高中数学 2.4用向量讨论垂直与平行练习 北师大版选修21.doc

第二章2.4用向量讨论垂直与平行一、选择题1若平面，的一个法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为()abc10d10答案d解析，它们的法向量也互相垂直，(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10，故选d2(2014四川省成都七中期末)已知直线l过点p(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与点m(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()a(1，4,2)b(，1，)c(，1，)d(0，1,1)答案d解析因为(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项d不满足，故选d3在如图所示的坐标系中，abcda1b1c1d1为正方体，给出下列结论：直线dd1的一个方向向量为(0,0,1)直线bc1的一个方向向量为(0,1,1)平面abb1a1的一个法向量为(0,1,0)平面b1cd的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为()a1个b2个c3个d4个答案c解析dd1aa1，(0,0,1)；bc1ad1，(0,1,1)，直线ad平面abb1a1，(0,1,0)；c1点坐标为(1,1,1)，与平面b1cd不垂直，错4已知平面内有一点a(2，1,2)，它的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点p中，在平面内的是()a(1，1,1)b(1,3，)c(1，3，)d(1,3，)答案b解析要判断点p是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项a，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除a；对于选项b，(1，4，)，则n(1，4，)(3,1,2)0，故选b5已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,4)，且l1l2，则xy()a1b1c0d无法确定答案a解析l1l2，ab，ab0，44y4x0，即xy1.6若直线l的方向向量为a(1,1,1)，向量b(1，1,0)和向量c(0,1，1)所在的直线都与平面平行，则()alblcld以上都不对答案a解析(1,1,1)(1，1,0)0，(1,1,1)(0,1，1)0，ab，ac，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面平行，l.二、填空题7已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x_，y_，z_.答案642617解析因为a，b，c两两垂直，所以abbcca0，即，解得.8已知空间三点a(0,0,1)，b(1,1,1)，c(1,2，3)，若直线ab上一点m，满足cmab，则点m的坐标为_答案(，1)解析设m(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意得x，y，z1，点m的坐标为(，1)三、解答题9如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中点，作efpb于点f.(1)证明pa平面edb；(2)证明pb平面efd证明如图所示，建立空间直角坐标系，d是坐标原点，设dca(1)连接ac、ac交bd于g，abcd为正方形，g为ac中点，连接eg.简解：又e为pc中点page又ge平面bde，pa平面bdepa平面bde(2)依题意，得b(a，a,0)，p(0,0，a)，e(0，)(a，a，a)又(0，)，故00.pbde.又efpb，且efdee.pb平面efd10如图， 正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为4，e、f分别是棱ab、bc的中点，efbdg.求证：平面b1ef平面bdd1b1.证明以d为原点，da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：d(0,0,0)，b1(2，2，4)，e(2，0)，f(，2，0)，(0，4)，(，0)设平面b1ef的一个法向量为n(x，y，z)则ny4z0，nxy0.解得xy，zy，令y1得n(1,1，)，又平面bdd1b1的一个法向量为(2，2，0)，而n1(2)12()00，即n.平面b1ef平面bdd1b1.一、选择题1如图，已知adb和adc都是以d为直角顶点的直角三角形，且adbdcd，bac60，e为ac的中点，那么以下向量为平面acd的法向量的是()abcd答案b解析方法一：判断平面acd的法向量，可以从平面acd中找出，中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直设ad1，则bdcd1.因为adb和adc都是以d为直角顶点的直角三角形，所以abac.又因为bac60，所以bc.所以bcd也是直角三角形，且bdcd，从而可得bd平面acd2已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()ax，y1bx，y4cx2，ydx1，y1答案b解析a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)，(a2b)(2ab)，3若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2，3,2)，则()al1l2bl1l2cl1，l2相交但不垂直dl1，l2的关系不能确定答案b解析ab1(2)23(2)20，abl1l2.4已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则平面abc的一个单位法向量是()a(，)b(，)c(，)d(，)答案d解析(1,1,0)，(1,0,1)，(0，1,1)设平面abc的一个单位法向量为u(x，y，z)，则u0，u0，得x，y，z之间的关系，且x2y2z21，求值即可二、填空题5已知点p是平行四边形abcd所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：apab；apad；是平面abcd的法向量；.其中正确的是_答案解析2(1)(1)2(4)(1)2240，则.4(1)2200，则，a，平面abcd，故是平面abcd的一个法向量6如图，已知矩形abcd，paab1，bca，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqqd，则a的值等于_答案2解析先建立如图所示的空间直角坐标系，设|b，则a(0,0,0)，q(1，b,0)，p(0,0,1)，b(1,0,0)，d(0，a,0)，所以(1，b，1)，(1，ab,0)，b2ab10.b只有一解，0，可得a2.三、解答题7如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由证明(1)以a为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e(，1,0)，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，b1e ad1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n ，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n(1，a)要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.8在正方体abcda1b1c1d1中，棱dd1上是否存在点p，使得平面apc1平面acc1？证明你的结论解析假设点p存在，以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a，d