高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3导数在研究函数中的应用1 3 1函数的单调性与导数 自主学习新知突破 1 结合实例 直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 并能够利用单调性证明一些简单的不等式 3 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 已知函数f x sinx 其导函数f x cosx 问题3 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 提示3 当f x 0时 f x 为增函数 当f x 0时 f x 为减函数 在某个区间 a b 内 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 导数与函数的单调性 递增 递减 1 确定函数f x 的 2 求导数f x 3 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是 当f x 0时 f x 在相应的区间上是 4 结合定义域写出单调区间 利用导数求函数单调区间的基本步骤 定义域 增函数 减函数 利用导数求函数的单调区间注意的问题 1 在利用导数求函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中只能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么这些单调区间中间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 1 函数y x3 3x的单调减区间是 a 0 b 0 c 1 1 d 1 1 解析 y 3x2 3 由y 3x2 3 0得 1 x 1 函数y x3 3x的单调减区间是 1 1 答案 c 答案 c 3 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 答案 2 4 证明函数f x x sinx在r上是增函数 证明 f x 1 cosx 1 cosx 1 0 1 cosx 2 当且仅当cosx 1 即x 2k 1 k z 时 f x 0 f x x sinx在r上是增函数 合作探究课堂互动 导数与单调性的关系 如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 思路点拨 由函数y f x 的图象可得到函数的单调情况 进而确定导数的正负 再 按图索骥 解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负 只有选项a满足 答案 a 1 利用导数符号判断单调性的方法 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多 只需判断导数在该区间内的正负即可 2 通过图象研究函数单调性的方法 1 观察原函数的图象重在找出 上升 下降 产生变化的点 分析函数值的变化趋势 2 观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点 分析导数的正负 特别提醒 函数的正负与导数的正负没有关系 1 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图象如图所示 则导函数y f x 可能为 解析 由函数f x 的图象知f x 在 0 上单调递增 f x 0 故排除a c 又f x 在 0 上有三个单调区间 故排除b 故选d 答案 d 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间 1 函数的定义域为r y 2x2 4x 2x x 2 令y 0 则2x x 2 0 解得x 0或x 2 所以函数的单调递增区间为 0 2 令y 0 则2x x 2 0 解得0 x 2 所以函数的单调递减区间为 0 2 利用导数求函数的单调区间 1 求定义域 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 把不等式的解集与定义域求交集得单调区间 特别提醒 1 单调区间不能 并 即不能用 符号连接 只能用 或 和 隔开 2 导数法求得的单调区间一般用开区间表示 2 1 求函数f x 3x2 2lnx的单调区间 2 设函数f x ln x a x2 若f 1 0 求a的值 并讨论f x 的单调区间 求含参数的函数的单调区间 思路点拨 函数解析式中含有参数时 讨论其单调性 或求其单调区间 问题 往往要转化为解含参数的不等式问题 这时应对所含参数进行适当的分类讨论 做到不重不漏 最后要将各种情况分别进行表述 讨论含有参数的函数的单调性 通常归结为求含参不等式的解集问题 而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论 但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准 已知函数单调性求参数范围 若函数f x ax3 x2 x 5在r上单调递增 求实数a的取值范围 1 一般地 已知函数的单调性 如何求参数的取值范围 2 注意事项 一般地 最后要检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点处有f x 0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数取值范围为最后解 4 已知函数f x 2ax x3 x 0 1 a 0 若f x 在 0