高中数学 专题3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课件（提升版）新人教A版必修5.ppt

3 3二元一次不等式 组 与平面区域 一 二元一次不等式的有关概念 二元一次不等式的一般表达式为 我们把只含有 未知数 并且未知数的最高次数是 的不等式 称为二元一次不等式 二个 1 1 二元一次不等式 ax by c 0 其中a b c均为常数且a b不同时为零 2 二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组 基础回扣 3 二元一次不等式的解集 满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对 x y 所有这样的有序数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式的解集 二 二元一次不等式表示的平面区域 1 在平面直角坐标系中 二元一次不等式ax by c 0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域 2 把直线画成 以表示区域不包括边界 不等式ax by c 0表示的平面区域包括边界 把边界画成 ax by c 0 虚线 实线 3 二元一次不等式表示的平面区域的确定 1 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都 2 在直线ax by c 0的一侧取某个特殊点 x0 y0 由 的符号可以断定ax by c 0表示的是直线ax by c 0哪一侧的平面区域 相同 ax0 by0 c 自学题纲 阅读必修五p87 91页的内容 完成学案中问题 3 3二元一次不等式 组 与平面区域 一 线性规划的相关概念 不等式 一次不等式 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束 试一试 根据如下线性规划问题及其解法 思考下列问题 问题 设z 2x y 且x y满足下列条件求它的最值 分析 首先画出不等式组形成的区域 由图知 0 0 不在区域内 当x 0 y 0时 z 2x y 0 点 0 0 在直线2x y 0上 作一组平行线2x y t t是直线2x y t的纵截距 这里a 1 1 b 5 2 显然当直线2x y t过a点时 t为最小 过b点时 t为最大 zmax 12 zmin 3 显然 求z 2x y的最值 转化为求直线的纵截距的最值 1 在此题中线性约束条件是 目标函数是 提示 线性约束条件是关于变量x y的一次不等式组成的不等式组 故此题中线性约束条件是目标函数指的是欲求最大值或最小值的关于变量x y的函数解析式 因此本题中目标函数是z 2x y 答案 2 目标函数z 2x y中z的几何意义是什么 提示 z 2x y y 2x z z的几何意义是直线y 2x z在y轴上的截距 3 使线性目标函数z 2x y取得最值的最优解是什么 提示 由解析过程可知 当直线2x y t过a点时 t最小 过b点时t最大 故最优解是 1 1 和 5 2 二 问题探讨与解题研究 类型一求线性目标函数的最值 练习 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 3y 1的最大值为 a 11 b 10 c 9 d 8 5 解析 选b 画出线性约束条件表示的可行域如图所示 由目标函数z 2x 3y 1得直线当直线平移至点a 3 1 时 目标函数z 2x 3y 1取得最大值10 小结 解线性规划问题的步骤 小结2 如何确定线性规划问题中的最优解 提示 线性目标函数z ax by c a b不全为0 中 当b 0时 这样线性目标函数可看成斜率为在y轴上的截距为且随z变化的一组平行线 则把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时 直线在y轴上的截距的最大值或最小值的问题 因此只需先作出直线再平行移动这条直线 最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解 例1 已知求 1 z x2 y2 10y 25的最小值 2 的取值范围 类型二求非线性目标函数的最值 分析 1 由于的几何意义表示点 x y 与点 0 5 之间距离平方 故画出可行域后 观察并找出可行域内与 0 5 距离最近和最远的点 并求出这个距离的平方 解析 作出可行域如图所示 a 1 3 b 3 1 c 7 9 2 根据式子的几何意义 并结合可行域即可求出它的最值 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到点m 0 5 的距离的平方 过m作ac的垂线 易知垂足在ac上 故 z的最小值为 2 表示可行域内点 x y 与定点连线斜率的2倍 z的取值范围是 练习 实数x y满足不等式组的最小值为 解析 作出不等式组所表示的平面区域 如图阴影部分所示 表示点 x y 与点a 1 1 连线的斜率 由图得可行域中点 1 0 与点a 1 1 的连线的斜率最小 小结 与线性规划有关的两种最值的求法 1 形如的最值 应转化为可行域内的点 x y 与点 a b 连线的斜率的最值 2 形如 x a 2 y b 2的最值 转化成可行域内的点 x y 与点 a b 两点间距离的平方的最值 类型三已知目标函数的最值求参数 小结 已知函数最值求参数取值 或范围 的解题思路采用数形结合 画出可行域 根据目标函数表示的意义 画出目标函数等于最值的直线 它与相应直线的交点就是最优解 求出最优解之后 再把它代入含有参数的约束条件 即可求出参数 类型四线性规划中最优整数解问题 练习 某实验室需购某种化工原料106千克 现在市场上该原料有两种包装 一种每袋35千克 价格为140元 另一种每袋24千克 价格为120元 在满足需要的条件下 最少要花费多少元 解析 设购买重量为每袋35千克的x袋 重量为每袋24千克的y袋 则所要花费的金额z 140 x 120y 依题意 可得关于x y的约束条件 如图 故知当直线经过点时 目标函数z的值最小 x y n 寻找可行域上靠近边界的几个点 令x 0 知y 5 当x 1时 知y 3 当x 2时 知y 2 当x 3时 知y 1 当x 4时 知y 0 将靠近边界的几个点 0 5 1 3 2 2 3 1 4 0 分别代入目标函数 可知直线z 140 x 120y过点 1 3 时 目标函数z有最小值500元 小结 求线性规划中最优整数解的三种方法 1 平移直线法 先在可行域内打网格 再描整点 平移直线 最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解 2 筛选优值法 当可行域内整点个数较少时 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值 经比较得最优解 3 调整最优值法 先求非整点最优解及最优值 再借助不定方程的知识调整最优值 最后筛选出最优解 1 已知变量x y满足条件设z 2x y 取点 3 2 可求得z 8 取点 5 2 可求得zmax 12 取点 1 1 可求得zmin 3 取点 0 0 可求得z 0 点 3 2 叫做 点 0 0 叫做 点 5 2 和点 1 1 均叫做 解析 由可行解 最优解的定义知点 3 2 叫做可行解 点 0 0 叫非可行解 点 5 2 和点 1 1 均叫做最优解 答案 可行解非可行解最优解 解析 选b 作出可行域如图所示 作直线l0 x 2y 0 当把l0平移到l1的位置时 此时过点a 1 1 z的值最大 且zmax 1 2 1 3 故选b 2 若变量x y满足约束条件则z x 2y的最大值为 a 4 b 3 c 2 d 1 3 已知变量x y满足关系式则z的最大值是 解析 可行域如图所示 而z x2 y2的几何意义是点 x y 与 0 0 距离的平方 故zmax ob 2 18 答案 18 4 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所需要的最少运输费用为 a 2000元 b 2200元 c 2400元 d 2800元 解析 选b 设需甲型货车x辆 乙型货车y辆 由题意知作出其可行域 可知目标函数z 400 x 300y在点 4 2 处取最小值 zmin 400 4 300 2 2200 元 解析 由约束条件画出可行域 点c的坐标为 3 1 z最大时 即平移直线y ax在y轴上的截距最大 目标函数仅在点 3 1 处取得最大值 a kcd 即 a 1 a 1 5