高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版必修4.doc

3.2.2半角的正弦、余弦和正切 学习目标1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明知识链接1代数式变换与三角变换有什么不同？答代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点2倍角公式(1)s2：sin 22sin_cos_.(2)c2：cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)t2：tan 2.预习导引1半角公式(1)s：sin ；(2)c：cos ；(3)t：tan (无理形式)(有理形式)2半角公式变形(1)sin2；(2)cos2；(3)tan2.要点一三角函数的求值例1已知sin 且，求sin ，cos ，tan 的值解sin ，cos .又，sin ，cos ，tan 4.规律方法对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用跟踪演练1已知sin ，sin()，、均为锐角，求cos的值解0，sin ，cos .又0，0，0.若0，即sin sin()，不可能.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .而0，0，cos .要点二三角函数的化简例2化简：(0)解原式.0，00，原式cos .规律方法(1)式子中含有1cos ，1cos 等形式时，常需要用半角公式升幂(2)在开方时要注意讨论角的范围跟踪演练2化简：.解由tan，则原式1.1设56，cosa，那么sin等于()a b c d答案b解析由cos12sin2得sin2，又56，.sin0.sin .2已知cos ，且270360，则cos的值为()a. b c d答案b解析cos 2cos21，cos2，270360135180，cos0，cos .3已知sin ，且为第三象限的角，则tan等于()a b c. d.答案a解析由sin ，且为第三象限的角，得cos .所以tan.4若cos 22a，则sin 11_，cos 11_.答案解析cos 222cos2 11112sin211，cos 11 ，sin 11 .1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角的具体范围时，则根号前的符号由角所在象限确定；(3)若给出的角是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号2半角公式的三个变式(1)sin2；(2)cos2；(3)tan2，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到一、基础达标1cos2的值为()a1 b. c. d.答案d解析cos2cos.2下列各式与tan 相等的是()a. b.c. d.答案d解析tan .3已知180270，且sin(270)，则tan的值为()a3 b2 c2 d3答案d解析sin(270)，cos .又180270，90135.tan 3.4已知tan3，则cos 为()a. b c. d答案b解析 cos .5化简 _.答案sin解析原式 |sin|，2，0，故原式sin.6函数y2cos2xsin 2x的最小值是_答案1解析y2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2xsin1，ymin1.7已知0，且，求sin cos 的值解sin cos .又0，可知sin 0，cos 0.sin cos .二、能力提升8已知cos ，且2，则tan等于()a b. c或 d3答案a解析2，.cos ，sin ，tan.故选a.9已知为锐角，且sin sin32，则tan的值为()a. b. c. d.答案c解析2cos，cos，为锐角，sin ，tan.10已知tan()2，则的值是_答案解析tan()tan 2，tan 2，原式.11已知tan2，求(1)tan的值；(2)的值解(1)tan2，tan ；tan.(2)由(1)，tan ，得.12已知cos()，sin()，且(，)，(0，)求：(1)cos；(2)tan()解(1)，0，sin() ，cos() ，coscos()()cos()cos()sin()sin().(2)，sin ，tan，tan().三、探究与创新13已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xr.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos