高中数学选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入+张海龙+高二年级+瓜州一中.docx

高中数学选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入姓名：张海龙 单位：瓜州一中 电话：150026649761、 单元教学内容1、本章知识结构框图2、 本章内容的安排 本章内容分为2节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算。 本章教学时间约4课时，具体分配如下表：课题课时3.1数系的扩充和复数的概念约2课时3.2复数代数形式的四则运算约2课时2、 分析单元教学要素1、数学分析 （1）复数系是在实数系的基础上扩充而得到的。为了帮助学生了解引入复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了又实数系扩充到复数系的过程，这样不仅可以激发学生学习复数的欲望，而且可以比较自然地进入复数的学习之中。 （2）复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。（4） 复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法，复数的加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法乘法的有关运算律在这里仍然成立。 （5）复数的加法、减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来。2、课标分析与传统教科书的复数内容相比，人教版高中数学选修2-2的复数内容有了比较多的删减，教学中应该严格执行普通高中数学课程标准（实验）的要求，不宜多作补充和延伸，也应该注意避免繁琐的计算与技巧的训练。3、 教材比较分析 （1）类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示。用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数有了直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。（2） 由减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算的规定，可以得到复数减法、除法的运算法则。复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的合并同类项分母有理化等，利用，将它们归结为实数的四则运算。4、 学情分析(1)我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解.（4）学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。（5）学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。（6）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。（7）学生层次参差不齐，个体差异比较明显。5、重点与难点分析 由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。 6、教学方式分析（1）以问题为载体，以学生活动为主线,方法如下： 创设情境建构数学知识运用归纳总结巩固作业 例如讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而让学生积极主动地建构虚数单位的概念、复数的概念、复数相等的充要条件以及复数的分类，再举出例题让大家在讨论探究中学会运用。（2）以类比推理或类比思想进行教学例如复数的运算通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。3、 单元教学目标1、 课程目标 本章学习的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。（1）复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。（2）通过本章学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。2、 学习目标（三维学习目标） 知识与技能目标： （1）了解数系的扩充过程，感受理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）理解虚数单位、复数的概念，掌握复数的代数形式及复数相等的充要条件； （3）把握复数集和实数集的关系，清楚虚数、纯虚数的概念及复数的分类。 （4）掌握复数代数形式的加减运算法则并了解复数代数形式的加减运算的几何意义 （5）理解复数代数形式的乘除运算法则体验复数问题实数化的思想方法过程与方法目标： （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）在认识复数集的过程中了解掌握“类比”思想，“分类”思想。情感态度与价值观目标： （1）让学生体会数与现实世界的联系，感受数学来源与生活，从而提高学生学习数学的兴趣； （2）初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观。四、单元教学流程课题课时3.1.1数系的扩充和复数的概念约1课时3.1.2复数的几何意义约1课时3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义约1课时3.2.2复数代数形式的乘除运算约1课时章末总结复习课约1课时5、 评价、反思与修改（主要是渗透数学思想的反思）1、 数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。2、方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及等，进行复数与实数间的转化。4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单化，从而化整为零，各个击破。5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数zabi的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a，b相关的等式，求出a，b即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。具体的案例：第4课时 3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题3.复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程： 1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者5.除法运算规则：设复数a+bi(a，bR)，除以c+di(c，dR)，其商为x+yi(x，yR)，即(a+bi)(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy