高中数学 第一章 计数原理 1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用课件 新人教A版选修23.ppt

1 1 2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 自主学习新知突破 1 进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2 能根据具体问题的特征 选择两种计数原理解决一些实际问题 现有高一四个班的学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 若推选两人做小组组长 这两人需来自不同的班级 问题 有多少种不同的选法 提示 分六类 每类又分两步 从一班 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 两个计数原理在解决计数问题中的方法 1 分类要做到 分类后再对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 完成了所有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 应用两个计数原理应注意的问题 不重不漏 步骤完整 两个计数原理的使用方法 1 合理分类 准确分步处理计数问题 应扣紧两个原理 根据具体问题首先弄清楚是 分类 还是 分步 接下来要搞清楚 分类 或者 分步 的具体标准是什么 分类时需要满足两个条件 类与类之间要互斥 保证不重复 总数要完备 保证不遗漏 也就是要确定一个合理的分类标准 分步时应按事件发生的连贯过程进行分析 必须做到步与步之间互相独立 互不干扰 并确保连续性 2 特殊优先 一般在后解含有特殊元素 特殊位置的计数问题 一般应优先安排特殊元素 优先确定特殊位置 再考虑其他元素与其他位置 体现出解题过程中的主次思想 3 分类讨论 数形结合 转化与化归分类讨论就是把一个复杂的问题 通过正确划分 转化为若干个小问题予以击破 这是解决计数问题的基本思想 数形结合 转化与化归也是化难为易 化抽象为具体 化陌生为熟悉 化未知为已知的重要思想方法 对解决计数问题至关重要 解析 由分步乘法计数原理得5 5 5 5 5 5 56 答案 a 2 2015 郑州高二检测 某校开设a类选修课3门 b类选修课4门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 a 30种b 35种c 42种d 48种 解析 选3门课程 要求a b两类至少各选1门 可分为两种情况 一类是a类选修2门 b类选修1门 共有3 4 12种选法 另一类是a类选修1门 b类选修2门 共有3 6 18种选法 根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有12 18 30 种 答案 a 3 编号为a b c d e的五个小球放在如图所示五个盒子中 要求每个盒子只能放一个小球 且a不能放1 2号 b必须放在与a相邻的盒子中 则不同的放法有 解析 以小球a放的盒为分类标准 共分为三类 第一类 当小球放在4号盒内时 不同的放法有3 2 1 6 种 第二类 当小球放在3号盒内时 不同的放法有3 3 2 1 18 种 第三类 当小球放在5号盒内时 不同的放法有3 2 1 6 种 综上所述 不同的放法有6 18 6 30 种 答案 30种 4 由数字1 2 3 4 1 可组成多少个3位数 2 可组成多少个没有重复数字的3位数 3 可组成多少个没有重复数字的三位数 且百位数字大于十位数字 十位数字大于个位数字 解析 1 百位数共有4种选法 十位数共有4种选法 个位数共有4种选法 根据分步乘法计数原理知共可组成43 64个3位数 2 百位上共有4种选法 十位上共有3种选法 个位上共有2种选法 由分步乘法计数原理知共可组成没有重复数字的3位数4 3 2 24 个 3 组成的三位数分别是432 431 421 321共4个 合作探究课堂互动 组数问题 有0 1 2 8这9个数字 1 用这9个数字组成四位数 共有多少个不同的四位数 2 用这9个数字组成四位的密码 共有多少个不同的密码 思路点拨 四位密码的首位可为0 四位数的首位不能为0 1 题中未强调四位数的各位数字不重复 故只需强调首位不为0 依次确定千 百 十 个位 各有8 9 9 9种方法 所以共能组成8 93 5832个不同的四位数 2 与 1 的区别在于首位可为0 所以共能组成94 6561个不同的四位密码 规律方法 对于组数问题的计数 一般按特殊位置 末位或首位 由谁占领分类 每类中再分步来计数 但当分类较多时 可用间接法先求出总数 再减去不符合条件的数去计数 1 1 用0 1 2 3 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的 四位密码 四位数 2 从1到200的这200个自然数中 每个位数上都不含数字8的共有多少个 解析 1 完成 组成无重复数字的四位密码 这件事 可以分为四步 第一步 选取左边第一个位置上的数字 有5种选取方法 第二步 选取左边第二个位置上的数字 有4种选取方法 第三步 选取左边第三个位置上的数字 有3种选取方法 第四步 选取左边第四个位置上的数字 有2种选取方法 由分步乘法计数原理 可以组成不同的四位密码共有n 5 4 3 2 120个 完成 组成无重复数字的四位数 这件事 可以分四步 第一步 从1 2 3 4中选取一个数字作千位数字 有4种不同的选取方法 第二步 从1 2 3 4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字 有4种不同的选取方法 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字 有3种不同的选取方法 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 可以组成不同的四位数共有n 4 4 3 2 96个 2 本题应分3类来解决 第1类 一位数中 除8以外符合要求的数有8个 第2类 两位数中 十位数除0 8以外有8种选法 而个位数除8以外有9种选法 故两位数中符合要求的数有8 9 72个 第3类 三位数中 百位数为1 十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法 故三位数中 百位数为1的符合要求的数有9 9 81个 百位数为2的数只有200这一个符合要求 故三位数中符合要求的数有81 1 82个 由分类加法计数原理知 符合要求的数字共有8 72 82 162个 种植与涂色问题 用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色 如图甲 乙 要求在a b c d四个区域中相邻 有公共边界 的区域不用同一颜色 1 若n 6 则为甲图着色时共有多少种不同的方法 2 若为乙图着色时共有120种不同方法 求n 思路点拨 解析 1 对区域a b c d按顺序着色 为a着色有6种方法 为b着色有5种方法 为c着色有4种方法 为d着色有4种方法 由分步乘法计数原理 共有着色方法6 5 4 4 480 种 2 对区域a b c d按顺序着色 为a着色有n种方法 为b着色有n 1种方法 为c着色有n 2种方法 为d着色有n 3种方法 利用分步乘法计数原理 不同的着色方法数是 n n 1 n 2 n 3 120 解得 n2 3n n2 3n 2 120 即 n2 3n 2 2 n2 3n 120 0 n2 3n 10 n2 3n 12 0 n2 3n 10 0或n2 3n 12 0 舍去 解得n 5或n 2 舍去 故n 5 规律方法 本题是一个涂色问题 是计数问题中的一个难点 求解时要注意以下两点 一要考察全面 二要注意策略 如上述解法把a d作为讨论区域 求解时优先考察这两个区域 2 如图有4个编号为1 2 3 4的小三角形 要在每一个小三角形中涂上红 黄 蓝 白 黑五种颜色中的一种 并且相邻 有公共边界 的小三角形颜色不同 共有多少种不同的涂色方法 解析 分为两类 第一类 若1 3同色 则1有5种涂法 2有4种涂法 3有1种涂法 与1相同 4有4种涂法 故n1 5 4 1 4 80种 第二类 若1 3不同色 则1有5种涂法 2有4种涂法 3有3种涂法 4有3种涂法 故n2 5 4 3 3 180种 综上可知不同的涂法共有n n1 n2 80 180 260种 两个计数原理的综合应用 假设在7名学生中 有3名会下象棋但不会下围棋 有2名会下围棋但不会下象棋 另2名既会下象棋又会下围棋 现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛 共有多少种不同的选法 思路点拨 因有两人既会下象棋又会下围棋 在选两人时要分类讨论 规律方法 应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清 分类 与 分步 使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏 各类的每一种方法都能独立完成 使用分步乘法计数原理时分步必须做到各步均是完成事件必须的 缺一不可的步骤 3 1 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1 a2且a3 a2 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275等 那么所有凸数个数是多少 2 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1 a2且a3 a2 则称这样的三位数为凹数 如102 323 756等 那么所有凹数个数是多少 解析 1 分8类 当中间数为2时 百位只能选1 个位可选1 0 由分步乘法计数原理 有1 2 2个 当中间数为3时 百位可选1 2 个位可选0 1 2 由分步乘法计数原理 有2 3 6个 同理可得 当中间数为4时 有3 4 12个 当中间数为5时 有4 5 20个 当中间数为6时 有5 6 30个 当中间数为7时 有6 7 42个 当中间数为8时 有7 8 56个 当中间数为9时 有8 9 72个 故共有2 6 12 20 30 42 56 72 240个 2 分8类 当中间数为0时 百位可选1 9 个位可选1 9 由分步乘法计数原理 有9 9 81个 当中间数为1时 百位可选2 9 个位可选2 9 由分步乘法计数原理 有8 8 64个 同理可得 当中间数为2时 有7 7 49个 当中间数为3时 有6 6 36个 当中间数为4时 有5 5 25个 当中间数为5时 有4 4 16个 当中间数为6时 有3 3 9个 当中间数为7时 有2 2 4个 当中间数为8时 有1 1 1个 故共有81 64 49 36 25 16 9 4 1 285个 有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中 每块种植一种作物 相邻的试验田 有公共边 不能种植同一种作物 共有多少种不同的种植方法 错解 第一步 种植a试验田有4种方法 第二步 种植b试验田有3种方法 第三步 种植c试验田有3种方法 第四步 种植d试验田有2种方法 由分步乘法计数原理知 共有n 4 3 3 2 72种种植方法 提示 若按a b c d的顺序依次种植作物 会导致d试验田的种植数受c试验田的影响 情况复杂 实际上种植c d两块试验田再作为一步 用分类加法计数原理求解 正解 方法一 第一步 第二步与错解相同 第三步 若c试验田种植的作物与b试验田相同 则d试验田有3种方法 此时有1 3 3种种植方法 若c试验田种植的作物与b试验田不同 则c试验田有2种种植方法 d也有2种种植方法 共有2 2 4种