高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件1 新人教A版必修3.ppt

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 对一个未知总体 我们常用样本的频率分布来估计总体的分布 其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些 图 表 总体数据的数字特征 2 下图是某赛季东 西部球队数据 那么如何比较东部赛区与西部赛区的优劣呢 如果要求我们根据上面的数据 估计 比较某赛季东部赛区与西部赛区的优劣 就得有相应的数据作为比较依据 即通过样本数据对总体的数字特征进行研究 用样本的数字特征来估计总体的数字特征 1 正确理解样本数据标准差的意义和作用 学会计算数据的标准差 2 理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征 难点 3 会应用相关知识来解决简单的统计问题 重点 1 众数的定义 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数 2 中位数的定义 将一组数据按大小顺序依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 3 平均数的定义 一组数据的和除以数据的个数所得到的数 思考1 怎样将各个样本数据汇总为一个数值 并使它成为样本数据的 中心点 众数 中位数 平均数 课堂探究1 月均用水量 t 频率 组距 0 500 400 300 200 10 0 511 522 533 544 5 o 思考2 在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中 你认为众数应在哪个小矩形内 由此估计总体的众数是什么 思考3 在频率分布直方图中 每个小矩形的面积表示什么 中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系 每个小矩形的面积即为所在组的频率 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 从左至右各个小矩形的面积分别是0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 0 5 0 04 0 08 0 15 0 22 0 01 0 5 0 01 0 25 0 02 所以中位数是2 02 月均用水量 t 0 500 400 300 200 10 0 511 522 533 544 5 o 频率 组距 思考4 平均数是频率分布直方图的 重心 将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加 就是样本数据的估计平均数 由此估计总体的平均数是什么 月均用水量 t 0 500 400 300 200 10 0 511 522 533 544 5 o 频率 组距 0 25 0 04 0 75 0 08 1 25 0 15 1 75 0 22 2 25 0 25 2 75 0 14 3 25 0 06 3 75 0 04 4 25 0 02 2 02 t 所以平均数是2 02t 平均数与中位数相等 是必然还是巧合 巧合 各小矩形底边中点的横坐标为 0 25 0 75 1 25 1 75 2 25 2 75 3 25 3 75 4 25 各小矩形的面积为 0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 思考 从居民月均用水量样本数据可知 该样本的众数是2 3 中位数是2 0 平均数是1 973 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差 你能解释一下原因吗 频率分布直方图损失了一些样本数据 得到的是一个估计值 且所得的估计值与数据分组有关 注 在只有样本频率分布直方图的情况下 我们可以按上述方法估计众数 中位数和平均数 并由此估计总体特征 思考 一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是一个优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 你能举例说明吗 样本数据的平均数大于 或小于 中位数说明什么问题 你怎样理解 我们单位的收入水平比别的单位高 这句话的含义 如 样本数据收集有个别差错不影响中位数 大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低 平均数大于 或小于 中位数 说明样本数据中存在许多较大 或较小 的极端值 这句话具有模糊性甚至蒙骗性 其中收入水平是员工工资的某个中心点 它可以是众数 中位数或平均数 反应数据特点的值还有什么 思考1 在一次射击选拔赛中 甲 乙两名运动员各射击10次 每次命中的环数如下 甲 78795491074乙 9578768677甲 乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环 标准差 课堂探究2 思考2 甲 乙两人射击的平均成绩相等 如图所示 你能说明其水平差异在哪里吗 甲的成绩比较分散 极差较大 乙的成绩相对集中 比较稳定 环数 频率 0 40 30 20 1 45678910 o 甲 环数 频率 0 40 30 20 1 45678910 o 乙 o 思考3 对于样本数据x1 x2 xn 设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度 那么这个平均距离如何计算 含有绝对值 运算不方便 1 定义 反映样本数据的分散程度的大小 最常用的统计量是标准差 一般用s表示 假设样本数据x1 x2 xn的平均数为 则标准差的计算公式是 标准差 2 特征 标准差描述一组数据围绕波动的大小 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小 标准差较大 数据的离散程度较 标准差较小 数据的离散程度较 平均数 大 小 计算甲 乙两名运动员的射击成绩的标准差 比较其射击水平的稳定性 甲 78795491074乙 9578768677s甲 2 s乙 1 095 由s甲 s乙 可估计乙比甲的射击成绩稳定 例1画出下列四组样本数据的条形图 说明它们的异同点 1 2 解 1 2 3 4 3 4 例2甲乙两人同时生产内径为25 40mm的一种零件 为了对两人的生产质量进行评比 从他们生产的零件中各抽出20件 量得其内径尺寸如下 单位 mm 甲 25 4625 3225 4525 3925 3625 3425 4225 4525 3825 4225 3925 4325 3925 4025 4425 4025 4225 3525 4125 39乙 25 4025 4325 4425 4825 4825 4725 4925 4925 3625 3425 3325 4325 4325 3225 4725 3125 3225 3225 3225 48从生产零件内径的尺寸看 谁生产的零件质量较高 甲生产的零件内径更接近内径标准 且稳定程度较高 故甲生产的零件质量较高 说明 生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量 但甲 乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的 我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差 变式练习 某校高二年级在一次数学选拔赛中 由于甲 乙两人的竞赛成绩相同 从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选 这六次测试的成绩数据如下 求两人比赛成绩的平均数以及方差 并且分析成绩的稳定性 从中选出一位参加数学竞赛 解析 设甲乙两人的平均数分别为 则 130 3 8 0 7 5 1 133 130 3 1 8 4 2 6 133 6 2 52 3 2 42 22 2 2 02 4 2 52 12 5 2 32 因此 甲与乙的平均数相同 由于乙的方差较小 所以乙的成绩比甲的成绩稳定 应该选乙参加竞赛比较合适 1 10名工人某天生产同一零件 生产的件数分别是15 17 14 10 15 19 17 16 14 12 则这一天10名工人生产的零件的中位数是 a 14b 16c 15d 17 解析 选c 把件数从小到大排列为10 12 14 14 15 15 16 17 17 19 可知中位数为15 c 3 抽样统计甲 乙两位射击运动员的5次训练成绩 单位 环 结果如下 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 解 答案 2 4 现有10个数 其平均数为3 且这10个数的平方和是100 那么这个数组的标准差是 a 1b 2c 3d 4 解 由s2 x12 x22 xn2 得s2 100 32 1 a 5 甲 乙两个班各随机选出15名同学进行测验 所得成绩的茎叶图如图 从图中看 班的平均成绩较高 解析 结合茎叶图中成绩的情况可知 乙班平均成绩较高 答案 乙 6 统计某校1000名学生的数学会考成绩 得到样本频率分布直方图如图所示 规定不低于60分为及格 不低于80分为优秀 则及格人数是 优秀率为 解析 由已知不低于60分及格 则及格的频率为0 025 10 0 035 10 0 01 20 0 25 0