高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修22.ppt

第二章 推理与证明 2 1合情推理与演绎推理2 1 1合情推理 自主学习新知突破 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 问题1 我们熟知的 三国演义 第46回草船借箭中诸葛亮先生的推理过程是怎样的呢 提示1 诸葛亮 先生 的推理过程是 问题2 蛇是用肺呼吸的 鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的 蛇 鳄鱼 海龟 蜥蜴都是爬行动物 所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗 提示2 是 所有的爬行动物都是用肺呼吸的 问题3 观察下图由平面内的圆 我们联想到空间里的球 让它们来类比 你能找到它们有哪些类似的特征 提示3 鲁班类比草叶的边缘发明了锯 平面中的圆与空间中的球有类似的特征 归纳推理 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分到整体 个别到一般 1 归纳推理的特点与应用 1 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论 该结论超越了前提所包含的范围 2 归纳出的结论具有猜测性质 是否属实 还需逻辑证明和实践检验 即结论不一定可靠 3 归纳立足于观察 实验或经验的基础上 是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助人们发现问题和提出问题 类比推理 类似 已知特征 特殊到特殊 2 类比推理的特点及适用前提 1 类比推理的特点 类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发 推测正在研究的事物的属性 提出新问题 作出新发现 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它有发现功能 2 类比推理的适用前提 运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来 再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象 1 合情推理的含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过 再进行 然后提出 的推理 我们把它们统称为合情推理 2 合情推理的过程 合情推理 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 1 下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是 a 三角形b 梯形c 平行四边形d 矩形解析 由类比推理的定义和特点判断 易知选c 答案 c 2 下列关于归纳推理的说法错误的是 a 归纳推理是一种从一般到一般的推理过程b 归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程c 归纳推理得出的结论不一定正确d 归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析 归纳推理是由特殊到一般的推理 其结论不一定正确 但能为探寻结论 一般性 提供明确的方向 故b c d正确 而a错误 故选a 答案 a 4 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n 1 2 3 1 求a2 a3 a4 a5 2 归纳猜想通项公式an 解析 1 a1 1 a2 3 22 1 a3 7 23 1 a4 15 24 1 a5 31 25 1 2 可归纳猜想出an 2n 1 n n 合作探究课堂互动 数列中的归纳推理 思路点拨 归纳推理的步骤在数列中 常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式 归纳推理具有由特殊到一般 由具体到抽象的认知功能 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 图形中的归纳推理 在一次珠宝展览会上 某商家展出了一套珠宝首饰 第一件首饰是1颗珠宝 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图 所示的正六边形 第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图 所示的正六边形 第四 五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图 和 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件的基础上 按照这种规律增加一定数量的珠宝 使它构成更大的正六边形 依此推断第六件首饰上应有 颗珠宝 第n件首饰上应有 颗珠宝 方法一 5件首饰的珠宝颗数依次为1 6 2 3 15 3 5 28 4 7 45 5 9 归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6 11 66 颗 第n件首饰上的珠宝颗数为n 2n 1 2n2 n 颗 方法二 5件首饰的珠宝颗数依次为 1 1 5 1 5 9 1 5 9 13 1 5 9 13 17 则第6件首饰上的珠宝颗数为1 5 9 13 17 21 66 即每件首饰上的珠宝数是以1为首项 4为公差的等差数列的前n项和 故第n件首饰的珠宝颗数为1 5 9 4n 3 2n2 n 答案 662n2 n 图形中归纳推理的特点及思路1 此类题目的特点 由一组平面或空间图形 归纳猜想其数量的变化规律 这类题颇有智力趣题的味道 解答时常用归纳推理的方法解决 分析时要注意规律的寻找 2 解决这类问题从哪入手 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形的结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样变化 2 在古希腊 毕达哥拉斯学派把1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排成正三角形 如图所示 则三角形数的一般表达式f n 答案 d 类比推理 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 思路点拨 这是一个由平面图形到空间图形的类比 于是联想到 边长 面积 平面角 二面角 边的射影 面的射影等 类比推理的步骤运用类比推理必须寻找合适的类比对象 充分挖掘事物的本质及内在联系 在应用类比推理时 其一般步骤为 1 找出两类对象之间可以确切表述的相似性 或一致性 2 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质 从而得出一个猜想 3 检验这个猜想 3 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 它们的体积比为多少 你能验证这个结论吗 如图 在三棱