高三数学一轮复习 第二章 函数 第四节 二次函数与幂函数课件 理.ppt

理数课标版 第四节二次函数与幂函数 1 二次函数 1 二次函数的定义形如 f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 i 一般式 f x ax2 bx c a 0 教材研读 ii 顶点式 f x a x m 2 n a 0 iii 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 2 幂函数 1 幂函数的定义形如 y x 的函数称为幂函数 其中x是 自变量 为 常数 2 幂函数的性质 i 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都过点 0 0 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 ii 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 3 五种常见幂函数的性质 1 y x2 y y 4x2 y x5 1 y x 1 2 y x y ax a 1 上述函数是幂函数的有 a 0个b 1个c 2个d 3个答案c只有y x2 y x是幂函数 故选c 2 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 a b c d 答案c由题意知即得a 3 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图 则a b c d的大小关系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c答案b根据幂函数的性质及图象可知选b 4 已知幂函数f x k x 的图象过点 则k 答案解析由幂函数的定义知k 1 又f 所以 解得 从而k 5 2016德州模拟 已知f x ax2 bx 3a b是偶函数 且其定义域为 a 1 2a 则y f x 的值域为 答案解析因为f x ax2 bx 3a b是偶函数 所以其定义域 a 1 2a 关于原点对称 所以a 1 2a 所以a 因为f x ax2 bx 3a b是偶函数 即f x f x 所以b 0 所以f x x2 1 x 其值域为 考点一幂函数的图象与性质典例1 1 已知幂函数f x m2 3m 3 xm 1为偶函数 则m a 1b 2c 1或2d 3 考点突破 2 若 a 1 3 2a 则实数a的取值范围是 答案 1 a 2 解析 1 幂函数f x m2 3m 3 xm 1为偶函数 m2 3m 3 1 即m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 当m 1时 幂函数f x x2为偶函数 满足条件 当m 2时 幂函数f x x3为奇函数 不满足条件 故选a 2 易知函数y 的定义域为 0 在定义域内为增函数 所以解之得 1 a 规律总结 1 幂函数的形式是y x r 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 若幂函数y x r 是偶函数 则 必为偶数 当 是分数时 一般将解析式先化为根式的形式 再判断奇偶性 3 若幂函数y x 在 0 上单调递增 则 0 若在 0 上单调递减 则 0 1 1 2016青岛模拟 已知幂函数y f x 的图象过点 则log9f 3 的值为 a b c 2d 2 答案a设幂函数f x x 为常数 由题意得 解得 所以f x 所以log9f 3 log9 1 2 2016课标全国 7 5分 已知a b c 2 则 a b a cb a b cc b c ad c a b答案aa c 2 而函数y 在 0 上单调递增 所以 即b a c 故选a 考点二二次函数的解析式典例2 2017沈阳一中期末 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析解法一 设f x ax2 bx c a 0 依题意有解之得 所求二次函数解析式为f x 4x2 4x 7 解法二 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线的对称轴为直线x m 又函数f x 的最大值是8 f x a 8 f 2 1 a 8 1 解之得a 4 f x 4 8 4x2 4x 7 解法三 依题意知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函数f x 的最大值为8 8 a 0 解之得a 4 函数解析式为f x 4x2 4x 7 方法技巧求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 2 1已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 且截x轴所得的线段长为2 并且对任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解析 f 2 x f 2 x 对x r恒成立 f x 的图象的对称轴为直线x 2 又 f x 的图象截x轴所得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又 f x 的图象过点 4 3 3a 3 a 1 f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 考点三二次函数的图象与性质命题角度一二次函数的最值问题典例3已知f x ax2 2x 求f x 在 0 1 上的最小值 解析 当a 0时 f x 2x 其在 0 1 上递减 当0 x 1时 f x min f 1 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向上 且对称轴为x 当 1 即a 1时 f x 在上递减 在上递增 当0 x 1时 f x min f 当 1 即0 a 1时 f x 在 0 1 上递减 当0 x 1时 f x min f 1 a 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 且对称轴x 在y轴的左侧 f x ax2 2x在 0 1 上递减 当0 x 1时 f x min f 1 a 2 综上所述 当0 x 1时 f x min 命题角度二二次函数中恒成立问题典例4已知函数f x ax2 2x 2 若对一切x f x 0都成立 则实数a的取值范围为 a b c 4 d 4 答案b解析因为对一切x f x 0都成立 所以当x 时 a 2 又 2 则实数a的取值范围为 方法技巧1 二次函数的最值问题的类型及求解方法 1 类型 对称轴 区间都是给定的 对称轴动 区间固定 对称轴定 区间变动 2 求解方法 抓住 三点一轴 进行数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 具体方法是利用配方法 函数的单调性及分类讨论的思想求解 2 二次函数中恒成立问题的求解思路求解恒成立问题中的参数问题时 常用思路是分离参数 这种思路是将问题归结为求函数的最值 其依据是 a f x a f x max a f x a f x min 应用时注意f x 的最大 小 值是否存在 3 1 2017广州十六中月考 若函数f x x2 2x 1在区间 a a 2 上的最小值为4 则a的取值集合为 a 3 3 b 1 3 c 3 3 d 1 3 3 答案cf x x2 2x 1 x 1 2 图象的对称轴是x 1 因为f x 在区间 a a 2 上的最小值为4 所以当1 a时 ymin f a a 1 2 4 解得a 1 舍去 或a 3 当a 2 1 即a 1时 ymin f a 2 a 1 2 4 解得a 1 舍去 或a 3 当a 1 a 2 即 1 a 1时 ymin f 1 0 4 不符合题意 故a的取值集合为 3 3 3 2已知x 1 1 时 f x x2 ax 0恒成立 则实数a的取值范围是 a 0 2 b 2 c