G专题之立体几何选填技巧.doc

国嘉教育 G数学工作室专用 学生版 我们的信仰与您分享数学世界G专题:高二（下）数学 立体几何复习资料第十五讲 立体几何综合复习一、板块知识复习（一）表面积与体积：1、表面积公式： （为底面半径，为圆柱母线长）； （为底面半径，为圆锥母线长）； （为两底面半径，为圆台母线长）； （为球的半径）.2、体积公式： （为底面积，为棱柱的高）； （为底面圆半径，为圆柱的高）； （为底面积，为棱锥的高）； （为底面圆半径，为圆锥的高）； （为棱台上底面积，为棱台下底面积，为棱台的高）； （为圆台上底面和下底面的半径，为圆台的高）； (为球的半径)3、球的组合体（1）球与长方体的组合体： 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长；（2）球与正方体的组合体： 正方体的内切球的直径是正方体的棱长；正方体的棱切球的直径是正方体的面 对角线长；正方体的外接球直径是正方体的体对角线长。（3）球与正四面体的组合体： 棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为。 （二）六种位置关系：1、线线平行：（1）平行四边形；（2）中位线、对应成比例；（3）公理4：.（4）转化为线面平行：；（5）转化为线面垂直：；（6）转化为面面平行：；（7）向量法：（分别为两直线的方向向量）2、线面平行：（1）转化为线线平行：；（2）转化为面面平行：； （3）基底法：运用共面向量定理；（4）向量法：（分别为直线方向向量和平面的法向量）3、面面平行：（1）转化为线面平行：；（2）转化为线线平行:;（3）转化为线面垂直：；(4）平行的传递性：；（5）向量法：（为两平面的法向量）4、线线垂直：（1）转化为线面垂直：；（2）三垂线定理；（3）判断两直线所成角为（勾股定理）； （4）向量法：.5、线面垂直：（1）转化为线线垂直：；（2）转化为面面垂直：；（3）转化为线线平行:;（4）转化为面面平行:（5）向量法：（为两平面的法向量）（3）三个角度：1、线线角（范围：）：（1）传统法：解斜三角形；（2）向量法：2、线面角（范围：）：（1）传统法;（2）向量法：三余弦公式（3）向量法：3、二面角（范围：）：（1）传统法;（2）射影面积法：（3）四、六种距离：1、点点距：（1）解三角形 （2）向量法2、点线距：（1）解三角形 （2）面积法 （3）向量法：3、点面距：（1）传统法 （2）等积法 （3）向量法：4、线线距：（1）平行直线:转化为点线距；（2）异面直线:作公垂线段，解三角形5、线面距：（直线与平面平行）：转化为点面距6、面面距：（两平面平行）：转化为点面距二、典例分析：考点题型1 立体几何中常见命题及结论例1、在多面体中，已知是边长为的正方形，且均为正三角 形，则该多面体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）例2、是所在平面外一点，是点在平面上的射影.（1）若，则是的；（2）若点到三边的距离相等，则是的；（3）若两两垂直，则是的；（4）若侧棱与底面所成角相等，则是的；（5）若侧面与底面所成角相等，则是的；例3、若一个二面角的两个半平面与另一个二平面的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大 小关系是（ ）（A）相等 （B）互补 （C）相等或互补 （D）无法确定例4、空间两条异面直线成角，过空间一点与所成的角都是的直线有多少条？解析：（1）当时 当时，一条也没有； 当时，有一条； 当时，有两条；当时，有三条； 当时，有四条；当时，有一条. （2）当时 当时，一条都没有；当时，有两条； 当时，有四条； 当时，有一条.变式训练： 若是两两异面的直线，与所成角是，与所成角都是，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）例5、求证：在棱长为的正方体中，平面与平面平分.证明：,平面,平面. ,面面. 连结交面于，连结， ，由三垂线定理知：;同理. 面且面，为两平行平面间的距离， 为下、上面的中心，在矩形中，面面, 面面，,， 同理,.变式训练1： 如图，正方体棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）（A）点是的垂心 （B）的延长线经过点（C）垂直于平面 （D）直线和所成角为变式训练2：在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A）个 （B）个 （C）个 （D）个考点题型2 常见几何体外接球球心问题例6、四棱锥中，底面是边长为的正方形，面且.四 棱锥的五个顶点都在一个球面上，分别是棱的中点，直线被 球面所截得的线段长为，则该球表面积为.例7、三棱锥中，面面，是边长为的正三角形，是等腰 直角三角形，则三棱锥外接球的半径为.变式训练1：一个三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱长都为，顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）变式训练2:正四棱柱底面和侧棱长都为，点共球，则.考点题型3 例题几何常见解题技巧构造长方体模型例10、在四面体中，两两垂直，是面内一点，且点到三个 面的距离分别是，则点到顶点的距离是.例11、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最 大值为（ ）（A） （B） （C） （D）例12、已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两 垂直，则球心到截面的距离为.变式训练：例13、如图，在平行四边形中，,，若将其沿折成直 二面角，则三棱锥的外接球的体积是.三余弦公式的应用例14、若三棱柱的一个侧面是边长为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的棱形， 则该棱柱的体积等于（ ）（A） （B） （C） （D）变式训练：正方形边长为，分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角，为矩形内一点，如果，和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）射影面积法的应用例15、棱长为的正方体中，是的中点，求截面与底面所成角的余弦值为.考点题型4 点面距的几何求法例16、已知直二面角，点，为垂足，为垂足.若，则到平面的距离等于（ ）（A） （B） （C） （D）例17、在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是（ ）（A） （B） （C） （D）例18、如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面 的距离为（ ）（A） （B） （