高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 新人教A版选修21.ppt

2 1曲线与方程 自主学习新知突破 1 结合实例 了解曲线与方程的对应关系 2 了解求曲线方程的步骤 3 会求简单曲线的方程 在平面直角坐标系中 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中 问题1 直线y x上任一点m到两坐标轴的距离相等吗 提示1 相等 问题2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y x上吗 提示2 不是 问题3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么 提示3 y x 曲线的方程和方程的曲线的定义 点的坐标 解 坐标的点 正确理解曲线与方程的概念 1 定义中的条件 1 阐明了曲线具有纯粹性 或方程具有完备性 即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外 条件 2 阐明了曲线具有完备性 或方程具有纯粹性 即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏 2 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念 曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系 而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形 其实质是曲线c的点集 m p m 和方程f x y 0的解集 x y f x y 0 之间的一一对应关系 曲线的性质完全反映在它的方程上 方程的性质又反映在它的曲线上 求曲线方程的一般步骤 正确认识求曲线方程的一般步骤求曲线方程的五个步骤构成一个有机的整体 每一步都有其特点和重要性 第一步在具体问题中有两种情况 1 所研究的问题中已给定了坐标系 此时就在给定的坐标系中求方程即可 2 原题中没有坐标系 此时必须建立适当的坐标系 通常选取特殊位置的点为原点 相互垂直的直线为坐标轴 第二步是求方程的重要一环 应仔细分析曲线的几何特征 注意揭示隐含条件 抓住与曲线上任意一点m有关的等量关系 列出几何等式 第三步将几何条件转化为代数方程的过程中常用到一些基本公式 如两点间的距离公式 点到直线的距离公式 直线的斜率公式等 第四步在化简方程的过程中 注意运算的合理性与准确性 尽量避免 失解 和 增解 对于第五步 证明 从理论上讲是必要的 但在实际处理中常被省略掉 这在多数情况下是没有问题的 如遇特殊情况 可适当予以说明 1 方程x2 xy x的曲线是 a 一个点b 一个点和一条直线c 一条直线d 两条直线解析 方程可化为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 因此方程的曲线是两条直线 答案 d 2 已知曲线c的方程为x2 xy y 5 0 则下列各点中 在曲线c上的点是 a 1 2 b 1 2 c 2 3 d 3 6 解析 将四个点的坐标一一代入曲线c的方程 若成立 则说明点在曲线上 答案 a 3 过点a 2 0 的直线与圆x2 y2 16交于两点m n 则弦mn的中点p的轨迹方程是 解析 由于op mn且a在圆x2 y2 16内 故p点轨迹是以oa为直径的圆 答案 x 1 2 y2 1 4 到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x y 0吗 为什么 解析 显然不对 只具备条件 2 而不具备条件 1 这是因为 到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线 l1 x y 0和l2 x y 0 直线l1上的点的坐标都是方程x y 0的解 但直线l2上的点 除原点外 的坐标不是方程x y 0的解 方程x y 0只是直线l1的方程 它不是所求轨迹的方程 合作探究课堂互动 曲线与方程的概念 由曲线方程的定义 点是否在曲线上的条件为点的坐标是否为方程的解 解决此类问题时 只要将点的坐标代入到曲线方程中即可 这是曲线与方程最简单的内容 同学们应该理解曲线与方程概念的基础上熟练把握 讨论方程x2y y 2x 0的曲线的性质 并描绘其曲线 思路点拨 画方程的曲线时 应从对称性 单调性 与坐标轴的交点等几个方面考虑 由方程研究曲线的性质 讨论了曲线的范围 对称性和截距等曲线的变化情况以后 再进行描点画图 只要描出较少的点 就能得到较准确的图形 在 abc中 b 1 0 c 1 0 若bc边上的高为2 求垂心h的轨迹方程 求曲线的方程 求曲线方程的基本步骤是 建系设点 列等式 代换 化简 说明 五步法 在解题时 根据题意 正确列出方程是关键 还要注意最后一步 如果不符合题意的特殊点要加以说明 这里还要提出一点 一般情况下 求出曲线方程后的证明可以省去 3 过定点a a b 任作互相垂直的两条线l1与l2 且l1与x轴交于m点 l2与y轴交于n点 求线段mn中点p的轨迹方程 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个顶点是b 3 5 求另一个顶点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 错因 造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个 1 a b c三点要组成一个三