（应用数学专业论文）二阶数值微分问题.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 数值微分问题 就是己知函数在若干个离散点处的函数值 求函数的近似 导数 微分是积分的反问题 看似简单的数学问题 却比积分问题复杂得多 在实际应用中 函数值的测量必定带有误差 如果数据有误差 所得到的导数 的误差可以是任意大的 数值微分问题是典型的不适定问题 对于不适定问题 必须采取特殊的方法进行处理才能得到合理的结果 处理数值微分问题已经有了大量的方法 差分和广义差分法 积分算子法 磨光法 以及基于一般正则化理论的方法比如t i k h o n o v 方法 其中g r o e t s c h 提 出的积分算子法计算简单 可以给出一致的误差估计 而且当函数的光滑性加 强时 可以构造类似的积分算子使得误差精度提高 在一些实际应用中 不仅 要求一阶数值微分 有时候可能要求二阶甚至更高阶的数值微分 目前在这些 方法中 差分方法和基于t i k h o n o v 正则化理论的方法已有对二阶数值微分问题 的研究 而积分算予法对于高阶甚至任意阶数值微分问题还鲜见探讨 本文基于g r o c t s c h 的思想方法 提出了可以稳定逼近近似已知函数的二阶 导数的积分算子方法 并将其应用到二阶数值微分问题上 给出了相应的误差 估计 最后 给出了利用本文的积分算子方法计算二阶数值微分的数值实验 结果表明本文的方法具有简单 稳定和可快速实现的特点 关键词 不适定问题 数值微分 正则化方法 积分算子方法 光滑化 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m sa r et or e s o l v et h ea p p r o x i m a t ed e r i v a t i v e sw h e n f u n c t i o n s v a l u eo ns o m eo fd i s c r e t ep o i n t s d i f f e r e n t i a t i o ni st h ei n v e r s ep r o b l e mo f i n t e g r a l t h o u g hi tl o o ks i m p l e i ti sm u c hm o r ec o m p l e xt h a ni n t e g r a l t h ee r r o r so f t h eo b t a i n e dd e r i v a t i v e sc o u l db ea r b i t r a r i l yl a r g ew h e nc t r o i so c c u ri nt h ef u n c t i o n s v a l u e s w h i c ha r ei n e v i t a b l ei np r a c t i c a la p p l i c a t i o n n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m s a r er e p r e s e n t a t i v ei l l p o s e dp r o b l e m s t oo b t a i nt h er e a s o n a b l er e s u l t s i ti sn e c e s s a r y t ou s es o m es p e c i a lm e t h o d si ni l l p o s e dp r o b l e m s r e s o l v i n g t h e r ea r eal o to f m e t h o d sf o rs o l v i n gt h en u m e r i c a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m s s u c ha s d i f f e r e n c ea n dg e n e r a ld i f f e r e n c em e t h o d s m o o t h i n gm e t h o d i m e g r a lm e t h o d t i l d a o n o vm e t h o da n do t h e rm e t h o d sb a s e do nt h eg e n e r a lr e g u t a r i z a t i o nt h e o r y i n w h i c h g r o e t s c hp r o p o s e da ni n t e g r a lm e t h o dw i t ht h ea d v a n t a g e sa sf o l l o w s f i r s t l yi t c a ng i v eu n i f o r me 册璐 e s t i m a t i o nw i t he a s yc a l c u l a t i o n s e c o n d l yi tc a r lc o n s t r u c t s i m i l a ri n t e g r a l o p e r a t o r st oi m p r o v eg l t o r s p r e c i s i o nw h e nf u n c t i o n s s m o o t h p r o p e r t i e s a r es t r e n g t h e n e d i ns o m ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n s n o to n l yf i r s t o r d e r n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nb u ta l s os e c o n do rh i g h 盯o r d e rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a l sa r e n e e d p r e s e n t l yt h e r ea r em a n yr e s e a r c hw o r k so ns e c o n do r d e rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a l p r o b l e m sb a s e do nd i f f e r e n c eo rt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s b u tt h e r ea r el i t t l e w o r k so ns e c o n do rh i g h e ro r d e rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m st h r o u g hi n t e g r a l m e t h o d an o v e li n t e g r a lo p e r a t o rm e t h o de n l i g h t e n e db yg r o e t s e h si d e a si sp r o p o s e d i t c a na p p r o x i m a t es e c o n d o r d e rd e r i v a 吐v eo fa p p r o x i m a t e l ys p e e i f i e df u n c t i o n sa n di tc a n g i v et h ec o r r e s p o n d i n ge r r o re s t i m a t i o nw h e na p p l i e di n t on u m e r i c a ld i f f e r e n t i a l p r o b l e m s f i n a l l y s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s0 nc a l c u l a t i o n so fs e c o n d o r d e r d e r i v a t i v ew i t ht h ep u tm e t h o da r ed o n e a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tp r o p o s e da p p r o a c h i ss i m p l e s t a b l ea n di tc a nb er e a l i z e df a s t k e y w o r d s i l l p o s e dp r o b l e m n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d i n t e g r a lo p e r a t o rm e t h o d m o l l i f i c a t i o n 武汉理工大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 反问题与不适定问题 反问题是相对于正问题而言的 一般的 对于两个相关问题 如果其中一 个问题的是 或部分是 另一个问题的结论 则称这两个问题是互逆的 通常 将其中一个研究的较早 发展的较成熟的问题称为正问题 而另一个问题相应 的称为反问题 反问题研究的蓬勃发展始于2 0 世纪5 0 年代前后 研究对象主要涉及与探 测 识别和设计有关的应用问题 特别在油藏模拟 地质勘探 卫星探测 遥 感技术 无损探伤以及医学成像等领域有着深刻的应用背景 来自生产 生活 的各个领域的实际需求 是推动这一学科迅速发展的动力 许多反问题是不适定的 适定性概念是法国数学家t l a d a m a r d 在1 9 3 2 年最 早提出的 他认为由物理中导出的问题总是适定的 即问题的解一定存在 唯一 且在某种意义下稳定 否则提法就是错误的 定义1 1 已知算子t x y x y 均为度量空间 若算子方程t x y 满足 1 v x e x 存在唯一的y y 满足t x y 2 v 占 o 弓艿 o a 要l l y y 2 艿 则有协 x 2 g 其中r x m 巩 y 2 则称算子方程t x y 在 x y 上是稳定的 定义1 2 已知算子t x 专y x y 均为度量空间 若算子方程t x y 满足 1 解的存在性 v i x a y y 满足t x y 2 解的唯 性 玩 y 现 y j x 2 3 解的稳定性 t x y 在 j y 上是稳定的 则称算子方程t x y 在度量空间对 x y 上是适定的 否则称算子方程t x y 在 度量空间对 x y 上是不适定的 武汉理工大学硕士学位论文 在很长一段时间人们认为研究不适定问题没有实际意义 直到1 9 5 6 年以后 人们才发现适定问题远远不完全是真实物理现象的恰当反映 大量的问题都是 不适定的 在许多实际问题中会出现问题没有解或解不唯一的情况 这时我们 可以重新定义问题的解 使得问题的解存在并且唯一 而此时解的不稳定性依 然存在 事实上 这正是反问题和不适定问题研究中的本质困难 如果不对不 适定问题采取一些特殊的方法 就不会得到合理可靠的结果 如何建立有效的方法进行求解是不适定问题研究的重要内容 目前求解不 适定问题最具普适性 理论上最完备的方法是由t i k h o n o v 于2 0 世纪6 0 年代创 造性提出的正则化方法 其基本思想是 用一族与原问题相邻近的适定问题的 解去逼近原问题的解 除此之外 还有谱截断方法和一些迭代正则化方法比如 l a n d w e b e r 迭代法 c g 迭代法 共轭梯度法 它们都是目前研究和应用比较多 的正则化方法 如何构造与原问题邻近的适定问题而获得所谓的正则方法和正 则解 如何控制与原问题的邻近程度而获得误差最小的正则解以及如何实现数 值的快速计算是正则化理论和方法的三大核心问题 简单来说就是正则化方法 的构造 正则参数的选取和数值实现问题 1 2 数值微分问题 给定可积函数厂 f t o 1 求其原函数f g 这是积分问题 相应的反 问题是已知可微函数 f 求其导函数厂 f 这是微分问题 微分和积分是互逆 的数学问题 如果给出了解析式 通常积分比微分困难 但是 如果给定的f q 是近似的 甚至是带有误差的离散值 这时对f o 作数值微分 那么这个问题 就要困难得多 此时可以把微分问题看作是积分的反问题 在很多的实际问题 中 例如 图象处理过程中的不连续点的确定问题 化学分析中的实验数据的 波峰分离问题 力学中力与力矩的关系 a b e l 积分方程的求解问题等都会涉及 到数值微分闻题 找到一个稳定的求解微分问题的方法 无论是对科学研究 还是实际应用 都是非常重要的 然而微分问题是不适定的 当函数值本身有 2 武汉理工大学硕士学位论文 较小的扰动时 相应的导数的扰动可以是任意大的 例1 1 假定y f c 口 6 定义嗍 s u pj z o i 设y 的观测结果为 f e 口量 灭 f s f 其中 占 f d r s i n 罂 o r 此时 觅 灭f 丝c o s 婴 可以看出 与其观测值歹的误差为陟一歹i l 盯 而眵一爿l 等 当y 与其观测 值歹的误差任意小时 所求得的导数误差却可以任意大 微分问题是不适定的 数值微分问题同样是不适定的 数值微分问题 就 是已知函数在若干个离散点处的函数值 求函数的近似导数 数值微分问题的 一般提法是 对于可微函数 f te a b 已知 f 在点 a t o 一l 0 时 有 萎k 刮丽2 k l 2 j 实际上 粪 丽2 k l 2 j 7 武汉理工大学硕士学位论文 争 一1 垄 二 j j z 膏 l 一 j 害 1 弓去丽一石砸瓦1 而 丽1 2 一 7 面面1 矗 而丽1 可丽 2 萎 1 而丽1 一萎 一尸丽而1 2 丢2 1 面砑1 1 r 丽1 志 卜1 2 上述推导中 用到o f 1 由 2 2 2 式 i 中结论成立 b 容易看出 噬厂一磁州 o 影协 2 2 3 由不等式 8 研 5 一研 i i 0 的算子 r 口 为方程 2 1 1 在y 所的邻域内的正则算子 假定它满足下述两个条件 1 存在4 0 使算子r o 口 对于所有的口 o 和满足条件所 y 5 8 4 的 任意的y e y 都有定义 0 存在艿 艿 若 肪 y t j f y 便有p 耳 而 s 其中 e r 口 艿 按照上述定义 若n y r 茎6 则可取 r 均 口 作为具有近似右端项 儿的方程血 儿的近似解 式中的口 5 8 与原始数据 及其误差万有关 称 这个解为方程血 y 的正则解 口为正则参数 称由正则算子得到近似解的方法 为正则化方法 策略 于是 寻求原问题的稳定近似解的过程可归结为 1 构造正则算子r 0 口 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 2 选择正则参数口 口 艿 使之与原始数据的误差水平万相匹配 在正则算子的构造方面 引入展平泛函 m 4 k y 露 出 力 a c 道x y y j 五c 石 3 1 2 其中 置是x 中的稠子集 q 工 是定义在五上的非负连续泛函 称之为稳 定泛函 一般情况下 有 定理3 1 1 设a 是度量空间j 到度量空间y 的连续算子 则v 盯 0 和y r 五 使得泛函 2 1 2 在 达到其下确界 即 肘4 k 纠 蝉m 4 k y l 3 1 3 若取彳 血 y i i 血一y 贮 r 耻 降畦 则t i k h o n o v 泛函可写成 m p 纠 9 出一y 旷 口1 1 4 2 则关于极小化问题有下述的定理 定理3 1 2 设爿 x y 为有晃线性算子且参数口 0 则v y y 存在 唯一的丘 x 使得 时 y i 辱肘 i x y 3 1 4 问题 3 i 4 的极小点吒为下述e u l e r 方程 盯屯 4 a k a y 3 1 5 的唯一解 且连续依赖于右端项y 其中 为一的伴髓算子 关于正则参数的选取 对于具体的应用问题 误差水平占是固定的 一种最 普遍的选取正则参数口的方法是所谓的偏差原理 d i s c r e p a n c yp r i n c i p l e 这 是由m o r o z o v 于1 9 6 6 年提出的 文献 3 1 中提出一种新的非常简便的选取参数口的方法 即如果不适定问 题是有条件稳定性的 则正则化参数口可简单地取为口 扩 其中占是误差水平 在文献 3 2 验证了上述正则化参数选取方法的有效性 它既保持了和一般的正 则化参数选取方法差不多的误差精度 又极人地减少了计算量 而在h i l b e r t 空 间的理论框架下 可以导出在误差水平未知的情况下确定正则参数的e n g l e 误 差极小化准则及其他一些准则 一般情况下 用具有扰动的右端项广代替y 则由 3 1 5 式定义的 具有 以下形式 a a c t i a y 4 3 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 也就是由方程 爿 口 a y 5 3 1 7 决定 方程 2 1 j 7 可以认为是方程 a x a y 的正则化形式 若带扰动的右端项 y 5 被精确右端项y 代替忽略扰动万 则 4 4 口d 川a y 这一方法被称为t i k h o n o v 正则化 3 2 用t i k h o n o v 正则化方法求数值微分问题 3 2 1 问题与想法 设f x 是 o l 区间上定义的一个函数 0 x o 五 而 0 是给定数据的误差水平 如何求函数 厂 d 的一阶和二阶导数的近似值昵 这是一个不适定的数值微 分问题 我们用t i k h o n o v 正则化方法讨论该问题 不失一般性 假设 o y t f o r o 1 g i f l g x f d r 啦 o o 1 g f i g o x 1 2 d r f l g x 啦 o 其范数分别定义为 4 9 0 脚 船 x 陋 2 i 陪0 矿 肿 f l g 砷 x f d r f l g x f d x 2 定义正则化泛函 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 m g j f 竺苎t 巧 g 2 口8 9 脏 3 2 1 求函数工 满足 工 o o y o 工 1 f 0 一 使得 对于任意窖满足上式 成立 中 上 m g 这样 就将求导问题转化为一个求泛函的极小值问题 此时可用满足上式 的极小元 的一阶和二阶导数来作为所求函数的一阶和二阶导数的近似值 3 2 2 一阶数值微分 本小节先介绍利用条件稳定性来选取正则化参数并据此求数值微分的方法 所给的离散数据可以给在非等距节点上 考虑定义于 o l 上的函数灭力 0 x o 恐 0 是给定数据的误差水平 数值微分的任务就是要由离散的误差数据曼确定 工 石 使得 工 能够近似y 曲 不失一般性 假定工 0 1 的数据是准确的 即y o y o 见 y 1 否则可用 力 y 曲 死一 0 兑一y 1 一y o y o x 来代替y x r o 1 h 2 0 1 c 0 a 表示标准的函数空间 对函数f x 定义泛 函 嘲 莩毕只叫 2 咿 3 2 2 其中口 0 是正则化参数 容易验证 孓生 坠 1 巫盘 0 几 存在唯一的解工 定理3 2 2 设工 m o d 是 p 1 的极小元 则 l l f y q l l 2 o j 2 矗 4 a y 4o r 如k 舯 矗拷 万2 3 3 2 4 特别地 如果取口 艿2 则由估计 i 防一y k 1 2 厅 4 石 导 l l y l f h 2 艿 3 2 5 一 定理的证明见文献 1 定理3 2 1 证明过程同时也给出了 f 的构造方法 1 z 是节点 上的三次样条函数 在 o 1 上是二次连续可微的 即 工 而 工 织而 烈玉一 工 蕾 而 f 1 2 n i 这里工 t 用f x 在葺的左右极限来定义 2 在左右端点厂 o 1 0 3 工 力在节点玉 1 2 露一1 左右的三级导数满足阶跃关系 工 t 一z t 一 三 二 兰丛 置一z 3 2 6 这样唯一构造的工 工 是 0 l 上的分段三次多项式 二阶导数在 o a 上是连 续 三阶导数只在节点玉o l 2 刀一1 有阶跃 定理3 2 2 告诉我们 对y h 2 o 1 如果h 和占充分小 则当正则化参数口 艿2 时 上面构造的工其导数就是y 的近似 且给出了收敛速度的估计 3 2 3 二阶数值微分 在前一节里我们讨论了一阶导数的数值微分 但在很多实际应用中 高阶导 数的数值微分也是非常重要的 在本节中 我们介绍用 t i k h o n o v 正则化方法来 求解二阶导数的数值微分问题 并会给出相应的误差收敛估计 我们只讨论等距 划分 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 考虑定义于 o l 上的函数y 功 0 x o 五 x 2 0 是给定数据的误差水平 数值微分的任务就是要由离散的误差数据霓确定 工 j 使得 曲能够近似少 我们仍然通过正则化方法来处理这个问题 定义泛函 中 d 石1 善嘭一厂 一 2 口 厂 6 3 2 7 其中f 为任意满足 f h 3 o 1 厂 o 灭o 八1 y 1 3 2 8 的光滑函数 这里甩 3 口 o 是正则化参数 由此我们将数值微分问题转化为求函数工 使得 2 7 中定义的泛函中 力 极小 首先我们假定泛函o x 的极小元存在 记为工 我们试图找出工所满足的 性质 由这些性质来确定上应该是个什么样的函数 定义函数 d 西 工 蚀 这里g 曲是一个三阶可导的函数 满足g o g 1 o 由于工是泛函o x 的极 小元 所以易知f 7 o 0 又因为 m 工 幻 2 击荟 只一工 一幻 2 口 伊幻 i e 哪 2 j 1 缶n 1 嘶 一工 2 2 z 善 乃一工q g 2 丢g 刁 2 口 0 叫艮山 2 五f 船能 五2 i i g 吧叩 所以有 以o 一击萎n i 峨川 g 砂2 口f 船仫 一矗善 只一工 一 g 2 口以 矿i 一鼻4 i o 鄄g b f g d x 假定工满足下列条件 n 1 d o o j o l 则有 武汉理工大学硕士学位论文 o 2 f g 烈一五1 善n 1 万 一t 嘶一z z 一瑾鼻6 x 出 o 这里万 力是d i r a c d e l t a 函数 由 y g x 是任意的 我们有 一击荟砸一勺赐一工 妒口 加 这个方程可被改写为 z 6 o 工 t 和 护 一 一否舌 j o 只一工钙 由此 我们知道一砷 工 是一个广义函数 对任意满足下列条件的g x 刮三 施 一竹 由此可以推导得 一击 j o 一 赐咧瑚g o 胁吨 砷 出 枇 o 因此 一i j l 乃一工 g 一口 5 一 升q 一 占 o 最终我们有 一石1 乃一工 口 卸 一 5 其中j 1 2 n 1 则解可被表示为 铂 工 0 j x 吒 k 1 j o 1 雄一1 3 2 9 这罩得6 n 个系数可以通过求解下列线性方程组求得 o 0 一z 一 o i o l 4 j l 2 n 一1 篓c 二黑c 寸一芝等川名 扩1 0 1 0 7 o 町 o o o y 0 1 y 1 这表明工o 应该是一个分片5 次多项式 接下来证明这样的f i x 确实是 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 j 之函的檄小兀 定理3 2 3 设是工满足 3 2 9 和 3 2 1 0 的一个函数 则工是 3 2 7 中定义的 泛函西u 的极小元 并且o i 力的极小元是唯一的 证明 易证z 满足 3 2 8 对任意满足 2 2 8 的函数 记 力 厂 力一工 工 显然 o h 1 o r o 力一m 正 i j l 荟 2 乃一 何 一工 工以 一 口妒 k 一妒k 上面范数的差可写为 旷乙舯一妒 封一 嘭 2 f 3 一鼻 z 3 d x 垆 2 h 2 卜 j 卜 5 陟2 f h d x h h o l 赢 一2 乏以5 q 一 鄄 一 向 l k 嘭 2 j a q j n i 1 1 只一工 厂 一工 因此 我们有 o u 一中 二j 1 善a i 2 只一 一z 一 x 工q 一 一 口i i 厅 卦旺 2 刍善峨一工q i 击荟s u 咿旭 2 口p 0 所以函数工是泛函西 厂 的一个极小元 如果还有另一个函数石满足o z m u 则由上面的不等式 可以推出 z o 一 p 0 因此石一工是一个2 阶的多项式 由于石 一工 o 1 2 h 一1 n 3 即意味着多项式石一工有超过2 个根 矛盾 所以石 工 极小 元 是唯一的 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 证毕 定理3 2 4 3 2 9 和 3 2 1 0 的解存在并且唯一 证明 由 3 2 9 可知有6 h 个系数待定 而 3 2 1 0 有酝个方程 所以现在的问题 转成了线性方程组的求解问题 若选择夕 o j o l h 则根据泛函 的定义 易知 0 是中的唯一极小元 这就意味着齐次线性方程组只有零解 因此 3 2 9 和 3 2 1 0 的解存在并且唯一 证毕 由定理3 2 3 和定理3 2 4 的结果 我们知道 对于任意的夕 0 1 疗 有 唯一的满足方程 3 2 9 和 3 2 1 0 的函数工 因此工是泛函中 厂 的唯一极小元 前面的分析过程同时也给出了正的构造方法 定理3 2 5 设工是 3 2 7 中定义的泛函 的极小元 并且口 扩 若 h 3 o 1 则 0 卜 忆 k i l 墨占班 这里墨和墨是仅与y 有关的常数 定理的证明见文献 3 定理 3 2 5 给出了误差估计 i s 武汉理工大学硕士学位论文 第四章光滑化方法 函数的求导闯题 可以看成一个特殊的第一类线性积分方程的求解 数值 微分的光滑化方法本质上也是一个正则化方法 其基本思想是对不准确的测量 数据光滑化 化为一个近似的光滑函数的求导问题 这种光滑化是通过一个光 滑核函数的卷积来实现 但是这种核函数的选取不是唯一的 用给定函数厶 算 的一个近似函数 以厶x 功来代替厶 力 再用 以厶 功代 替厶 力 这里近似函数 以厶 工 c 的高频分量满足速降条件 对它求导数 是稳定的 得到稳定性的代价是用 以厶x 工 来代替l 曲 艿 0 本质上反映的 是 以厶x 力于五 力近似程度 它对该不适定问题起到的是正则化参数的作用 4 1 数值微分的光滑化方法 记 o 1 c o d 为连续函数集合 其上无穷模记 h f x e c 1 假 定我们已知其观察数据厶 力 c o d 满足 版一厂乙茎占 4 1 1 考虑由丘近似求厂 的问题 记 1 一r 2 岛 x 2 否云懿p 如 c r 4 1 2 它是一个具有 模糊半径 j 的g a u s s i a n 核函数 它满足 p a x zo f o r l x l 3 8 j p j x d x l 先把函数无 厂的定义域向区间两边作小的延拓以使得正则化方法能处理整 个区间 上点的求导问题 记厶 o 占 1 3 6 通过补充定义 io 工 o 3 j u 1 3 占 厂 z f o e x p x 2 3 a 2 一工 x 一3 8 o f 1 e x p x 一1 2 x 1 2 一 3 回2 1 1 3 8 将厂 力延拓到月上 五以同样的方法延拓 上面延拓方法的本质是使得 五在厶 光滑且在两个端点x 3 8 1 3 8 趋于零 而在r 厶上为零 当然这种延拓方法不是唯一的 对这样延拓的函数 注意到岛 习的性质 定义 以力 曲 岛 门 工 上岛 一j f s d s 2e p a x s f s d s 4 l 3 1 9 武汉理工大学硕士学位论文 它是在r 上的c 岫函数 对这样的光滑化函数 易知 车 乃 x 力 p 5 厂 露 力 力 4 1 4 a x 在光滑化算子以作用下 可以用 以厶x x 的导数来j i i 丘f 力 艿就是正则 化参数 4 2 结论及误差估计 对光滑的函数 厂 力 c b l 假定其先验的界 l 期 m 酬a xf p 叫 m 是已知的 定理4 2 1 假定厂 x c 2 u 的上界0 厂 k m 2 是己知的 厶 曲 c o d 是厂满 足式 4 1 1 的测量数据 则有下面的估计 i p j 一f i l 3 8 m 2 意 4 2 1 注解 这样得到的误差估计是整个 o 1 上的最大模 换言之 厶厶 力可以 在整个 上逼近厂 曲 包括 内与z 0 1 的任意邻近的点 证明对任意的x 由表达式 亿力 力一i f x 2 工岛 一印 厂 o 一厂 工凇 可得 l 4 f 工 一 o i 岛 一s m l x l 凼 e 岛 一s 鸩p x i 西 3 9 m 2 岛 一s a s 3 8 m 2 4 2 2 另一方面 我们有估计 i 以厶 曲一 以 o i k l 一力 刮 工岛 x s x a s 一厂 s 凼 s 工怫 x l 厶 s 一 s l 西 s 肛 叫肛2 占f 加 d x 2 惫 4 2 3 由上面的两个估计有 k 以兀 一厂 i l k 以厶 一 t 厶力7 i t l 以力 一f i l 3 8 m 差寿 武汉理工大学硕士学位论文 即完成定理的证明 下面的收敛速度估计是显然的 推论4 2 1如果我们取正则化参数 万 6 s 则对上面的近似导数逼近关系 在艿专0 时有下面的收敛速度估计 k 厶 一 7 i l 0 满足 o 慨一 k 另一方面 由以的定义知烛l k 厶一厶睡 o r 4 以厶一厶昭一i i o h 腑 1 2 去e 矿九1 2 1 卜 5k k v 占 0 由该无穷积分的收敛性 取 充分大 即有 灿州 去 璃虬t h 十 对此固定的 在万 o 充分大后即有 协 1 2 陆1 蝴小h s 从而在艿 0 充分大后即有 i 以厶一厶膨一j 心 2 占l 此即 l i m 9 以厶一厶k l l 厶b 故由条件 4 2 4 及l l j j 一厶忆关于艿的连续单调 性 定理得证 定理中条件占 0 厶k 则说明待测数据的大小比仪器的测量精度还要小 此时的测量是无法进行的 另 t y 面 r 模是描述 o l 上偏差以厶一厶的一个更好的模 它避免了用最大模时 过分强调端点o 1 附近的精度问题 注意到0 五一 忆 暑意味着l 厶六一厶肚 2 e 因此用本定理的方法确定万 s 本质上是要求解产生的误差要和测量数据的误差 武汉理工大学硕士学位论文 5 1 积分算子 第五章积分算子方法 下面介绍一类利用积分算子来构造近似导数的方法 其基本思想是在文献 6 中提出的 记 口 6 f x e c 3 d 假定 5 力是 上的有界可积函数 在意义 妙一 5 l s u p i 厂 z 一厂 力 0 对1 上的有界可积函数厂 曲定义积分算子 o f x 2 音l 矿 卅 函 x d 6 5 1 2 在一定的条件下 可以用 b f 5 x 作为f 的近似 定理5 1 1 对 曲 c 3 d 记 毛 8 k 其给定的扰动数据 5 x 满足式 5 1 1 则有 o 卅 等九篆 5 t 3 证明由八工 f 在x 的盈y 衙展开式 f x t f x 厂 咖 寺厂 咖2 圭厂 善 f 3 可得 d h f x x 嘉l 八力 砌唁 八 斗 石1 上 m 缈4 者 由此得估计 k 协似力 x i 筹驴西 等 2 而 l 见厂 x 一 d h f a x l 斋 f l o f 一厂o 印 j 萨3 r r i 厂 x 一广 x p 堕旷 笙 1 0 2 则有 厂l l s 等萨 芸 武汉理工大学硕士学位论文 很显然 当取 1 5 l 毛 片占k 时 式 3 1 2 的右端极小 此时的误差是 阿4 了j l s 3 静班万驴 5 r 1 4 5 2 误差估计 由上面定理我们可以看出 正则化参数h 的选取依赖于厂 的上界 在 h 0 万班 取法下 d 厂5 o 逼近厂 曲的精度是h 0 占筇 下面的结果表明 对 几乎所有 的厂 该精度是最优的 定理5 2 1 设八曲 c 3 d 若存在一个取法h h 8 一o 8 哼0 使得对 满足式 5 1 1 的一切厂5 成立 慨厂5 一f 7 f l d 够印 5 2 1 则 曲必为二次多项式 证明只要证明在 上厂弋j 0 f 用反证法 假定存在而 使得厂 力 口 o 由连续性 对p o 0 1 存在 的邻域 v x o r t o 使得 口 1 一风 f x a o p o 石 c o t l o 而 成立 取8 0 充分小使得o s h 8 a 1 p o h 2 1 0 构造阶跃函数 州 代葚 并由此构造厂5 工 d 矿 x 则显然有8 5 一 j ls 艿 直接计算得 见妒 万3 印 而 r 出 嘉 o x o d s 凼 筹 武汉理工大学硕士学位论文 则有 d 厂5 一 x o d h f 矗 一d f x o d f x o f 气 a 1 p o h 2 丝 o 1 04 h 该估计表明对这样的厂5 有 粉广吖k l 见九扩低 l 丝专产肌筹 从而有 a 1 p o h 2 丝 d 占轳 1 0 4 h 此式等价于 竺掣 笋 2 蒜 无论万一0 和h a 专0 的相对速度如何 此关系都是不可能的 得出了矛盾 因 此在j 上必有 力 o 类似可证在i 上必有f 曲 o 从而在j 上 功 0 则 力必为二次多项式 当对厂 曲的光滑性加强例如厂 力 c 5 时 可以构造类似的积分算子使得 功厂x x j j j 匠f 力的精度达到d 艿 这里我们只给出其相对应的两个结果 而不给出它的证明 其证明与定理5 1 1 和定理5 2 1 的证明相似 定义 或g 力 吾 喀 f 击一j 南 喀 4 芝t a t 定理5 2 2 对厂 d 记鸩 1 凹l l 则有估计 4 或厂 了b 告肌 3 2 面x 压 1 a 5 2 2 当取h 0 8 忡 时 上述逼近的精度是p 艿舻 定理5 2 3 设八砖 d 若存在一个取法h 由p 专0 a 斗o 使得对满足 式 5 2 2 的一切厂5 成立 l 磊 4 一 也 口 j 们 5 2 3 则厂 工 必为四次多项式 武汉理工大学硕士学位论文 第六章二阶数值微分的积分算子法 6 1 近似已知函数的二阶导数的积分方法 积分算子方法的好处是 正则化解简单明了 计算方法简单 对正则化解 的求导也非常之方便 因此 非常有实用价值 鉴于在一些实际应用中 不光要 求一阶数值微分 有时候有可能要求二阶甚至更高阶的数值微分 将该方法应用 于求二阶导数问题 并用于二阶数值微分问题 同上 i e l a 6 o c 3 假定 5 曲是i 上的有界可积函数 在 意义 l i i 1 5 l s u p v x 一厂 功i 0 对 上的有界可积函数f x 定义积分算子 见 x 工 2 l t 工 f 一f x d t 6 1 2 此积分算子也可写为 d f x x 吾 i f x h t 一厂 工 p 在一定的条件下 可以用 见f 5 力作为 功的近似 定理6 1 1 x 寸f x ec 3 d m 3 6 k 其给定的扰动数据 5 曲满足式 6 1 1 1 则 慨产 0 等n 警 证明由厂o f 在x 的t a y l o r 展开式 o f 一厂 刁 厂 班 寺厂 j 嘎2 圭 f f 3 可得 协 x 班万3 矿r l m 屯r 八 斗 万1 厂 泓3 毋 由此得估计 i 现删丫 l 等 出l 等 而 武汉理工大学硕士学位论文 l 协力 x 一 d h f 呗x l 吾l i o r 一厂o 印 吾 i 厂 一广 x 印 1 2 g h 2 则有 慷厂 l l 等 丁1 2 8 6 1 3 显然 当 爱 万 时 6 1 3 式的右端极小 此时的误差是 慨厂一一厂一l l 6 坞 占 定理6 1 i 说明 若厂 力 c 3 在 d 取法下 见厂5 逼近厂的精 度是d 事实上 若 曲 c 4 时 可以证明其精度可达到d 其证 明方法同定理6 1 1 定理6 1 2 对厂 力 c 4 记肘 i i s 4 j l 其给定的扰动数据 4 曲满足式 6 1 1 则 8 d 产厂小等肌警 当 静 占 时 上式的右端极小 其误差是 6 绣广7 峪 等 羹 6 2 二阶数值微分问题 6 2 1 问题的提出与想法 设 b 是定义在区间 o l 上的一个函数 a o x o a i 毛 1 是 o 1 的一个划分 挑 一薯 f 0 1 2 n 1 记 i n a x 酏 函数 f x 1 的测量值f 5 x 3 满足 i 厂6 一厂 i 占 f 1 2 拧 6 2 1 其中艿表示数据的误差程度 二阶数值微分问题就是通过协 5 来求得 厂 工 的近似值 为此我们首先构造线性插值函数 定义6 2 1 设函数厂 力e c o 1 o x o 1 是 o 1 的一个划 武汉理工大学硕士学位论文 分 而i h 一毛 f o l 2 n 1 i 己h m m a x 一 吃 则称分段线性函数 工 窆 薯m 石 6 2 2 为厂 x 在区间 0 l 上关于划分 的分段线性插值函数 其中 插值基函数 洲加 嚣 x o x x a 怙 篇一 奴 io x o x x v 10 x o s xx n i x 盐 z i l z 蔓一 一 毛一t l 监 x f x 蔓 一一l i 而一 0 口 卅一 一 l x j l 在子区间h 五 i o o l 2 n o 上 厶 j 够表示式为 厶 x 五 喜j 等 八k k x 一x i 6 2 3 x i x i l x 1 一x i 分段线性插值函数l o 的几何意义 是通过n 1 个点如 厂也 的折线 定理6 2 1 若函数厂 力在插值区间 o 1 上二阶导数连续 并记 如 l i 2 i l i f x 一i t x t m z h 2 8 v x e o 1 6 2 4 证明只要证明在任意区间b o l 2 甩一1 上 6 2 4 式成立即可 由于 厂 力一厶 工 掣 x 一五 x x o 善 k 而0 一x x x k 在x 玉 2 时取得极大值 则有 帅州工 i s 坠竽 m a x 胁f l m 2 h 2 8 从而定理6 2 1 成立 下面讨论二阶数值微分问题 设 毒 是定义在区间 o t 上的一个函数 玲 而 x l l 是 0 l 的一个划分 她 x u l 一而 f o l 2 雄一1 记 矗 婴黑 她 函数 武汉理工大学硕士学位论文 厂 砷的测量值 4 满足 l 5 一厂 j 艿 i 1 2 疗 6 2 5 其中万表示数据的误差程度 我们通过 薯 f 4 而 来求得厂 工 的近似值 假设于 是 乙的线性插值函数 尸是 厂5 而 三的线性插值函数 则由 6 2 5 显然有0 广一列 万 而 扩一几 垆一孔 j i 于一 i l 6 2 6 其中对于式 6 2 6 中的畛一 i l 若厂 工 c 2 m 2 u r 2 k 则有定理 5 2 1 有 睁 i l 等 曲 2 从而由 6 2 6 可知 炉一九 j 等 幽 2 6 2 7 为了用积分算子方法求厂 力的近似值 可以考虑以 f 5 x n 的线性插 值函数尸瓴 作为厂 功的近似已知函数 以协广作为 力的近似 6 2 2 误差估计 为了便于讨论 我们以等距的节点为研究对象作误差估计 非等距节点的情 形与之类似 于是我们有下面的结论 定理6 2 2 设 x e c 3 o l a o x o i 是 o l 的一个等距划分 即 x 枷 i 0 1 2 耳一1 函数 力在节点的测量值厂5 如 满足 i f a x f x 1 6 i 1 2 疗 户是如 5 瓴 的线性插值函数 则绣夕可以作为厂 的近似 且有 缈了吐 詈 艿 丝4 6 2 8 其中鸩 i l 厂 2 l m 3 妒3 l 艿表示数据的误差程度 h 为正则化参数 n l 为 节点数 证明由于在定理6 1 1 中有下式成立 j 见傩h l s 堕h 3 1 西l 等 i l 则有 武汉理工大学硕士学位论文 8 b 于4 一 1 l 蚴夕 d x l l l l n j f 0 0 绣夕 绣 1 l 堕4 办 由积分算子 6 1 2 可知 峙尸一协厂ks 吾 f o 一户o r 印 f j l x 一夕 x p 则由 6 2 7 式有 i i 见户一d i l 芳r 万 嚣弦 5 一绣几 詈c j 即 l 岛夕5 丁k l 见于5 一d i l 等 詈c j 十 等m 证毕 不妨设哦 占 兹 由定理6 2 2 可知 当矗 m 卧 j 时 6 2 8 式右端极小 3 此时的误差为 l b 夕一 i ls 6 坞2 j 如 i 同时我们由定理6 2 2 可以看出 正则化参数h 的选取与先验数据肘及节点数 刀有关 6 3 数值试验 为了便于比较计算结果 我们以足够光滑的函数为比较对象 所有数值例子 中的测量值 都是由函数的精确值加上随机误差所生成的 误差的大小不超过 各自的万值 计算的步骤如下 s t e p1 给出足够光滑的函数 j 及其定义区间f 口 b 1 将区间刀等分 德到 n 1 个节点t 0 x o x a 屯 6 记a 一玉 b a n s t e p2 对事先给定误差艿 由计算机随机得出f x t 的误差值 5 薯 其中 随机产生的扰动值 4 而 为函数的精确值 而 加上随机误差4 8 则有 武汉理工大学硕士学位论文 l 厂6 一厂 玉 i j i l 2 疗 s t e p3 以节点 和其扰动值厂5 瓴 构造线性插值函数广 工 s t e p4 由节点数n 先验数据j i 厶 嬲及误差万给出合适的正则化参数h 并用积分算子o h f 得出q 户 则见夕就是厂 的近似 s t e p5 在同一平面内画出两函数见 5 和厂 的图形 以下数值例子是在个人计算机上计算的 电脑配置为c p u l 7 g 2 5 6 m 内存 语言是m a t l a b 例6 1 选取精确解函数为又刁 s i n 2 曲 函数定义域为 22 将区阃 卜22 疗等分 盯 2 0 0 占 0 0 0 1 选取h 0 3 计算结果见图1 图1 例6 2 选取精确解函数为 力 工2 3 x 1 s i n x 函数定义域为 33 将区间 33 以等分 万 2 0 0 d 0 0 0 1 选取h 0 2 计算结果见图2 图2 武汉理工大学硕士学位论文 在图1 和图2 中 实线 蓝 为 力 虚线 红 为 岛 5 j 上述是用积分算子来求近似二阶导数的正则化方法 数值试验表明这种方 法计算简单 精度虽然没有改进 但运算量极小 计算所用时间为0 5 6 秒 结 果比较理想 虽然这里得到的误差估计对 上的点是一致成立的 但是在具体的 数值计算中 同其它方法一样 靠近j r 的端点的点的二阶导数无法计算积分 解 决此问题的一个办法就是把 上的函数适当向外延拓 另一方面 这里h