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文档简介
课时作业(四十九)一、选择题1抛物线y28x的焦点到准线的距离是()a1 b2 c4 d8解析:y28x的焦点到准线的距离为p4,选c.答案:c2设抛物线y28x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,a为垂足如果直线af的斜率为,那么|pf|()a4 b8 c8 d16解析:如图,由直线af的斜率为,得afh60,fah30,paf60.又由抛物线的定义知|pa|pf|,paf为等边三角形,由|hf|4得|af|8,|pf|8.答案:b3过点(0,1)作直线,使它与抛物线y24x仅有一个公共点,这样的直线有()a1条 b2条 c3条 d4条解析:满足题意的直线共有3条:直线x0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0),选c.答案:c4(2012年洛阳二模)已知抛物线y24x的焦点为f,过f的直线与该抛物线相交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点,则yy的最小值是()a4 b8 c12 d16解析:抛物线的准线方程为x1,|af|x11,|bf|x21,yy4x14x24(|af|bf|)84|ab|8.|ab|的最小值为4(当abx轴时取得),yy的最小值为8.答案:b5设抛物线y2x的焦点为f,点m在抛物线上,延长线段mf与直线x交于点n(f在线段mn上),则的值为()a. b. c2 d4解析:易见直线x是抛物线的准线,抛物线的焦点为f.据题意,不妨设点m的坐标为(m,),其中m,如图则据抛物线的定义有:|mf|m.直线mf的方程为y,把x代入得点n的坐标为,|nf|.2.答案:c6已知abc的三个顶点都在抛物线y22x上,抛物线的焦点为f,若|af|,|bf|,|cf|成等差数列,且点b的横坐标为,则边ac的垂直平分线必过点()a(1,0) b. c. d(2,0)解析:设a(x1,y1),c(x2,y2),而f,由题意得2|bf|af|cf|.根据抛物线的定义得:2,即x1x2,易知x1x2,否则x1x2,此时点b与点a或点c重合,与a、b、c构成三角形相矛盾线段ac的斜率为,则ac的垂直平分线的方程为y,即y,令y0,解得x,即线段ac的垂直平分线过定点,故选c.答案:c二、填空题7已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点,|af|2,则|bf|_.解析:设点a,b的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点f(1,0),|af|x112,x11,直线af的方程是x1,此时弦ab为抛物线的通径,故|bf|ab|2.答案:28(2012年太原二模)已知抛物线y24x的弦ab的中点的横坐标为2,则|ab|的最大值为_解析:设抛物线的焦点为f,a、b的横坐标分别为x1、x2,则x1x24.抛物线的准线方程为x1,|af|x11,|bf|x21,|af|bf|x1x226.|af|bf|ab|(当且仅当a、b、f共线时取“”),如图所示|ab|6,|ab|的最大值为6.答案:69(2012年北京)在直角坐标系xoy中,直线l过抛物线y24x的焦点f,且与该抛物线相交于a、b两点,其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60,则oaf的面积为_解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线方程为x1.设|af|2m,如图,l的倾斜角为60,点a的横坐标为xa12mcos601m,点a的纵坐标为ya2msin60m.把a的坐标代入抛物线的方程得:3m24(1m),即3m24m40,m2(舍去m)saof|of|ya12.答案:三、解答题10已知抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长为2,一直角边的方程是y2x,求抛物线的方程解:因为一直角边的方程是y2x,所以另一直角边的方程是yx.由解得或(舍去);由解得或(舍去),三角形的另两个顶点为(,p)和(8p,4p) 2.解得p,故所求抛物线的方程为y2x.11已知抛物线方程x24y,过点p(t,4)作抛物线的两条切线pa、pb,切点分别为a、b.(1)求证:直线ab过定点(0,4);(2)求oab(o为坐标原点)面积的最小值解:(1)证明:设切点为a(x1,y1)、b(x2,y2)又yx,则切线pa的方程为yy1x1(xx1),即yx1xy1,切线pb的方程为yy2x2(xx2),即yx2xy2,由点p(t,4)是切线pa,pb的交点可知:4x1ty1,4x2ty2,过a、b两点的直线方程为4txy,即txy40.直线ab:txy40过定点(0,4)(2)由得x22tx160.则x1x22t,x1x216.soab4|x1x2|2216.当且仅当t0时,oab的面积取得最小值16.12(2012年山东)在平面直角坐标系xoy中,f是抛物线c:x22py(p0)的焦点,m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点,过m,f,o三点的圆的圆心为q,点q到抛物线c的准线的距离为.(1)求抛物线c的方程;(2)是否存在点m,使得直线mq与抛物线c相切于点m?若存在,求出点m的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点m的横坐标为,直线l:ykx与抛物线c有两个不同的交点a,b,l与圆q有两个不同的交点d,e,求当k2时,|ab|2|de|2的最小值解:(1)依题意知f,圆心q在线段of的垂直平分线y上,因为抛物线c的准线方程为y,所以,即p1,因此抛物线c的方程为x22y.(2)假设存在点m(x00)满足条件,抛物线c在点m处的切线斜率为y|xx0|xx0x0.所以直线mq的方程为yx0(xx0),令y得xq,所以q.又|qm|oq|,故222,因此2,又x00,所以x0,此时m(,1)故存在点m(,1),使得直线mq与抛物线c相切于点m.(3)当x0时,由(2)得q.q的半径为r,所以q的方程为22.由整理得2x24kx10.设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于116k280,x1x22k,x1x2,所以|ab|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(4k22)由整理得(1k2)x2x0.设d,e两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4)由于20,x3x4,x3x4,所以|de|2(1k2)(x3x4)24x3x4.因此|ab|2|de|2(1k2)(4k22).令1k2t,由于k2,则t5.所以|ab|2|de|2t(4t2)4t22t,设g(t)4t22t,t,因为g(t)8t2,所以当t,g(t)g6,即函数g(t)在t是增函数,所以当t时g(t)取到最小值,因此当k时,|ab|2|de|2取到最小值.热点预测13已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y216x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx解析:由题意可得,抛物线的焦点坐标为(4,0),即c4.又e2,得a2.b2.,则双曲线渐近线方程为yxx.答案:d14如图,设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f,且和y轴交于点a,若oaf(o为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_解析:易见抛物线的焦点坐标为f,l的方程为y2,令x0,得点a的纵坐标为y.据题意:4soaf|of|ya|,a264,a8,抛物线的方程为y28x.答案:y28x15设动点p(x,y)(y0)到定点f(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,记点p的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程;(2)设圆m过a(0,2),且圆心m在曲线c上,eg是圆m在x轴上截得的弦试探究当m运动时,|eg|是否为定值?为什么?解:(1)依题意知,动点p到定点f(0,1)的距离等于p到直线y1的距离,曲线c是以原点为顶点、f(0,1)为焦点的抛物线,曲线c方程是x24y.(2)设圆的圆心为m(a,b)
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