高中数学 1.3.2函数的极值与导数课后习题 新人教A版选修22.doc

1.3.2函数的极值与导数课时演练促提升a组1.函数f(x)=-x3+x2+2x取极小值时,x的值是()a.2b.-1和2c.-1d.-3解析:f(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-,-1)和(2,+)上,f(x)0,故当x=-1时,f(x)取极小值.答案:c2.函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)有()a.极大值5,极小值-27b.极大值5,极小值-11c.极大值5,无极小值d.极小值-27,无极大值解析:f(x)=x3-3x2-9x,f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3).令f(x)=0得x=3或x=-1.当x(-2,2)时,f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,故f(x)在(-2,2)内有极大值f(-1)=-1-3+9=5,而无极小值,故选c.答案:c3.对任意的xr,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()a.a=0或a=21b.0a21c.a21d.0a0),则y=f(x)()a.在区间,(1,e)内均有零点b.在区间,(1,e)内均无零点c.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点d.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点解析:f(x)=,令f(x)=0,得x=3,当0x3时,f(x)0,f(e)=-10,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.答案:d6.已知函数f(x)=ax3+bx2+6,其导数f(x)的图象如图所示,则函数的极小值是.解析:依题意f(x)=3ax2+2bx.由题图象可知,当x0时,f(x)0,当0x0,故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=6.答案:67.若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于.解析:f(x)=12x2-2ax-2b,f(x)在x=1处有极值,f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6.又a0,b0,ab=9,当且仅当a=b=3时等号成立.ab的最大值为9.答案:98.设f(x)=aln x+x+1,其中ar,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因f(x)=aln x+x+1,故f(x)=.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x0),f(x)=-=.令f(x)=0,解得x1=1,x2=-不在定义域内,舍去.当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,+)上为增函数.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.9.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.解:(1)f(x)=aln x+bx2+x,f(x)=+2bx+1.由题意可知f(1)=f(2)=0,解方程组得a=-,b=-.(2)由(1),知f(x)=-ln x-x2+x,f(x)=-x-1-x+1.当x(0,1)时,f(x)0,当x(2,+)时,f(x)1时,f(x)0;在x=1附近的左侧,f(x)0,所以f(1)是极小值.答案:c2.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()a.(0,3)b.(-,3)c.(0,+)d.解析:y=3x2-2a,函数在(0,1)内有极小值,y=3x2-2a=0在(0,1)内必有实数解,记f(x)=3x2-2a,如图,解得0a0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)0,x取足够小的负数时,有f(x)0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f+a,f(x)极小值=f(1)=a-1.因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,所以f(x)极大值0,即+a0,所以a1,所以当a(1,+)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.6.已知函数f(x)=x-aln x(ar).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点a(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f(x)=1-(x0),因而f(1)=1,f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点a(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)=1-,x0知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a,又当x(0,a)