高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2 (2).ppt

4 1 1圆的标准方程 1 明确圆的基本要素 能用定义推导圆的标准方程 2 会求圆的标准方程 能够判断点与圆的位置关系 1 2 1 圆 1 2 名师点拨1 由圆的标准方程 可直接得到圆心和半径 给出圆心和半径 也可直接写出圆的标准方程 2 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中 有三个参数a b r 其中 a b 为圆心 r为半径 结合圆的定义可知 圆心 a b 在确定圆时起到定位作用 即影响圆的位置 而半径r在确定圆时起到定形作用 即影响圆的大小 1 2 做一做1 1 圆x2 y2 1的圆心坐标为 a 0 0 b 1 1 c 0 1 d 1 0 答案 a 1 2 做一做1 2 圆 x 1 2 y 2 2 2的半径为 答案 b 1 2 1 2 1 2 做一做2 已知圆c x 1 2 y 2 2 4 点p x0 y0 在圆c的内部 且d x0 1 2 y0 2 2 则有 a d 2b 0 d4d 0 d 4答案 d 1 2 1 特殊位置的圆的标准方程剖析 如下表所示 1 2 2 圆不是函数的图象剖析根据函数的知识 对于平面直角坐标系中某一曲线 如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点 那么这条曲线是函数的图象 否则 不是函数的图象 在平面直角坐标系中 垂直于x轴的直线与圆至多有两个交点 因此圆不是函数的图象 但是存在图象是 1 2 函数和圆的联系 丰富了函数概念的内涵 又对圆赋予了代数意义 因此 可以用函数来研究平面几何问题 反过来也可以用平面几何研究函数问题 这充分揭示了数和形的密切联系 体现了数形结合的完美统一 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断点与圆的位置关系 可以判断该点与圆心间的距离和圆的半径的大小关系 也可将该点的坐标代入圆的方程判断 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知点a 1 2 在圆c x a 2 y a 2 2a2的内部 求实数a的取值范围 解 因为点a在圆的内部 所以 1 a 2 2 a 2 2a2 所以2a 5 0 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 求经过a 6 5 b 0 1 两点 并且圆心c在直线l 3x 10y 9 0上的圆的标准方程 解法一 直接法 由题意 得线段ab的垂直平分线的方程为3x 2y 15 0 题型一 题型二 题型三 题型四 解法二 待定系数法 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 故所求圆的标准方程是 x 7 2 y 3 2 65 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求圆的标准方程的方法 1 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和半径 因此用直接法求圆的标准方程时 一般先从确定圆的两个要素入手 即先求出圆心的坐标和半径 再写出圆的标准方程 确定圆心和半径时 常用到中点坐标公式 两点间的距离公式 有时还用到平面几何知识 如 弦的中垂线必过圆心 两条弦的中垂线的交点为圆心 等 2 待定系数法 步骤是 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 由条件列方程 组 解得a b r的值 写出圆的标准方程 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 求下列圆的标准方程 1 圆心在原点 半径是2 2 圆心在点 2 1 且过原点 3 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 解 1 因为圆心为 0 0 半径为2 所以圆的标准方程为x2 y2 4 2 因为圆心为 2 1 且过原点 所以圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 5 题型一 题型二 题型三 题型四 3 因为圆心在y轴上 故可设圆心坐标为 0 b 因为圆的半径为1 且过点 1 2 故圆的标准方程为x2 y 2 2 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思形如 x m 2 y n 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 体现了转化思想 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 已知实数x y满足 x 2 2 y2 9 求x2 y2的最大值和最小值 解 根据题意知x2 y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方 显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时 其平方也相应取得最大值和最小值 因为原点 0 0 到圆心c 2 0 的距离为2 半径r 3 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为2 3 5 最小距离为3 2 1 所以x2 y2的最大值为25