高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件 北师大版必修4.pptVIP

1 4 2单位圆与周期性1 4 3单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 知识提炼 1 终边相同的角的正 余弦函数 1 sin x k 2 2 cos x k 2 k z sinx cosx 2 周期性 1 条件 对于函数f x 存在 t 对于定义域内的任意一个x值都有f x t 2 结论 函数f x 为周期函数 为函数的周期 非零常数 f x t 3 正 余弦函数的周期性正 余弦函数都是以 k z k 0 为周期的周期函数 最小正周期为 2k 2 4 单位圆与正 余弦函数的性质 1 1 2 即时小测 1 思考下列问题 1 若存在非零常数t 对于函数f x 若存在x值有f x t f x 则函数f x 是周期函数吗 提示 不一定 如函数f x x2 存在非零常数t 4 存在x 2 使得f 2 4 f 2 但是函数f x x2不是周期函数 2 周期函数一定存在最小正周期吗 提示 不一定 如常数函数是周期函数 但是没有最小正周期 2 关于周期函数 下列说法正确的是 填序号 周期函数的定义域可以是有限集 周期函数的周期只有唯一一个 周期函数的周期可以有无数多个 周期函数的周期可正可负 解析 由周期函数的定义可得 是错误的 是正确的 答案 3 函数y 2sinx在区间上的值域是 解析 当x 时 sinx 所以2sinx 即函数y 2sinx的值域是 答案 4 若f x 是周期为4的函数 且f 1 则f 3 解析 因为f x 是周期为4的函数 所以f 3 f 3 4 f 1 答案 知识探究 知识点1周期函数观察图形 回答下列问题 问题1 周期函数的定义域有什么特点 问题2 周期函数的函数值 图像有什么样的特征 总结提升 对于周期函数的四点认识 1 对于定义域内的任意x 都有x t属于定义域 2 并不是每一个函数都是周期函数 若函数具有周期性 不一定有最小正周期 3 如果t是函数的一个周期 则nt n z 且n 0 也是函数的周期 4 每相隔周期的整数倍 图像要重复出现 知识点2正弦 余弦函数的基本性质观察图形 回答下列问题 问题 正弦 余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系 总结提升 对正弦 余弦函数性质的四点说明 1 正 余弦函数的性质是利用正弦 余弦函数的定义结合单位圆直观观察得来的 2 这些性质适用于整个函数 而不仅仅是在 0 2 上的性质 3 对于正弦函数与余弦函数来说 它们的定义域均是全体实数 但并不能说它们是增函数或减函数 而只能说在某个区间内是增加的或减少的 4 正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得 而余弦函数的最值则在单位圆与x轴的交点处取得 要注意区分 题型探究 类型一函数周期性的应用 典例 1 2015 南安高一检测 cos1110 的值为 2 已知某奇函数的周期为3 且f 1 10 则f 10 3 若函数f x 满足f x 1 f x f 1 则f 2015 解题探究 1 利用余弦函数的周期性 1110 与哪一个角的终边相同 提示 因为30 1110 3 360 故1110 与30 的终边相同 2 由函数的周期为3 则与f 10 相等的有哪些值 提示 f 10 f 7 f 4 f 1 3 由函数f x 满足f x 1 f x 则函数的周期是多少 提示 因为f x 1 f x 所以f x 2 f x 1 f x 因此周期为2 解析 1 选a 因为余弦函数的周期为360 故cos1110 cos 1110 3 360 cos30 2 奇函数的周期为3 故f 10 f 1 f 1 10 答案 103 因为f x 1 f x 所以f x 2 f x 1 f x 因此周期为2 故f 2015 f 1 答案 方法技巧 常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f x t f x 外 还有如下四种形式 1 f x a f x 2 f x a 3 f x a 4 f x a f x a 以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数 变式训练 2015 长春高一检测 sin的值是 解析 选c 类型二正弦 余弦函数的基本性质 典例 1 2015 济南高一检测 函数y 的定义域为 2 函数y cosx在区间上的值域为 解题探究 1 题1中开偶次方根时 对被开方数有什么要求 提示 开偶次方根时要求被开方数为非负数 2 余弦函数在区间上的单调性是怎样的 提示 在区间上是减少的 解析 1 要使有意义 则必须满足2sinx 1 0 即结合单位圆 如图所示 知x的取值范围是答案 2 函数y cosx在区间上是减少的 故故故函数的值域为答案 延伸探究 1 变换条件 典例2中若区间改为则值域为 解析 函数y cosx在区间上是增加的 故在区间上是减少的 故 y 1 故函数的值域为答案 2 变换条件 典例2中若函数改为y sinx 则值域为 解析 由正弦函数的单调性可知 y sinx的值域为答案 方法技巧 利用正 余弦函数的单调性求值域利用正 余弦函数的单调性求函数的值域时 不能直接代入端点值求值域 因为在已知区间上不一定是单调的 所以应先根据正 余弦函数的性质判断在已知区间上的单调性 再求值域 补偿训练 2015 朝阳高一检测 sin1 sin1 sin 的大小顺序是 a sin1 sin1 sin b sin1 sin sin1c sin sin1 sin1d sin1 sin1 sin 解析 选b 因为1弧度 57 3 y sinx 当0 x 90 时 为增加的 且1 1 所以sin1 sin sin1 易错案例正 余弦函数基本性质的应用 典例 若x是三角形的最小内角 则正弦函数y sinx的值域为 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是角的范围错误 忽视了 最小内角 对角范围的限制 自我矫正 因为x是三角形的最小内角 则0 x 因为正弦函数在区间上是增加的 所以当0 x 时 则0 sinx 即正弦函数y sinx的值域为 答案 防范措施 1 深入挖掘题目中的条件要重视对题目条件的挖掘和充分应用 一