高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式课件 北师大版选修45.ppt

2排序不等式 1 了解排序不等式的数学思想和背景 2 了解排序不等式的结构与基本原理 3 理解排序不等式的简单应用 学习目标 1 排序不等式的应用 重点 2 排序不等式与不等式有关知识的综合 难点 学法指要 预习学案 1 设实数a b c d满足下列三个条件 d c a b c d a d b c 请将a b c d按从小到大的顺序排列 2 已知x 2y 1 则x2 y2的最小值为 a c d b 1 定理1 设a b和c d都是实数 如果a b c d 那么 此式当且仅当a b 或c d 时取 号 2 排序不等式 设有两个有序实数组a1 a2 an及b1 b2 bn则 顺序和 乱序和 反序和 其中j1 j2 jn是1 2 3 n的 上式当且仅当 或 时取 号 ac bd ad bc a1b1 a2b2 anbn a1bj1 a2bj2 anbjn a1bn a2bn 1 anb1 任一排列方式 a1 a2 an b1 b2 bn 1 已知两组数a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 将bi i 1 2 3 4 5 重新排列记为c1 c2 c3 c4 c5 则a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分别是 a 132 6b 304 212c 22 6d 21 36答案 b 答案 b 课堂讲义 思路点拨 由于题目中已明确a b c 所以解答本题时可直接构造两个数组 再用排序不等式证明即可 字母的大小顺序已确定的不等式的证明 思路点拨 利用排序不等式证明不等式 关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个不等式 思路点拨 题目中没有给出a b c三个数的大小顺序 且a b c在不等式中的 地位 是对等的 不妨设a b c 再利用排序不等式加以证明 需对字母顺序作出假设的不等式的证明 2 已知a b c为正数 且两两不等 求证 2 a3 b3 c3 a2 b c b2 a c c2 a b 思路点拨 当作出a b c的假设后 所用的二个数组就可以完全确定了 但要注意a b c三者的 地位 必须对等 否则不成立 设x 0 求证 1 x x2 x2n 2n 1 xn 思路点拨 题中只给出了x 0 但对于x 1 x 1没有明确 因而需要进行分类讨论 解题过程 1 当x 1时 1 x x2 xn 由排序原理 顺序和 反序和 得1 1 x x x2 x2 xn xn 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 即1 x2 x4 x2n n 1 xn 对所证不等式中的字母大小顺序需要加以讨论 又因为x x2 xn 1为序列1 x x2 xn的一个排列 于是再次由排序原理 乱序和 反序和 得1 x x x2 xn 1 xn xn 1 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 得x x3 x2n 1 xn n 1 xn 将 和 相加得1 x x2 x2n 2n 1 xn 2 当0 x x2 xn 但 仍然成立 于是 也成立 综合 1 2 证毕 方法技巧 分类讨论的目的在于明确二个序列的大小顺序关系 思路点拨 在没有给定字母大小的情况下 要使用排序不等式 必须限定字母的大小顺序 而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序 否则要根据具体环境分类讨论 用排序原理证明柯西不等式 定理 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn为b1 b2 bn的任一排列 则有 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等号成立当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn 排序不等式的另一证明 证明 1 设ck c1 c2 ck bk b1 b2 bk 因为b1 b2 bk 且 c1 c2 ck 是由 b1 b2 bn 中的k个元素构成的子集 则ck bk k 1 2 n cn bn 因为ak 1 ak 0 k 2 3 n 所以a1c1 a2c2 ancn a1c1 a2 c2 c1 an cn cn 1 c1 a1 a2 c2 a2 a3 cn 1 an 1 an ancn b1 a1 a2 b2 a2 a3 bn 1 an 1 an anbn a1b1 a2 b2 b1 an bn bn 1 a1b1 a2b2 anbn 即乱序和 顺序和 2 由于b1 b2 bn 所以 b1 b2 bn 设 c1 c2 cn为 b1 b2 bn的一个排列 由 1 的证明得a1 bn a2 bn 1 an b1 a1 c1 a2 c2 an cn 于是有a1b