【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(二十二) 3.8应用举例 文 新人教A版.doc

课时提升作业(二十二)应 用 举 例一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧a,b间的距离,给定下列四组数据,不一定能确定a,b间距离的是()a.,a,bb.,ac.a,b,d.,b【解析】选a.选项b中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定ab.选项c中可由余弦定理确定ab.选项d同b类似.选项a中利用正弦定理求时可能会有两解,故选a.2.已知abc的外接圆的半径为2,设其三边长为a,b,c,若abc=16,则三角形的面积为()a.1b.2c.2d.4【解题提示】根据正弦定理用上外接圆的半径,由此选择三角形的面积公式求解.【解析】选b.由正弦定理,得=22=4,即sin a=,因为abc=16,所以s=bcsin a= =2.3.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75的斜坡,改造成倾斜角为30的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长()a.100 mb.100 mc.50(+)md.200 m【解析】选a.设坡底需加长x m,由正弦定理得,解得x=100.4.(2015石家庄模拟)在abc中,面积s=a2-(b-c)2,则cos a=()【解析】选b.s=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccos a=bcsin a,所以sin a=4(1-cos a),16(1-cos a)2+cos2a=1,所以cos a=.5.(2015成都模拟)如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取a,b两点,从a,b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且a,b两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()a.(30+30)mb.(30+15)mc.(15+30)md.(15+15)m【解题提示】先在abp中求pb或pa,再解直角三角形即可.【解析】选a.在pab中,pab=30,apb=15,ab=60,sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=-=,由正弦定理,得=,所以pb=30(+),所以建筑物的高度为pbsin45=30(+)=(30+30)m.【一题多解】解答本题,还可使用以下方法:选a.设建筑物的底部为c,建筑物高pc=x,在rtpcb中,pbc=45,所以bc=pc=x,在rtpca中,pac=30,所以tan30=,即ca=x,由图知x-x=60,解得x=30(+1)(m).【加固训练】如图所示,d,c,b三点在地面的同一直线上,dc=a,从c,d两点测得a点的仰角分别为60,30,则a点离地面的高度ab等于()a.ab.c.ad.a【解析】选b.因为dac=acb-d=60-30=30,所以ac=cd=a,在rtabc中,ab=acsin60=a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在abcd中,ab=6,ad=3,bad=60,则abcd的面积为.【解析】abcd的面积s=2sabd=abadsinbad=63sin 60=9.答案:97.(2015宜宾模拟)要测量底部不能到达的电视塔ab的高度,在c点测得塔顶a的仰角是45,在d点测得塔顶a的仰角是30,并测得水平面上的bcd=120,cd=40 m,则电视塔的高度为m.【解析】设电视塔ab高为x m,则在rtabc中,由acb=45,得bc=x.在rtadb中,adb=30,所以bd=x.在bdc中,由余弦定理,得bd2=bc2+cd2-2bccdcos 120,即(x)2=x2+402-2x40cos 120,解得x=40,所以电视塔高为40 m.答案:408.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在a处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的c处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如图,设舰艇在b处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则ab=21t,cb=9t.在abc中,根据余弦定理,则有ab2=ac2+bc2-2acbccos 120,可得,212t2=102+81t2+2109t.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=- (舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案: 【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有bac=60,bad=75,所以cad=cda=15,从而cd=ca=10,在直角三角形abc中,可得ab=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:10海里三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014新课标全国卷)四边形abcd的内角a与c互补,ab=1,bc=3,cd=da=2.(1)求c和bd.(2)求四边形abcd的面积.【解题提示】(1)设出bd的长,利用余弦定理求解.(2)利用s四边形abcd=sabd+sbcd求解.【解析】(1)设bd=x,在abd,bcd中,由余弦定理,得cos a=,cos c=.因为a+c=,所以cos a+cos c=0,联立上式解得x=,cos c=,所以c=,bd=.(2)因为a+c=,c=,所以sin a=sin c=,四边形abcd的面积s=sabd+sbcd=abadsin a+cbcdsin c=(1+3)=2.所以四边形abcd面积为2.10.(2015广州模拟)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点a,b之间的距离,她在西江南岸找到一个点c,从c点可以观察到点a,b;找到一个点d,从d点可以观察到点a,c;找到一个点e,从e点可以观察到点b,c;并测量得到数据:acd=90,adc=60,acb=15,bce=105,ceb=45,dc=ce=1(百米).(1)求cde的面积.(2)求a,b之间的距离.【解题提示】(1)连接de,在cde中,求出dce,直接利用三角形的面积公式求解即可.(2)求出ac,通过正弦定理求出bc,然后利用余弦定理求出ab.【解析】(1)连接de,在cde中,dce=360-90-15-105=150,secd=dccesin 150=sin 30=(平方百米).(2)依题意知,在rtacd中,ac=dctanadc=1tan 60=.在bce中,cbe=180-bce-ceb=180-105-45=30.由正弦定理得bc=sinceb=sin 45=.因为cos 15=cos(60-45)=cos 60cos 45+sin 60sin 45连ab,在abc中,由余弦定理ab2=ac2+bc2-2acbccosacb可得ab2=()2+()2-2=2-,所以ab= (百米).【加固训练】我炮兵阵地位于地面a处,两观察所分别位于地面点c和d处,已知cd=6000米,acd=45,adc=75,目标出现于地面点b处时,测得bcd=30,bdc=15(如图),求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)【解题提示】四点a,b,c,d可构成四个三角形,要求ab的长,由于adb=75+15=90,只需知道ad和bd长,这样可选择在acd和bcd中应用定理求解.【解析】在acd中,cad=180-acd-adc=60,cd=6000,acd=45,根据正弦定理有ad=cd,在bcd中,cbd=180-bcd-bdc=135,cd=6000,bcd=30,根据正弦定理有bd=cd.又在abd中,adb=adc+bdc=90,根据勾股定理有:ab=cd=cd=1000(米).(20分钟40分)1.(5分)甲船在岛b的正南a处,ab=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在a,b之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()a.分钟b.小时c.21.5分钟d.2.15分钟【解析】选a.如图,设航行x小时,甲船航行到c处,乙船航行到d处,在bcd中,bc=10-4x,bd=6x,cbd=120,两船相距s千米,根据余弦定理可得,dc2=bd2+bc2-2bcbdcoscbd=(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos 120,即s2=28x2-20x+100=28(x-)2+100-28()2,所以当x=时,s2最小,从而s也最小,即航行60=分钟时两船相距最近.故选a.2.(5分)(2014浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练.已知点a到墙面的距离为ab,某目标点p沿墙面的射击线cm移动,此人为了准确瞄准目标点p,需计算由点a观察点p的仰角的大小(仰角为直线ap与平面abc所成的角).若ab=15 m,ac=25 m,bcm=30,则tan的最大值是()【解析】选d.由勾股定理可得,bc=20 m,过点p作ppbc,交bc于点p,连接ap,如图,则tan=,设bp=x,则cp=20-x,由bcm=30得,pp=cptan 30=(20-x).在rtabp中,ap=故tan=令y=,则y=当x0,当-x20时,y0,所以当x=-时,y最大=,所以tan的最大值=3.(5分)(2015黄山模拟)若abc中,b=3,b=,则该三角形面积的最大值为.【解题提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac的最大值,代入面积公式即可.【解析】由b=3,b=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac,所以ac9,当a=c=3时,取“=”,所以sabc=所以sabc的最大值为,当a=b=c=3时取得.答案: 【加固训练】(2011安徽高考)已知abc的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则abc的面积为.【解析】设三角形一边长为x,则另两边的长为x-4,x+4,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120,解得x=10,所以sabc=106sin 120=15.答案:15【方法技巧】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式s=absin c=acsin b=bcsin a,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的面积公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.4.(12分)(2014重庆高考)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cosc的值.(2)若sinacos2+sinbcos2=2sinc,且abc的面积s=sinc,求a和b的值.【解题提示】(1)直接根据余弦定理即可求出cosc的值.(2)根据题设条件可以得到关于a和b的关系式进而求出a和b的值.【解析】(1)由题意可知:c=8-(a+b)=,由余弦定理得:cosc=-.(2)由sinacos2+sinbcos2=2sinc可得:sina+sinb=2sinc,化简得sina+sinacosb+sinb+sinbcosa=4sinc.因为sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)=sinc,所以sina+sinb=3sinc.由正弦定理可知:a+b=3c.又因为a+b+c=8,故a+b=6.由s=absinc=sinc,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.5.(13分)(能力挑战题)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种途径,一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c,现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c,假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路ac长为1 260 m,经测量,cos a=,cos c=.(1)求索道ab的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【解题提示】(1)在abc中,利用正弦定理求ab.(2)设时间t,画图形,用余弦定理建立两人的距离关于时间t的函数,求函数的最值.【解析】(1)在abc中,ac=1 260,因为cos a=,cos c=,所以sin a=sin c=sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c因为所以ab=故索道ab的长为1 040米.(2)设乙出发t分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.设乙出发t分钟后到达e点,此时甲到达f点,如图,连接ef,则ae=130t,af=50(t+2).在eaf中,因为cos a=,所以ef2=ae2+af2-2aeafcos a=(130t)2+50(t+2)2-2130t50(t+2)=200(37t2-70t+50),由0t,得0t8.即ef=,t0,8,故当t=时,ef最小.即乙出发min后,乙在缆车上与甲的距离最短.【加固训练】如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于a1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处,此时两船相距20海里,当甲船航行2