高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件3 新人教A版必修4.ppt

2 3平面向量的基本定理及坐标表示2 3 1平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 1 条件 e1 e2是同一平面内的两个 向量 a是该平面内 向量 2 结论 存在唯一一对实数 1 2 使得a 3 基底 的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线 任一 1e1 2e2 不共线 2 两向量的夹角 1 定义 作向量 a b 则 叫做向量a与b的夹角 2 特例 0 向量a b 90 向量a b 180 向量a b aob 0 180 同向 垂直 反向 1 判一判 正确的打 错误的打 1 平面向量的一组基底e1 e2中可以有一个向量为零向量 2 任意两个向量都可以作为基底 3 平面向量的基底不是唯一的 解析 1 错误 平面向量基本定理的前提条件是e1 e2不共线 若e1 e2中有一个为零向量 而零向量和任意向量共线 这与定理的前提矛盾 故e1 e2中不可以有零向量 2 错误 若e1 e2 则e1 e2 对于任一向量a a1e1 a2e2 a1 a2 e2 所以a与e2共线 即只能表示与其共线的向量 所以作为基底的向量不能共线 3 正确 平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底 当基底一旦确定后 平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 在平面向量基本定理中 若a 0 则 1 2 2 在平面向量基本定理中 若a e1 则 2 0 若a e2 则 1 3 当向量a与b共线时 这两向量的夹角 解析 1 当a 0 即 1e1 2e2 0时 因为0 e1 0 e2 0 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 答案 0 2 当a e1时 a e1 1e1 2e2 所以根据实数 1 2相对于基底e1 e2唯一性知 1 2 0 同理可知当a e2时 1 0 答案 0 3 当向量a与b共线 即两向量同向时夹角 0 反向时夹角 180 答案 0 或180 要点探究 知识点1平面向量基本定理1 对平面向量基本定理的四点说明 1 实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式 2 唯一性 平面向量基本定理中 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底 一旦选定一组基底 则给定向量沿着基底的分解是唯一的 只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底 故基底的选取不唯一 3 特殊性 零向量与任意向量都共线 因此零向量不能作为基底 4 体现的数学思想 这个定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问题时 可以选择恰当的基底 将问题中涉及的向量用基底化归 使问题得以解决 2 平面向量基本定理与向量共线定理的联系由平面向量共线定理可知 任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示 而且这种表示是唯一的 故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广 知识拓展 证明平面向量基本定理的唯一性若存在实数 1 2 1 2 使得a 1e1 2e2 a 1e1 2e2 即 1 1 e1 2 2 e2 由于e1 e2不共线 则 1 1 2 2 微思考 1 判断两个向量能否作为基底的关键是什么 提示 判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共线 若共线 则不能作为基底 否则可以作为基底 2 平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系 提示 平面向量基本定理可以理解为向量线性运算的推广 都是用已知向量表示未知向量的依据 即时练 1 设e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 以下各组向量中不能作为基底的是 a e1 e2b e1 e2 3e1 3e2c e1 5e2d e1 e1 e22 已知e1 e2不共线且 3x 4y e1 2x 3y e2 2e1 7e2 则x y 3 若向量a b不共线 且c 2a b d 3a 2b 试判断c d能否作为基底 解析 1 选b 由于不共线 则e1 5e2不共线 e1 e1 e2不共线 故a c d中的向量都可以作为基底 因为3e1 3e2 3 e1 e2 所以e1 e2 3e1 3e2不能作为基底 2 因为e1 e2不共线 所以有解得所以x y 3 答案 3 3 设存在实数 使得c d 则2a b 3a 2b 即 2 3 a 2 1 b 0 由于a b不共线 从而2 3 2 1 0 这样的 是不存在的 从而c d不共线 故c d能作为基底 知识点2两个向量的夹角1 向量夹角的几何表示依据向量夹角的定义 两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点 这样它们所成的角才是两向量的夹角 如图 已知两向量a b 作 a b 则 aob为a b的夹角 2 理解向量夹角的两个关注点 1 向量的夹角是针对非零向量定义的 2 向量的夹角和直线的夹角范围是不同的 它们分别是 0 和 微思考 1 等边三角形abc中 向量的夹角是60 吗 提示 不是 求两个向量的夹角时 两个向量的起点必须相同 所以等边三角形abc中 向量与的夹角是120 而不是60 2 关于两向量的夹角问题 最易出现何种失误 提示 易忽视两个向量的夹角的定义 将向量的夹角误认为表示向量的有向线段所在直线的夹角 即时练 1 若向量a b的夹角为30 则向量 a b的夹角为 a 60 b 30 c 120 d 150 2 如图 在 abc中 的夹角与的夹角的关系为 解析 1 选b 将向量移至共同起点 则由对顶角相等可得向量 a b的夹角也是30 2 与的夹角为 cab 而与的夹角为 cab 故这两个角互补 答案 互补 题型示范 类型一用基底表示向量 典例1 1 2014 黄石高一检测 已知平行四边形abcd 下列各组向量中 是该平面内所有向量基底的是 2 已知ad是 abc的bc边上的中线 若 a b 则 a a b b a b c a b d a b 3 如图 设点p q是线段ab的三等分点 若 a b 则 用a b表示 解题探究 1 两个向量可以作为基底的条件是什么 2 题 2 中由ad是 abc的bc边上的中线 可得ad与 abc有何关系 3 题 3 中与 两向量有何关系 与 呢 探究提示 1 两个向量可以作为基底的条件是不共线 2 ad的长度等于以ab ac为邻边的平行四边形以点a为起点的对角线长的一半 3 自主解答 1 选d 由于不共线 所以是一组基底 2 选d 如图所示 因为所以 a b 3 a b 答案 b aa b 方法技巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 1 根据平面向量基本定理 任何一组基底都可以表示任意向量 用基底表示向量 实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则 进行向量的加减法运算 2 要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形 利用已知向量表示未知向量 或找到已知向量与未知向量的关系 用方程的观点求出未知向量 变式训练 2014 新乡高一检测 设不共线 t t r 用表示 解析 因为 t t r 所以 误区警示 本题易发生的错误 补偿训练 已知e1 e2不共线 a e1 2e2 b e1 e2 且a b是一组基底 求实数 的取值范围 解析 a b是一组基底 且e1 e2不共线 所以故 类型二平面向量基本定理的应用 典例2 1 2014 韶关高一检测 已知向量a b c满足 a 1 b 2 c a b c a 则a b的夹角等于 2 如图 在矩形oacb中 e和f分别是边ac和bc上的点 满足ac 3ae bc 3bf 若其中 r 求 的值 解题探究 1 题 1 中以向量a b c作为三角形的三边 结合c a b c a会得到一个什么样的三角形 2 在同一个平面内 利用同一组基底表示出向量a 1e1 2e2 a 1e1 2e2 则 1 2 1 2有什么关系 探究提示 1 作 a b 则c a b 由于c a 则此三角形为直角三角形 2 满足 1 1 2 2 自主解答 1 作 a b 则c a b 如图所示 则a b夹角为180 c 因为 a 1 b 2 c a 所以 c 60 所以a b的夹角为120 答案 120 2 在矩形oacb中 所以所以 延伸探究 若题 1 的已知条件中的 b 2 改为 b 其余条件都不变 则a b的夹角又如何求解呢 解析 作 a b 则c a b 如图所示 则a b夹角为180 c 因为a 1 b c a 所以 c 45 所以a b的夹角为135 方法技巧 两向量夹角的实质与求解方法 1 两向量夹角的实质 从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角 结合平面几何知识加以解决 2 求解方法 利用平移的方法使两个向量起点重合 作出两个向量的夹角 按照 一作二证三算 的步骤求出 变式训练 1 2014 玉溪高二检测 在 abc中 p是边bc中点 角a b c的对边分别是a b c 若则 abc的形状为 a 等边三角形b 钝角三角形c 直角三角形d 等腰三角形但不是等边三角形 解析 选a 从已知条件可联想到向量的加法运算所以而p是bc中点 所以所以由得变形得根据平面向量基本定理得 所以a b c 所以 abc是等边三角形 2 2014 青岛高一检测 在 abc中 若 a 120 ab ac 则的夹角的大小为 解题指南 由ab ac可判定此三角形为等腰三角形 即 b c 结合 a 120 以及与的夹角与 b的关系求解 解析 如图所示 因为 a 120 ab ac 所以 b 30 与的夹角为180 b 150 答案 150 补偿训练 2014 扬州高一检测 如图 abcd中 e是ad中点 be交ac于点f 则 的值为 解析 设 a b 则 a b a b a b 又所以所以 答案 易错误区 平面向量的基本定理理解不准确致误 典例 2014 潍坊高一检测 如图 在 abc中 点m是边bc的中点 点n在边ac上 且an 2nc am与bn相交于点p 则ap pm a 1 4b 4 1c 4 5d 5 4 解析 选b 设 e1 e2 则 3e2 e1 2e1 e2 因为a p m和b p n分别共线 所以存在实数 使得 e1 3 e2 2 e1 e2 故 2 e1 3 e2 而 由平面向量基本定理 得解得所以所以ap pm 4 1 常见误区 防范措施 1 方程思想的运用充分