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2015届高三教学情况调研(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)20153一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分(第3题)1. 函数f(x)sinxcosx的最小正周期为_2. 已知复数z(2i)(13i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第_象限3. 右图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是_(第4题)4. 某工厂为了了解一批产品的净重(单位：克)情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间96，106中，其频率分布直方图如图所示则在抽测的100件产品中，净重在区间100，104)上的产品件数是_5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是_(第6题)6. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点若(，R)，则_7. 已知平面，直线m，n.给出下列命题： 若m，n，mn，则； 若，m，n，则mn； 若m，n，mn，则； 若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填序号)(第8题)8. 如图，在ABC中，D是BC上一点已知B60，AD2，AC，DC，则AB_9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y的焦点为F，定点A(2，0)若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FMMN的值是_10. 记等差数列an的前n项和为Sn.已知a12，且数列也为等差数列，则a13的值为_11. 已知函数f(x)，xR，则不等式f(x22x)f(3x4)的解集是_12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y1)25，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OAOM，则直线AB的斜率为_13. 已知、均为锐角，且cos()，则tan的最大值是_14. 已知函数f(x)当x0，100时，关于x的方程f(x)x的所有解的和为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosC.(1) 若，求ABC的面积；(2) 设向量x，y，且xy，求sin(BA)的值16、(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，ADCDAB，ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1) 求证：BC平面PAC；(2) 若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PNPB的值17、(本小题满分14分)下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上)过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P.已知OP10，MP6.5(单位：m)，记通风窗EFGH的面积为S(单位：m2)(1) 按下列要求建立函数关系式：() 设POF(rad)，将S表示成的函数；() 设MNx(m)，将S表示成x的函数；(2) 试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A、B两点，AB2.C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N.(1) 求a，b的值；(2) 求证：直线MN的斜率为定值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)1lnx，其中k为常数(1) 若k0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2) 若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点；(3) 若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值(参考数据：ln82.08，ln92.20，ln102.30)20. (本小题满分16分)给定一个数列an，在这个数列里，任取m(m3，mN*)项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an(nN*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3阶子数列(1) 求a的值；(2) 等差数列b1，b2，bm是an的一个m(m3，mN*)阶子数列，且b1(k为常数，kN*，k2)，求证：mk1；(3) 等比数列c1，c2，cm是an的一个m(m3，mN*)阶子数列，求证：c1c2cm2.2015届高三教学情况调研(二)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为BAC的平分线，求证：EFBC.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，A的逆矩阵A1.(1) 求a，b的值；(2) 求A的特征值C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数)，直线l：(t为参数)设曲线C与直线l交于A、B两点，求线段AB的长度D. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证：(1x)(1y)(1z)8.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1) 分别求甲队以30，31，32获胜的概率；(2) 若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求甲队得分X的分布列及数学期望23、已知m，nN*，定义fn(m).(1) 记amf6(m)，求a1a2a12的值；(2) 记bm(1)mmfn(m)，求b1b2b2n所有可能值的集合2015届高三教学情况调研(二)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. 2. 一3. 24. 555. 6. 7. 8. 9. 10. 5011. (1，2)12. 213. 14. 10 00015. 解：(1) 由，得abcosC.因为cosC，所以ab.(2分)又C为ABC的内角，所以sinC.(4分)所以ABC的面积SabsinC3.(6分)(2) 因为xy，所以2sincoscosB，即sinBcosB.(8分)因为cosB0，所以tanB.因为B为三角形的内角，所以B.(10分)所以AC，所以AC.所以sin(BA)sinsinsinCcosC.(14分)16. (1) 证明：连结AC.不妨设AD1.因为ADCDAB，所以CD1，AB2.因为ADC90，所以AC，CAB45.在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2.所以BCAC.(3分)因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC.(5分)因为PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC.(7分)(2) 解：如图，因为ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN.(9分)因为AB平面PAB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN.(12分)在PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PNPB的值为.(14分)17. 解：(1) 由题意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5.() 在RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos.在矩形EFGH中，EF2NF20sin，FGONOM10cos3.5，故SEFFG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函数关系是S10sin(20cos7)，00，其中cos0，0为锐角(4分)() 因为MNx，OM3.5，所以ONx3.5.在RtONF中，NF.在矩形EFGH中，EF2NF，FGMNx，故SEFFGx.即所求函数关系是Sx，0x6.5.(8分)(2) (方法1)选择()中的函数模型：令f()sin(20cos7)，即f()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20.(10分)由f()40cos27cos200，解得cos，或cos.因为00，所以coscos0，所以cos.设cos，且为锐角，则当(0，)时，f()0，f()是增函数；当(，0)时，f()0，f()是减函数，所以当，即cos时，f()取到最大值，此时S有最大值即MN10cos3.54.5 m时，通风窗的面积最大(14分)(方法2)选择()中的函数模型：因为S，令f(x)x2(35128x4x2)，则f(x)2x(2x9)(4x39)(10分)因为当0x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x时，f(x)取到最大值，此时S有最大值即MNx4.5 m时，通风窗的面积最大(14分)18. (1) 解：因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2.(2分)故椭圆的方程为1.由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A.又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23.故a，b.(5分)(2) 证明：(方法1)由(1)知，椭圆E的方程为1，从而A(2，1)，B(2，1) 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2.从而k1kCB.所以kCB.同理kDB.(8分)于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得从而点N的坐标为.用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为.(12分)所以kMN1.即直线MN的斜率为定值1.(14分) 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB.此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M.BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1.(16分)(方法2)由(1)知，椭圆E的方程为1，从而A(2，1)，B(2，1) 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2.显然k1k2.直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k)x24k1(12k1)x2(4k4k12)0.设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1.所以C.又B(2，1)，所以kBC.(8分)所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得从而点N的坐标为.用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为.(12分)所以kMN1.即直线MN的斜率为定值1.(14分) 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB.此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M.BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1.(16分)19. (1) 解：当k0时，f(x)1lnx.因为f(x)，从而f(1)1.又f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程y1x1，即xy0.(3分)(2) 证明：当k5时，f(x)lnx4.因为f(x)，从而当x(0，10)，f(x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值(5分)因为f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有且仅有两个不同的零点(8分)(3) 解：(方法1)由题意知，1lnx0对x(2，)恒成立，即k对x(2，)恒成立令h(x)，则h(x).设v(x)x2lnx4，则v(x).当x(2，)时，v(x)0，所以v(x)在(2，)上为增函数因为v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040.当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值h(x0).因为lnx0，所以h(x0)(4，4.5)故所求的整数k的最大值为4.(16分)(方法2)由题意知，1lnx0对x(2，)恒成立，f(x)1lnx，f(x). 当2k2，即k1时，f(x)0对x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上单调递增而f(2)1ln20成立，所以满足要求 当2k2，即k1时，当x(2，2k)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k，)，f(x)0，f(x)单调递增所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk.从而f(x)0在x(2，)恒成立，等价于2ln2kk0.令g(k)2ln2kk，则g(k)0，从而g(k)在(1，)上为减函数因为g(4)ln820，g(5)ln1030，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4.综合知，所求的整数k的最大值为4.(16分)20. (1) 解：因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2a3a3a6.又a2，a3，a6，代入得，解得a0.(3分)(2) 证明：设等差数列b1，b2，bm的公差为d.因为b1，所以b2，从而db2b1.(6分)所以bmb1(m1)d.因为bm0，所以0，即m1k1，所以mk2.因为m，kN*，所以mk1.(9分)(3) 证明：设c1(tN*)，等比数列c1，c2，cm的公比为q.因为c2，所以q.从而cnc1qn1(1nm，nN*)所以c1c2cm1.(13分)设函数f(x)x(m3，mN*)当x(0，)时，函数f(x)x为单调增函数因为当tN*，所以12.所以f2，即c1c2cm2.(16分)2015届高三教学情况调研(二)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：如图