高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 坐标系与参数方程课件 理 新人教版.ppt

坐标系与参数方程 1 极坐标与直角坐标的互化公式设点p的直角坐标为 x y 极坐标为 则 cos sin x2 y2 2 常见圆的极坐标方程 1 圆心在极点 半径为r的圆 2 圆心为m a 0 半径为a的圆 3 圆心为m 半径为a的圆 r 2acos 2asin 3 常见直线的极坐标方程 1 直线过极点 直线的倾斜角为 2 直线过点m a 0 且垂直于极轴 3 直线过点m 且平行于极轴 r cos a sin a 4 直线 圆与椭圆的参数方程 t为参数 为参数 为参数 易错提醒 1 忽略条件致误 极坐标与直角坐标互化的前提条件是把直角坐标系的原点作为极点 x轴正半轴作为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位 否则两者不能互化 2 忽略范围致误 在将曲线的参数方程化为普通方程时 不仅要把其中的参数消去 还要注意x y的取值范围 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 热点考向一极坐标与直角坐标的互化命题解读 主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的几何意义 同时考查了转化与化归思想 典例1 2015 全国卷 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解题导引 1 根据极坐标与直角坐标的互化公式求解 2 利用极坐标方程和极径的几何意义求出 mn 即可 规范解答 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 mn 由于圆c2的半径为1 所以c2m c2n 所以 c2mn的面积为 规律方法 解决极坐标系问题的策略 1 如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程 则可以统一转化到直角坐标系中 利用直角坐标系的定理 公式解题 2 如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂 不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角 极径关系比较明显 比如已知两个点的极坐标 求两个点间的距离 则可以直接利用已知的极角 极径结合余弦定理求距离 变式训练 2016 乌鲁木齐二模 在平面直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 圆 2cos 与圆 sin 交于o a两点 1 求直线oa的斜率 2 过o点作oa的垂线分别交两圆于点b c 求 bc 解析 1 由得2cos sin tan 2 所以koa 2 2 设由题意知 tan 2 则则代入 2cos 得 代入 sin 得所以 bc 1 2 加固训练 在极坐标系中 已知圆c经过点 圆心为直线与极轴的交点 求圆c的极坐标方程 解析 方法一 点的直角坐标为 1 1 直线的直角坐标方程为x y 0 令y 0 得x 1 则圆心坐标为 1 0 故半径r 1 则所求圆的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 化为极坐标方程为 2cos 方法二 因为圆c圆心为直线与极轴的交点 所以在中令 0 得 1 所以圆c的圆心坐标为 1 0 因为圆c经过点 所以圆c的半径为pc 所以圆c经过极点 所以圆c的极坐标方程为 2cos 热点考向二参数方程与普通方程的互化和应用命题解读 主要考查参数方程与普通方程的互化公式 参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义 典例2 2016 衡阳二模 已知曲线c的参数方程为 t为参数 1 求曲线c的普通方程 2 过点p 0 1 的直线l与曲线c交于a b两点 求 pa pb 的取值范围 解题导引 1 根据 t2 4 2 4t 2 t2 4 2消去参数 2 写出直线的参数方程 根据参数t的几何意义求解 规范解答 1 因为又因为x 1 1 所以c的普通方程为x2 1 x 1 1 2 设直线l的参数方程为 为倾斜角 且 代入曲线c得 1 3cos2 t2 2sin t 3 0 设两根为t1 t2 所以 pa pb t1t2 因为 故 pa pb 规律方法 1 参数方程化为普通方程消去参数的方法 1 代入消参法 将参数解出来代入另一个方程消去参数 直线的参数方程通常用代入消参法 2 三角恒等式法 利用sin2 cos2 1消去参数 圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法 3 常见消参数的关系式 2 参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 1 可以统一成普通方程处理 2 利用参数方程中参数解决问题 如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题 利用圆锥曲线参数方程中的参数角 解决与最值相关的问题 变式训练 2016 重庆二模 在直角坐标系xoy中 过点p 作倾斜角为 的直线l与曲线c x2 y2 1相交于不同的两点m n 1 写出直线l的参数方程 2 求的取值范围 解析 1 t为参数 2 将直线参数方程代入x2 y2 1 得t2 cos 3sin t 2 0 由 0 有 因为t1t2 2 0 所以 加固训练 已知直线l t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c的极坐标方程为 2cos 1 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程 2 设点m的直角坐标为 5 直线l与曲线c的交点为a b 求 ma mb 的值 解析 1 2cos 等价于 2 2 cos 将 2 x2 y2 cos x代入 得曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 2 将代入 得t2 5t 18 0 设这个方程的两个实数根分别为t1 t2 则由参数t的几何意义即知 ma mb t1 t2 18 热点考向三极坐标与参数方程的综合应用命题解读 主要考查极坐标方程 参数方程和普通方程的互化 以及极坐标方程与参数方程的应用 同时考查转化与化归能力 典例3 2015 全国卷 在直角坐标系xoy中 曲线c1 t为参数 且t 0 其中0 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 2sin c3 2cos 1 求c2与c3交点的直角坐标 2 若c1与c2相交于点a c1与c3相交于点b 求 ab 的最大值 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成三个小题 把曲线c1的方程化为极坐标方程 由此写出点a b的极坐标 根据极径的几何意义将 ab 用含 的三角函数表示出来 利用三角函数知识求最值 规范解答 1 曲线c2的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 曲线c3的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 联立解得或所以c2与c3交点的直角坐标为 0 0 和 2 曲线c1的极坐标方程为 r 0 其中0 因此a的极坐标为 2sin b的极坐标为 2cos 所以 ab 2sin 2cos 当 时 ab 取得最大值 最大值为4 母题变式 1 若本例题的条件不变 试写出c2 c3的参数方程 并写出c2 c3的极坐标 解析 曲线c2的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 即x2 y 1 2 1 曲线c3的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 即 x 2 y2 3 因此曲线c2的参数方程为曲线c3的参数方程为由本例题知曲线c2 c3交点的直角坐标为 0 0 和则它们的极坐标为 0 0 和 2 若本例题条件改为 已知平面直角坐标系xoy中 以o为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 曲线c的参数方程为 为参数 a b在曲线c上 且a b两点的极坐标分别为 试求 1 把曲线c的参数方程化为普通方程和极坐标方程 2 求线段ab的长度 解析 1 曲线c的普通方程为化为极坐标方程为 2 把极坐标代入曲线c的极坐标方程中 得 所以 ab 规律方法 解决极坐标方程 参数方程综合问题的方法与极坐标方程 参数方程相关的问题往往涉及直线 圆 椭圆 处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程 利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题 另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程 化为三角函数的最值问题处理 变式训练 2016 全国卷 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 t为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 4cos 1 说明c1是哪一种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公共点都在c3上 求a 解析 1 t为参数 所以x2 y 1 2 a2 所以c1为以 0 1 为圆心 a为半径的圆 方程为x2 y2 2y 1 a2 0 因为x2 y2 2 y sin 所以 2 2 sin 1 a2 0 即为c1的极坐标方程 2 c2 4cos 两边同乘 得 2 4 cos 因为 2 x2 y2 cos x 所以x2 y2 4x 即 x 2 2 y2 4 c3 化为普通方程为y 2x 由题意 c1和c2的公共方程所在直线即为c3 得 4x 2y 1 a2 0 即为c3 所以1 a2 0 所以a 1 加固训练 2015 平顶山一模 已知直线l的参数方程为 t为参数 曲线c的参数方程为 为参数 1 若在极坐标系 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴 中 点p的极坐标为 判断点p与直线l的位置关系 2 设点q是曲线c上的一个动点 求点q到直线l的距离的最大值与最小值的差 解析 1 把点p的极坐标化为直角