高中数学 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修22.ppt

3 1 1数系的扩充和复数的概念 1 了解数系的扩充过程 2 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 3 了解复数的代数表示法 1 复数的概念及代数表示法 1 定义 我们把集合c a bi a b r 中的数 即形如a bi a b r 的数叫做复数 其中i叫做虚数单位 全体复数所成的集合c叫做复数集 规定i i 1 2 代数表示 复数通常用字母z表示 即z a bi a b r 这一表示形式叫做复数的代数形式 对于复数z a bi 以后不作特殊说明 都有a b r 其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部 2 复数相等的充要条件在复数集c a bi a b r 中任取两个数a bi c di a b c d r 我们规定 a bi与c di相等的充要条件是a c 且b d 温馨提示应用两复数相等的充要条件时 首先要把 左右两边的复数写成代数形式 即分离实部与虚部 然后列出等式求解 温馨提示实数集r是复数集c的真子集 即r c 至此 我们学过的有关数集的关系为 n n z q r c 做一做3 1 下列命题是假命题的是 a 自然数集是非负整数集b 实数集与复数集的交集为实数集c 实数集与虚数集的交集是 0 d 纯虚数与实数集的交集为空集解析 本题主要考查复数集合的构成 即复数的分类 复数可分为实数和虚数两大部分 虚数中含有纯虚数 因此 实数集与虚数集没有公共元素 故选项c中的命题是假命题 答案 c 做一做3 2 a 0 是 复数z a bi a b r 为纯虚数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 由复数的概念知 若a bi为纯虚数 则必有a 0成立 即为必要条件 但若a 0 且b 0 则a bi 0为实数 即不是充分条件 故选b 答案 b 1 数系扩充的一般原则是什么 剖析 数系扩充的脉络是 自然数系 整数系 有理数系 实数系 复数系 用集合符号表示为n z q r c 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关 数系扩充后 在新数系中 原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用 加法和乘法都满足交换律和结合律 乘法对加法满足分配律 一般来说 数的概念在扩大时 要遵循如下几项原则 1 增添新元素 新旧元素在一起构成新数集 2 在新数集里 定义一些基本关系和运算 使原有的一些主要性质 如运算定律 依然适用 3 旧元素作为新数集里的元素 原有的运算关系保持不变 4 新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾 2 如何理解虚数单位i 剖析 在实数集中 有些方程是无法求解的 例如x2 1 0 为解决解方程的需要 人们引进一个新数i 叫做虚数单位 且规定 1 它的平方等于 1 即i2 1 2 i与实数之间可以运算 亦适合加 减 乘的运算律 由于i2 0与实数集中a2 0 a r 矛盾 所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立 注意 复数没有大小之分 但有相等与不相等之分 3 如何理解复数的分类 剖析 1 复数写成代数形式z a bi a b r 后 才可以根据实部 虚部分类 2 各类特殊的复数可由实部 虚部所满足的条件确定 应用时由此列出方程或不等式 组 即可 3 准确把握复数集中各子集间的关系 有利于对复数概念的理解 题型一 题型二 题型三 题型四 复数的概念和性质 例1 判断下列说法是否正确 1 当z c时 z2 0 2 若a r 则 a 1 i是纯虚数 3 若a b 则a i b i 分析 解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行判断 解 1 错误 当且仅当z r时 z2 0成立 若z i 则z2 1 0 2 错误 当a 1时 a 1 i 1 1 i 0 i 0 r 3 错误 两个虚数不能比较大小 题型一 题型二 题型三 题型四 反思数集从实数集扩充到复数集后 某些结论不再成立 如两数大小的比较 某数的平方是非负数等 但i与实数的运算及运算律仍成立 变式训练1 有下列四个命题 1 方程2x 5 0在自然数集n中无解 2 方程2x2 9x 5 0在整数集z中有一解 在有理数集q中有两解 3 x i是方程x2 1 0在复数集c中的一个解 4 x4 1在实数r中有两解 在复数集c中也有两解 其中正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 一般地 两个复数只能相等或不相等 不能比较大小 2 复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据 是复数问题实数化的桥梁 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在利用复数的代数形式对复数分类时 关键是根据分类标准列出实部 虚部应满足的关系式 等式或不等式 组 求解参数时 注意考虑问题要全面 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题