正确的是 a b c d 用样本估计总体 考点三 例3 导学号18702541 2016 四川卷 我国是世界上严重缺水的国家 某市政府为了鼓励居民节约用水 计划调整居民生活用水收费方案 拟确定一个合理的月用水量标准x 吨 一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费 超出x的部分按议价收费 为了了解居民用水情况 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9组 制成了如图所示的频率分布直方图 解 1 由频率分布直方图知 月均用水量在 0 0 5 中的频率为0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 中的频率分别为0 08 0 20 0 26 0 06 0 04 0 02 由0 04 0 08 0 5 a 0 20 0 26 0 5 a 0 06 0 04 0 02 1 解得a 0 30 1 求直方图中a的值 2 设该市有30万居民 估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数 并说明理由 3 若该市政府希望使85 的居民每月的用水量不超过标准x 吨 估计x的值 并说明理由 解 2 由 1 知 100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0 06 0 04 0 02 0 12 由样本的频率分布 可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000 0 12 36000 3 因为前6组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 20 0 26 0 15 0 88 0 85 而前5组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 20 0 26 0 73 0 85 所以2 5 x 3 由0 3 x 2 5 0 85 0 73 解得x 2 9 所以 估计月用水量标准为2 9吨时 85 的居民每月的用水量不超过标准 反思归纳 1 以样本的频率分布估计总体的频率分布 以各组的频率估计各组的概率即为样本估计总体的思想的体现 2 从频率分布直方图估计总体的均值的方法是以各组的中间值乘以各组的频率之和进行的 估计中位数的方法是找一条垂直横轴的直线 该直线等分频率分布直方图的面积 该直线对应的数据即为中位数的估计值 即时训练 2016 北京卷 某市居民用水拟实行阶梯水价 每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元 立方米收费 超出w立方米的部分按10元 立方米收费 从该市随机调查了10000位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如图频率分布直方图 1 如果w为整数 那么根据此次调查 为使80 以上居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为多少 解 1 由用水量的频率分布直方图知 该市居民该月用水量在区间 0 5 1 1 1 5 1 5 2 2 2 5 2 5 3 内的频率依次为0 1 0 15 0 2 0 25 0 15 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85 用水量不超过2立方米的居民占45 依题意 w至少定为3 2 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 当w 3时 估计该市居民该月的人均水费 解 2 由用水量的频率分布直方图及题意 得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表 根据题意 该市居民该月的人均水费估计为4 0 1 6 0 15 8 0 2 10 0 25 12 0 15 17 0 05 22 0 05 27 0 05 10 5 元 备选例题 例1 2016 福建省高中毕业班质检 随着移动互联网的发展 与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷 现从使用a和b两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家 对他们的 平均送达时间 进行统计 得到频率分布直方图如图 1 试估计使用a款订餐软件的50个商家的 平均送达时间 的众数及平均数 解 1 依题意可得 使用a款订餐软件的50个商家的 平均送达时间 的众数为55分钟 使用a款订餐软件的50个商家的 平均送达时间 的平均数 15 0 06 25 0 34 35 0 12 45 0 04 55 0 4 65 0 04 40 分钟 2 根据以上抽样调查数据 将频率视为概率 回答以下问题 能否认为使用b款订餐软件 平均送达时间 不超过40分钟的商家达到75 如果你要从a和b两款订餐软件中选择一款订餐 你会选择哪款 并说明理由 解 2 使用b款订餐软件 平均送达时间 不超过40分钟的商家的比例估计值为0 04 0 20 0 56 0 80 80 75 故可认为使用b款订餐软件 平均送达时间 不超过40分钟的商家达到75 选b款订餐软件 理由如下 使用b款订餐软件的50个商家的 平均送达时间 的平均数 15 0 04 25 0 2 35 0 56 45 0 14 55 0 04 65 0 02 35 分钟 40分钟 所以选b款订餐软件 例2 2016 全国 卷 某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示1台机器在购买易损零件