高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末复习提升 苏教版选修21.doc

第2章 圆锥曲线与方程 章末复习提升 苏教版选修2-11椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线几何条件与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形顶点坐标(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称轴x轴，长轴长2a；y轴，短轴长2bx轴，实轴长2a；y轴，虚轴长2bx轴焦点坐标(c,0)c(c,0)c(，0)离心率0e1，ee1准线xxx渐近线yx2.曲线与方程(1)曲线与方程：如果曲线c上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当0e1时，圆锥曲线是双曲线；当e1时，圆锥曲线是抛物线3直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交设直线l的方程为axbyc0，与圆锥曲线d的方程联立可得(消去y)ax2bxc0(*)(1)当a0时，若关于x的方程(*)的判别式0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若b0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点f1，f2为顶点的三角形的周长为4(1)；一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设p为该双曲线上异于顶点的任一点，直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a、b和c、d.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线pf1、pf2的斜率分别为k1、k2，证明k1k21.(1)解由题意知，椭圆离心率为，得ac，又由以椭圆上的点和椭圆的左，右焦点f1，f2为顶点的三角形的周长为4(1)，结合椭圆定义得2a2c4(1)，所以可解得a2，c2，故b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1.易得椭圆的焦点坐标为(2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为1.(2)证明设点p(x0，y0)，则k1，k2，所以k1k2，又点p(x0，y0)在双曲线上，所以有1，即yx4，所以k1k21.跟踪演练1已知椭圆1(ab0)的左焦点为f，左、右顶点分别为a、c，上顶点为b，o为原点，p为椭圆上任意一点过f、b、c三点的圆的圆心坐标为(m，n)(1)当mn0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)当(1)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点d(b1,0)，()的最小值为，求椭圆的方程解(1)设半焦距为c.由题意得fc、bc的中垂线方程分别为x、y，于是圆心坐标为.所以mn0，即abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以bc，于是b2c2，即a2b2c22c2，所以e2，即e1.(2)由(1)知emin，abc，此时椭圆的方程为1，设p(x，y)，则cxc，所以()x2xc2(x1)2c2.当c时，上式的最小值为c2，即c2，得c2；当0c时，上式的最小值为(c)2cc2，即(c)2cc2，解得c，与0c矛盾，舍去综上所述，椭圆的方程为1.题型二与圆锥曲线有关的轨迹问题轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来求轨迹方程的基本方法是(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程；(2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程；(3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；(4)代入法求轨迹方程：动点m(x，y)取决于已知曲线c上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线c的方程例2如图，已知线段ab4，动圆o1与线段ab切于点c，且acbc2，过点a、b分别作圆o1的切线，两切线交于点p，且p、o1均在ab的同侧，求动点p的轨迹方程解建立如图所示的直角坐标系，则a(2,0)，b(2,0)，由切线长定理得acbcpapb2)跟踪演练2若动圆p过点n(2,0)，且与另一圆m：(x2)2y28相外切，求动圆p的圆心的轨迹方程解设p(x，y)，因为动圆p过点n，所以pn是该圆的半径，又因为动圆p与圆m外切，所以有pmpn2，即pmpn2，故点p的轨迹是以m、n为焦点，实轴长为2，焦距mn为4的双曲线的左支，即a，c2，所以b，从而动圆p的圆心的轨迹方程为1 (x)题型三圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中定点、定值、最值、范围问题是圆锥曲线的综合问题，它是解析法的应用，它涉及数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识的横向联系解这类问题的分析思想与方法是可循的，重要的是要善于掌握圆锥曲线知识纵向、横向的联系，努力提高解题能力例3如图，设a(a,0) (a0)，b、c分别为x轴、y轴上的点，非零向量满足：2，.(1)当点b在x轴上运动时，求点p的轨迹e的方程；(2)设q是曲线e上异于p的点，且0，求证：直线pq过定点(1)解设b(x0,0)，c(0，y0)，p(x，y)2，c是bp的中点，易知(x0，y0)，(a，y0)，由，即，得ax0y0，axy20，即y24ax.又(2x，y)0，p点的轨迹方程是y24ax (a0，x0)(2)证明0，opoq，显然直线op的斜率存在，且不为0，可设直线op：ykx，则直线oq：yx，由得p；由得q(4ak2，4ak)当k1时，直线pq的方程为x4a，过定点(4a,0)；当k1时，直线pq的方程为，整理得k(x4a)(k21)y0，k0，过定点(4a,0)综上，直线pq必过定点(4a,0)跟踪演练3如图，已知a(3p,0) (p0)，b、c两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足0，.(1)求动点q的轨迹方程；(2)设过点a的直线与q的轨迹交于e、f两点，a(3p,0)，求直线ae，af的斜率之和解(1)设q(x，y)，b(0，y0)，c(x0,0)，则(x0，y0)，(xx0，y)，(x0，y0)(xx0，y)，即x0，y0.b，c.又a(3p,0)，由0，得3pxy20，即y24px.q点的轨迹方程为y24px (p0)(2)设过点a的直线方程为yk(x3p) (k0)，e(x1，y1)，f(x2，y2)联立方程组消去x，得y2y3kp0.y1y212p2，kaekaf，又y4px1，y4px2，kaekaf.由y1y212p2，得kaekaf0.1圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现2圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一个是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查3圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，高考对此进行重点考查，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行交汇命题4虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线高考不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题5考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，高考对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义和待定系数法求圆锥曲线的方程，以直接法