高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件4 新人教A版选修11.ppt

1 1 3四种命题间的相互关系 自主预习 1 四种命题间的关系 2 四种命题真假性间的关系 1 两个命题互为逆否命题 则它们的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 相同 没有关系 即时小测 1 一个命题与它的逆命题 否命题 逆否命题这4个命题中 a 真命题与假命题的个数相同b 真命题的个数一定是奇数c 真命题的个数一定是偶数d 真命题的个数可能是奇数 也可能是偶数 解析 选c 四种命题中原命题和逆否命题真假性相同 逆命题和否命题真假性相同 因此真命题的个数是偶数个 2 命题 若p不正确 则q不正确 的逆命题的等价命题是 a 若q不正确 则p不正确b 若q不正确 则p正确c 若p正确 则q不正确d 若p正确 则q正确 解析 选d 原命题的逆命题和否命题互为逆否命题 只需写出原命题的否命题即可 3 命题 若a 3 则a 6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 易知原命题为真命题 从而逆否命题为真命题 因为逆命题为 若a 6 则a 3 所以逆命题为假命题 所以否命题为假命题 从而真命题的个数是2 知识探究 探究点四种命题间的关系1 能不能说 若p 则q 是逆命题或否命题 为什么 提示 不能 逆命题或否命题都是相对于原命题而言的 只有确定了原命题 才有逆命题 否命题的说法 它们与原命题互为逆命题 互为否命题 2 如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题 提示 原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题 所以只需写出原命题的逆命题的否命题 即得原命题的逆否命题 3 互为逆否命题的两个命题同真同假有什么用处 提示 在判断一个命题的真假性时 若命题本身难以判断 可以转为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假 归纳总结 对四种命题相互关系的三点认识 1 四种命题中原命题具有相对性 任意确定一个为原命题 其逆命题 否命题 逆否命题就确定了 所以 互逆 互否 互为逆否 具有对称性 2 在原命题 逆命题 否命题与逆否命题这四种命题中 有两对互逆命题 两对互否命题 两对互为逆否命题 它们分别为 两对互逆命题 原命题与逆命题 否命题与逆否命题 两对互否命题 原命题与否命题 逆命题与逆否命题 两对互逆否命题 原命题与逆否命题 逆命题与否命题 3 由于原命题与其逆否命题的真假性相同 所以原命题与其逆否命题是等价命题 因此当直接证明或判断原命题困难时 可以转化成证明其逆否命题 特别提醒 1 利用四种命题间的关系 判断四种命题的真假时 只需判断两个命题的真假即可 2 若命题的叙述是否定性的语言或含有 至多 至少 等词语时 往往转化为判断其逆否命题的真假更方便 类型一四种命题的相互关系及应用 典例 1 若命题p 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题为q 命题q的逆命题为r 则r与p的逆命题的关系是 a 互为逆命题b 互为否命题c 互为逆否命题d 同一命题 2 已知命题p的逆命题是 若实数a b满足a 1且b 2 则a b 4 则命题p的否命题是 解题探究 1 把命题p看作原命题如何探究与其有关的命题间的关系 提示 利用四种命题间的关系逐一讨论 2 原命题的逆命题和否命题间的关系是什么 提示 互为逆否命题 解析 1 选b 根据四种命题间的关系可得 p与q互为否命题 而q与r互为逆命题 所以p与r互为逆否命题 所以r与p的逆命题互为否命题 2 同一命题的逆命题与否命题互为逆否命题 故只需写出命题p的逆命题的逆否命题即可 所以命题p的否命题是 若实数a b满足a b 4 则a 1或b 2 答案 若实数a b满足a b 4 则a 1或b 2 延伸探究 1 本例1中若命题r的逆否命题是s 那么命题s与命题p的关系是什么 解析 根据四种命题间的关系 s与p间的关系应是同一命题 2 本例1中 条件不变 改为判断r的真假 解析 原命题p为真命题 由例1 知r与p互为逆否命题 所以命题r为真命题 方法技巧 判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一 利用四种命题的定义判断 方法二 可以巧用 逆 否 两字进行判断 如 逆命题 与 逆否命题 中不同有 否 字 是互否关系 而 逆命题 与 否命题 中不同有 逆 否 二字 其关系为逆否关系 补偿训练 已知命题p 若x 1 则向量a 1 x 与b x 2 x 垂直 则在命题p的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 解析 当x 1时 a b 1 1 1 2 0 所以a b 所以原命题和逆否命题是真命题 当a b时有 x 2 x2 0 所以x 1 2 所以逆命题和否命题为假命题 答案 2 类型二等价命题在证明中的应用 典例 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 则a 2 的逆否命题的真假 解题探究 原命题的逆否命题是什么 逆否命题与原命题之间是什么关系 提示 原命题的逆否命题为 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 逆否命题与原命题的真假性相同 解析 方法一 原命题的逆否命题为 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 判断真假如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 2 所以4a 7 0 即抛物线与x轴有交点 所以关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 故原命题的逆否命题为真 方法二 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以a 2 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 延伸探究 1 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 则a 2 的逆命题的真假 解析 原命题的逆命题为 已知a x为实数 若a 2 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 判断真假如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 2 所以4a 7 1 当0 1时 抛物线与x轴有交点 当 0时 抛物线与x轴无交点 所以关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不一定是空集 故原命题的逆命题为假命题 2 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是r 则a 的逆否命题的真假 解析 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为r 且抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以a 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 方法技巧 正难则反 的处理原则 1 当原命题的真假不易判断 而逆否命题较容易判断真假时 可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假 2 在证明某一个命题的真假性有困难时 可以证明它的逆否命题为真 假 命题 来间接地证明原命题为真 假 命题 3 四种命题中 原命题与其逆否命题是等价的 有相同的真假性 否命题与其逆命题也是互为逆否命题 解题时不要忽视 拓展延伸 反证法与逆否证法的异同相同点 1 依据相同 都是利用原命题与逆否命题的等价性 2 起步相同 都是从非q 即否定结论 出发 3 思想相同 都是正难则反的数学思想 不同点 1 目的不同 反证法否定结论的目的是推出矛盾 而逆否证法否定结论的目的是推出 非p 即否定条件 2 本质不同 逆否证法实质是证明一个新命题成立 而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理 直至推出矛盾 从而肯定原命题的结论 补偿训练 1 2016 揭阳高二检测 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 对于命题 若a b 0 则f a f b f a f b 有如下结论 其逆命题为真 其否命题为真 其逆否命题为真 其逆命题和否命题有且只有一个为真 其中正确的命题结论个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 先判断原命题 因为a b 0 所以a b b a 由于f x 为增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 故原命题为真 根据互为逆否命题的两个命题真假性相同可知 其逆否命题为真 下面判断否命题 若a b 0 则f a f b f a f b 由a b 0可得a b 可得f a f b 由b a可得f b f a 所以 f a f b f a f b 否命题成立 则由逆命题与否命题互为逆否命题 真假性相同 可知逆命题为真 其逆命题为真 正确 其否命题为真 正确 其逆否命题为真 正确 其逆命题和否命题有且只有一个为真 错误 2 设原命题为 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0有实数根 试写出它的否命题 逆命题和逆否命题 并分别判断它们的真假 解析 否命题为 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0没有实数根 逆命题为 若关于x的方程x2 x m 0有实数根 则m 0 逆否命题为 若关于x的方程x2 x m 0没有实数根 则m 0 由题意知 1 4m 0 即m 时 方程有实数根 所以m 0使1 4m 0 方程x2 x m 0有实数根 所以原命题为真 从而逆否命题为真 但方程x2 x m 0有实根 只需m 不能推出m 0 故逆命题为假 否命题为假 自我纠错对命题否定的理解 典