高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 文 苏教版.ppt

9 7抛物线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内到一个定点f和一条定直线l f不在l上 的距离的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程与几何性质 知识梳理 相等 焦点 准线 1 抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 到焦点的距离pf x0 也称为抛物线的焦半径 2 y2 ax的焦点坐标为 准线方程为x 3 设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 弦长ab x1 x2 p 为弦ab的倾斜角 3 以弦ab为直径的圆与准线相切 4 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 长等于2p 通径是过焦点最短的弦 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 ab为抛物线y2 2px p 0 的过焦点f 0 的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长ab x1 x2 p 考点自测 1 2016 四川改编 抛物线y2 4x的焦点坐标是 答案 解析 1 0 对于抛物线y2 ax 其焦点坐标为 对于y2 4x 焦点坐标为 1 0 2 2017 苏州模拟 已知抛物线c y2 x的焦点为f a x0 y0 是c上一点 af 则x0 答案 解析 1 由抛物线的定义 可得af x0 3 2016 苏州模拟 设坐标原点为o 抛物线y2 2x与过焦点的直线交于a b两点 则 答案 解析 设a x1 y1 b x2 y2 由题意知过焦点的直线斜率不为0 设其直线方程为x ky 则由得y2 2ky 1 0 几何画板展示 4 教材改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 答案 解析 y2 8x或x2 y 设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将p 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y 5 2017 南京月考 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 答案 解析 2 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 圆x2 y2 6x 7 0 即 x 3 2 y2 16 则圆心为 3 0 半径为4 又因为抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 所以3 4 解得p 2 题型分类深度剖析 题型一抛物线的定义及应用例1设p是抛物线y2 4x上的一个动点 若b 3 2 则pb pf的最小值为 答案 解析 4 如图 过点b作bq垂直准线于点q 交抛物线于点p1 则p1q p1f 则有pb pf p1b p1q bq 4 即pb pf的最小值为4 几何画板展示 引申探究1 若将本例中的b点坐标改为 3 4 试求pb pf的最小值 解答 由题意可知点 3 4 在抛物线的外部 因为pb pf的最小值即为b f两点间的距离 即pb pf的最小值为 几何画板展示 2 若将本例中的条件改为 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 求d1 d2的最小值 解答 由题意知 抛物线的焦点为f 1 0 点p到y轴的距离d1 pf 1 所以d1 d2 d2 pf 1 易知d2 pf的最小值为点f到直线l的距离 故d2 pf的最小值为 所以d1 d2的最小值为 1 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 思维升华 跟踪训练1设p是抛物线y2 4x上的一个动点 则点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 易知抛物线的焦点为f 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到f的距离 于是 问题转化为在抛物线上求一点p 使点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和最小 显然 连结af与抛物线相交的点即为满足题意的点 此时最小值为 几何画板展示 题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线c1 1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2 则抛物线c2的方程为 答案 解析 x2 16y 1的离心率为2 x2 2py p 0 的焦点坐标为 1的渐近线方程为y 即y 由题意得 2 p 8 故c2的方程为x2 16y 命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f a x1 y1 b x2 y2 是过f的直线与抛物线的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 证明 由已知得抛物线焦点坐标为 0 由题意可设直线方程为x my 代入y2 2px 得y2 即y2 2pmy p2 0 则y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 2 为定值 证明 因为x1x2 x1 x2 ab p 代入上式 3 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 设ab的中点为m x0 y0 分别过a b作准线的垂线 垂足为c d 过m作准线的垂线 垂足为n 所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷改编 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a b两点 交c的准线于d e两点 已知ab de 则c的焦点到准线的距离为 答案 解析 4 不妨设抛物线c y2 2px p 0 则圆的方程可设为x2 y2 r2 r 0 如图 点a x0 在抛物线y2 2px上 8 2px0 点a x0 在圆x2 y2 r2上 8 r2 点在圆x2 y2 r2上 5 r2 联立 解得p 4 即c的焦点到准线的距离为4 2 若抛物线y2 4x上一点p到其焦点f的距离为3 延长pf交抛物线于q 若o为坐标原点 则s opq 答案 解析 如图所示 由题意知 抛物线的焦点f的坐标为 1 0 又pf 3 由抛物线定义知 点p到准线x 1的距离为3 点p的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 由图知点p的纵坐标y p 2 直线pf的方程为y x 1 方法一联立直线与抛物线的方程 方法二将y x 1 代入y2 4x 得2x2 5x 2 0 x1 x2 pq x1 x2 p o到pq的距离d 题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线c y2 8x与点m 2 2 过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a b两点 若 0 则k 答案 解析 2 抛物线c的焦点为f 2 0 则直线方程为y k x 2 与抛物线方程联立 消去y化简得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设点a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 4 x1x2 4 所以y1 y2 k x1 x2 4k y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 16 因为 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 x1 2 x2 2 y1 2 y2 2 x1x2 2 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 8 0 将上面各个量代入 化简得k2 4k 4 0 所以k 2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5 2016 全国丙卷 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交c于a b两点 交c的准线于p q两点 1 若f在线段ab上 r是pq的中点 证明 ar fq 证明 由题意知 设l1 y a l2 y b 则ab 0 记过a b两点的直线为l 则l的方程为2x a b y ab 0 由于f在线段ab上 故1 ab 0 记ar的斜率为k1 fq的斜率为k2 则 所以ar fq 几何画板展示 2 若 pqf的面积是 abf的面积的两倍 求ab中点的轨迹方程 解答 设过ab的直线为l 设l与x轴的交点为d x1 0 由题意可得 所以x1 1 x1 0 舍去 设满足条件的ab的中点为e x y 当ab与x轴不垂直时 由kab kde可得 x 1 而 y 所以y2 x 1 x 1 当ab与x轴垂直时 e与d重合 此时e点坐标为 1 0 所以所求轨迹方程为y2 x 1 x 1 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 思维升华 跟踪训练3 2016 南京 盐城 徐州二模 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线c x2 4y的焦点为f 定点a 0 若射线fa与抛物线c相交于点m 与抛物线c的准线相交于点n 则fm mn 答案 解析 1 3 由题意得f 0 1 直线af的方程为 1 将它与抛物线方程联立解得 m 准线方程为y 1 又交点在第一象限 故易求得n 1 由三角形相似性质得 典例 16分 已知抛物线c y mx2 m 0 焦点为f 直线2x y 2 0交抛物线c于a b两点 p是线段ab的中点 过p作x轴的垂线交抛物线c于点q 1 求抛物线c的焦点坐标 2 若抛物线c上有一点r xr 2 到焦点f的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 直线与圆锥曲线问题的求解策略 答题模板系列7 思维点拨 答题模板 3 中证明 0 规范解答 解 1 抛物线c x2 它的焦点f 0 2分 2 rf yr 2 3 得m 4分 3 存在实数m 使 abq定以q为直角顶点的直角三角形 联立方程消去y 得mx2 2x 2 0 依题意 有 2 2 4 m 2 0 m 7分 若存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 即2m2 3m 2 0 m 2或m 存在实数m 2 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 16分 返回 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步 联立方程 得关于x或y的一元二次方程 第二步 写出根与系数的关系 并求出 0时参数范围 或指出直线过曲线内一点 第三步 根据题目要求列出关于x1x2 x1 x2 或y1y2 y1 y2 的关系式 求得结果 第四步 反思回顾 查看有无忽略特殊情况 返回 课时作业 1 2017 盐城模拟 若抛物线y ax2的焦点坐标是 0 1 则a 因为抛物线的标准方程为x2 所以其焦点坐标为 0 则有 1 a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 答案 解析 x 1 y2 2px p 0 的焦点坐标为 0 过焦点且斜率为1的直线方程为y x 即x y 将其代入y2 2px 得y2 2py p2 即y2 2py p2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 2p p 2 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 淮安模拟 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为 答案 解析 2 直线l2 x 1是抛物线y2 4x的准线 抛物线y2 4x的焦点为f 1 0 则点p到直线l2 x 1的距离等于pf 过点f作直线l1 4x 3y 6 0的垂线 和抛物线的交点就是点p 所以点p到直线l1 4x 3y 6 0的距离和直线l2 x 1的距离之和的最小值就是点f 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0的距离 所以最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点弦ab的两端点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则的值一定等于 答案 解析 4 若焦点弦ab x轴 则x1 x2 x1x2 y1 p y2 p y1y2 p2 4 若焦点弦ab不垂直于x轴 可设ab的直线方程为y k x 联立y2 2px 得k2x2 k2p 2p x 0 则x1x2 x1 x2 p y1y2 p2 故 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 苏州一模 过抛物线y2 8x的焦点f的直线交抛物线于a b两点 交抛物线的准线于点c 若af 6 则 的值为 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a x1 y1 y1 0 b x2 y2 c 2 y3 则x1 2 6 解得x1 4 则y1 则直线ab的方程为y x 2 令x 2 则b 1 bf 1 2 3 bc 9 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 镇江模拟 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线c y2 8x相交于a b两点 f为c的焦点 若fa 2fb 则k的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线c的准线为l x 2 直线y k x 2 恒过定点p 2 0 如图 过a b分别作am l于m bn l于n 由fa 2fb 得am 2bn 从而点b为ap的中点 连结ob 则ob 所以ob bf 从而点b的横坐标为1 点b的坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则ab 答案 解析 12 焦点f的坐标为 方法一直线ab的斜率为 所以直线ab的方程为y 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 所以ab x1 x2 p 12 方法二由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 宿迁模拟 已知抛物线的方程为y2 2px p 0 过抛物线上一点m p 和抛物线的焦点f作直线l交抛物线于另一点n 则nf fm 答案 解析 1 2 由题意知直线l的方程为y 联立方程 得4x2 5px p2 0 nf fm 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 徐州 连云港 宿迁三检 已知点f是抛物线y2 4x的焦点 该抛物线上位于第一象限的点a到其准线的距离为5 则直线af的斜率为 答案 解析 抛物线y2 4x的准线为x 1 焦点f 1 0 设点a x0 y0 x0 0 y0 0 由题意得x0 1 5 所以x0 4 所以 4x0 16 y0 4 从而点a 4 4 直线af的斜率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知椭圆e的中心在坐标原点 离心率为 e的右焦点与抛物线c y2 8x的焦点重合 a b是c的准线与e的两个交点 则ab 答案 解析 6 抛物线y2 8x的焦点为 2 0 准线方程为x 2 设椭圆方程为 1 a b 0 由题意 c 2 可得a 4 b2 16 4 12 故椭圆方程为 1 把x 2代入椭圆方程 解得y 3 从而ab 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 准线为l 过抛物线c上的点a作准线l的垂线 垂足为m 若 amf与 aof 其中o为坐标原点 的面积之比为3 1 则点a的坐标为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示 由题意 可得of 1 由抛物线的定义 得af am amf与 aof 其中o为坐标原点 的面积之比为3 1 af am 3 点a的坐标是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 设直线l与抛物线y2 4x相交于a b两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值