高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末检测 苏教版选修21.doc

第2章 圆锥曲线与方程 章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2解析建立坐标系如图所示则抛物线方程为x22py(p0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y.当y3时，x.水面下降1米后，水面宽为2米2双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_答案解析依题意两条渐近线方程必为yx，则ab，所以ca，故双曲线的离心率为.3若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_答案4解析椭圆1的右焦点为(2,0)，而抛物线y22px的焦点为(，0)，则2，故p4.4abc的顶点b、c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是_答案4解析由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得abc的周长为4a4.5若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_答案m25解析由解得m的取值范围是m25.6设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为yx，则该双曲线的离心率e为_答案解析由于焦点在x轴上，故渐近线方程为yx，可得，又c2a2b2，可解得e的值为.7抛物线y22px(p0)上有一点m纵坐标为4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程是_答案y28x或y216x解析由已知得点m的横坐标xm(p0)，又xm6，即6，解得p4或p8.故抛物线的方程是y28x或y216x.8设o是坐标原点，f是抛物线y22px(p0)的焦点，a是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则|_.答案p解析依题意可设af所在直线方程为y0(x)tan60，y(x)联立解得x或，与x轴正向夹角为60，x，yp，|p.9设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足，如果直线af斜率为，那么pf_.答案8解析由题意可知，afo60，由焦点到准线的距离为4，所以af8，pafo，paf60，又由抛物线的定义，知papf，因而paf为正三角形，所以pfaf8.10在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_答案解析不妨设椭圆方程为1(ab0)，则有即得e.11与双曲线1有共同的渐近线，并且经过点(，4)的双曲线方程为_答案1解析由题意可设所求双曲线方程为(0)，双曲线经过点(，4)，5，所求双曲线方程为1.12若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y2x21的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为_答案y21解析由双曲线y2x21的顶点坐标为(0，1)，可得椭圆的b1；又双曲线的离心率为，从而由已知得椭圆的离心率为，椭圆的a，该椭圆的方程为y21.13如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是_答案解析设af1x，af2y，因为点a为椭圆c1：y21上的点，所以2a4，b1，c；所以af1af22a4，即xy4；又四边形af1bf2为矩形，所以afaff1f，即x2y2(2c)2(2)212，由得：解得x2，y2，设双曲线c2的实轴长为2a，焦距为2c，则2aaf2af1yx2，2c22，所以双曲线c2的离心率e.14已知抛物线c1：yx2(p0)的焦点与双曲线c2：y21的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p_.答案解析经过第一象限的双曲线的渐近线为yx.抛物线的焦点为f(0，)，双曲线的右焦点为f2(2,0)yx，所以在m(x0，)处的切线斜率为，即x0，所以x0p，即三点f(0，)，f2(2,0)，m(p，)共线，所以，即p.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)如图，在p处有一堆肥料沿道路pa或pb送到矩形的一块田abcd中，已知pa100m，pb150m，bc60m，apb60，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路pa送肥料较近而另一侧的点沿pb送肥料较近？如果能，说出这条界线是什么曲线？并求出它的方程解设m是界线上任一点，则pamapbmb，mambpapb50(常数)，界线是以a、b为焦点的双曲线一支(右支)如图建立直角坐标系，设1(a0，b0)，由余弦定理得2cab50，c25，a25，b2c2a23750，界线方程：1(x25，y0)16(14分)椭圆1(a，b0)的两个焦点f1，f2，点p在椭圆c上，且pf1f1f2，pf1，pf2；(1)求椭圆c的方程；(2)若直线l过圆x2y24x2y0的圆心m交椭圆于a、b两点，且a、b关于点m对称，求直线l的方程解(1)因为点p在椭圆c上，所以2apf1pf26，a3.在rtpf1f2中，f1f22，故椭圆的半焦距c，从而b2a2c24，所以椭圆c的方程为1.(2)设a、b的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)由圆的方程为(x2)2(y1)25，得圆心m的坐标为(2,1)从而可设直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆c的方程得(49k2)x2(36k218k)x36k270.因为a、b关于点m对称，所以2.解得k，所以直线l的方程为y(x2)1，即8x9y250(经检验，符合题意)17(14分)如图，直线l：yxb与抛物线c：x24y相切于点a.(1)求实数b的值；(2)求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程解(1)由得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线c相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1.故点a(2,1)，因为圆a与抛物线c的准线相切，所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆a的方程为(x2)2(y1)24.18(16分)已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：点m在以f1f2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求f1mf2的面积(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点m(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为f1(2，0)，f2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，mf1mf2，点m在以f1f2为直径的圆上(3)解4|m|6.19(16分)已知椭圆g：1 (ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆g交于a、b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p(3,2)(1)求椭圆g的方程；(2)求pab的面积解(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆g的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由，得4x26mx3m2120.设a、b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x1x2)，ab中点为e(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为ab是等腰pab的底边，所以peab.所以pe的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以ab3.此时，点p(3,2)到直线ab：xy20的距离d，所以pab的面积sabd.20(16分)椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.(1)求椭圆c的方程；(2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连结pf1，pf2，设f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过p点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1得y，由题意知1，即a2b2.又e，