山东省济宁市高考数学专题复习 第29讲 等差数列练习 新人教A版.doc

第二节等差数列考情展望1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题一、等差数列1定义：an1and(常数)(nn*)2通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.3前n项和公式：snna1.4a、b的等差中项a.证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：anan1d(d为常数，n2)an为等差数列；(2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；(4)前n项和法：snan2bn或sn.二、等差数列的性质已知数列an是等差数列，sn是其前n项和(1)若m、n、p、q、k是正整数，且mnpq2k，则amanapaq2ak.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则s2nn(a1a2n)n(anan1)s2n1(2n1)an.n为偶数时，s偶s奇d；n为奇数时，s奇s偶a中1在等差数列an中，a22，a34，则a10()a12 b14 c16 d18【解析】由题意，公差da3a22，a10a28d28218.【答案】d2在等差数列an中，a21，a45，则an的前5项和s5()a7 b15 c20 d25【解析】a21，a45，s515.【答案】b3设an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和，若s10s11，则a1()a18 b20 c22 d24【解析】由s10s11得10a1(2)11a1(2)，解得a120.【答案】b4已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.【解析】设等差数列公差为d，则由a3a4，得12d(1d)24，d24，d2.由于该数列为递增数列，d2.an1(n1)22n1.【答案】2n15(2013重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.【解析】由题意得该等差数列的公式d，所以ca2d.【答案】6(2013广东高考)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.【解析】法一a3a82a19d10,3a5a74a118d2(2a19d)21020.法二a3a82a35d10,3a5a74a310d2(2a35d)21020.【答案】20考向一 086等差数列的判定与证明在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nn*)(1)求a2，a3的值；(2)设bn(nn*)，证明：bn是等差数列【思路点拨】(1)分别令n2,3求a2，a3的值(2)用定义法，证明bn1bn为常数便可【尝试解答】(1)a13，an2an12n3(n2)a22a1436431.a32a223313.(2)证明：对于任意nn*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列规律方法1用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义.对点训练(1)已知数列an中，a11，则a10_.(2)已知数列an的前n项和为sn，且满足an2snsn10(n2)，a1.求证：是等差数列；求数列an的通项公式【解析】(1)由已知，数列是公差为的等差数列，又a11，(n1).4，a10.【答案】(2)证明ansnsn1(n2)，又an2snsn1，sn1sn2snsn1，sn0，2(n2)又2，故数列是以2为首项，以2为公差的等差数列由知(n1)d2(n1)22n，sn.当n2时，有an2snsn1，又a1，不适合上式，an考向二 087等差数列的基本运算(1)(2013课标全国卷)设等差数列an的前n项和为sn，若sm12，sm0，sm13，则m()a3b4c5d6(2)(2013四川高考)在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和【思路点拨】(1)先由sm1，sm，sm1间的关系求得am和am1，进而求得公差d，然后借助sm及am求得a1及m的值(2)先建立首项a1及公差d的方程组，解出a1，d后求sn便可【尝试解答】(1)an是等差数列，sm12，sm0，amsmsm12.sm13，am1sm1sm3，dam1am1.又sm0，a12，am2(m1)12，m5.【答案】c(2)设该数列的公差为d，前n项和为sn.由已知可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0或a11，d3，即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n项和sn4n或sn.规律方法21.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知三求二，体现了方程思想的应用. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法.对点训练已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值【解】(1)设等差数列an的公差为d，由a11，a33，得12d3，d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)知an32n，sn2nn2，由sk35得2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又kn*，故k7.考向三 088等差数列的性质及应用(1)(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11()a58b88c143d176(2)设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，求数列an的项数及a9a10.【思路点拨】(1)a4a8a1a11，直接套用s11求解(2)利用倒序相加法求和得n，利用等差数列的性质求a9a10.【尝试解答】(1)s1188.【答案】b(2)由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18.由a1an36，n18.a1a1836，从而a9a10a1a1836.规律方法31.在等差数列an中，若mnpq2k，则amanapaq2ak是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质.2.掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.对点训练(1)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()a10b20c30d40(2)已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_.【解析】(1)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.(2)s10，s20s10，s30s20成等差数列，且s1010，s2030，s20s1020，s30301021030，s3060.【答案】(1)a(2)60考向四 089等差数列前n项和的最值在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值【思路点拨】由a120及s10s15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号【尝试解答】法一a120，s10s15，1020d1520d，d.an20(n1)n.令an0得n13，即当n12时，an0；n14时，an0.当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s12s131220130.法二同法一得d.又由s10s15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.规律方法4求等差数列前n项和的最值常用的方法(1)先求an，再利用求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值.(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值.利用等差数列的前n项和snan2bn(a，b为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.对点训练已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和sn的最大值【解】(1)设an的公差为d，由已知条件解出a13，d2，所以ana1(n1)d2n5.(2)snna1dn24n4(n2)2，所以n2时，sn取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题1个示范例1个规范练(12分)(2013浙江高考)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【规范解答】(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40，2分解得d1或d4.3分所以ann11(nn*)或an4n6(nn*).5分(2)设数列an的前n项和为sn.因为d0，由(1)得d1，ann11，6分所以当n11时，|a1|a2|a3|an|snn2n；8分当n12时，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.10分综上所述，|a1|a2|a3|an|12分【名师寄语】1.涉及求数列|an|前n项和的题目，其解题的关键是找到数列an的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点.2.要正确区分“|a1|a2|a3|an|”与“a1a2a3an”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱.(2012湖北高考)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和【解】(1)设等差数列an的公差为d，易求a21，则a3a2d，a1a2d，由题意得解之得或所以由等差数列通项公式可得a