数学五年高考荟萃第十二章 概率与统计绝对免费!知识无价!).doc

35 第十二章 概率与统计 第十二章第十二章 概率与统计概率与统计 第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题 一 选择题 1 1 0909 山东山东 1111 在区间 1 1 上随机取一个数x cos 2 x 的值介于 0 到 1 2 之间的概率为 A 1 3 B 2 C 1 2 D 2 3 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 故选 A 答案 A 2 09 09 山东文山东文 在区间 2 2 上随机取一个数 x cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概 率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在区间 2 2 上随机取一个数 x 即 2 2 x 时 要使cosx的值介于 0 到 2 1 之间 需使 23 x 或 32 x 区间长度为 3 由几何概型知cosx的值 介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 3 故选 A 答案 A 3 0909 安徽卷理 安徽卷理 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙 也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 解析 如图 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 A B CD E F 35 6 个点中任意选两个点连成直线 共有 22 66 15 15225CC 种不同取法 其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ACDB ADCB AEBF AFBE CEFD CFED 共 12 对 所以所求概率为 124 22575 p 选 D 答案 D 20092009 安徽卷文 安徽卷文 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下 的 3 个点也连成三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 A 1 B C D 0 解析 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 3 6 C个 由正方体各中心的对称性 可得任取三个点必构成等边三角形 故概率为 1 选 A 答案 A 5 5 2009 江西卷文 江西卷文 甲 乙 丙 丁4个足球队参加比赛 假设每场比赛各队取胜的概率 相等 现任意将这4个队分成两个组 每组两个队 进行比赛 胜者再赛 则甲 乙相 遇的概率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解析 所有可能的比赛分组情况共有 22 42 412 2 C C 种 甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种 故选D 答案 D 6 2009 江西卷理 江西卷理 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了3种不同的精美卡片 每袋食 品随机装入一张卡片 集齐3种卡片可获奖 现购买该种食品5袋 能获奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 解析 55 5 3 3 23 50 381 P 故选 D 答案 D 7 2009 四川卷文 四川卷文 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 618 0 2 15 这种 35 矩形给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂 随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论 是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析解析 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 答案 A 8 20092009 辽宁卷文 辽宁卷文 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内随 机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 解析 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径作圆 在矩形内部的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为1 4 答案 B 2009 年上海卷理 年上海卷理 若事件E与F相互独立 且 1 4 P EP F 则 P EFI的 值等于 A 0 B 1 16 C 1 4 D 1 2 解析 P EFI 11 44 P EP F 1 16 答案 B 二 填空题 35 10 2009 广广东东卷卷 理理 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若0EX 1DX 则a b 解析 由题知 12 11 cba 0 6 1 ca 1 12 1 211 222 ca 解得 12 5 a 4 1 b 答案 11 20092009 安徽卷理 安徽卷理 若随机变量 2 XN 则 P X 答案 1 2 12 20092009 安徽卷文 安徽卷文 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条 线 段为边可以构成三角形的概率是 解析 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况 2 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 3 4 33 4 P C 0 75 答案 0 75 13 2009 江苏卷 江苏卷 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 解析 考查等可能事件的概率知识 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10 它们的长度恰好相差 0 3m 的 事件数为 2 分别是 2 5 和 2 8 2 6 和 2 9 所求概率为 0 2 答案 0 2 14 2009 江苏卷 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮 练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班67787 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 解析 考查统计中的平均值与方差的运算 甲班的方差较小 数据的平均值为 7 故方差 22222 2 67 00 87 02 55 s 35 答案 15 2009 湖北卷文 湖北卷文 甲 乙 丙三人将参加某项测试 他们能达标的概率分别是 0 8 0 6 0 5 则三人都达标的概率是 三人中至少有一人达标的概率是 解析 三人均达标为 0 8 0 6 0 5 0 24 三人中至少有一人达标为 1 0 24 0 76 答案 0 24 0 76 16 20092009 福建卷文 福建卷文 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 解析 如图可设1AB 则1AB 根据几何概率可知其整体事 件是其周长3 则其概率是 2 3 答案 2 3 1717 2009 重庆卷文 重庆卷文 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差s 克 用数字作答 解析 因为样本平均数 1 125 124 121 123 127 124 5 x 则样本方差 222222 1 1313 4 5 sO 所以2s 答案 2 三 解答题 18 2009 浙江卷理 浙江卷理 本题满分 14 分 在1 2 3 9 这9个自然数中 任取3个数 I 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 II 设 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数 1 2和2 3 此时 的值是2 求随机变量 的分布列及其数学期望E 解 I 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A 则 12 45 3 9 10 21 C C P A C II 随机变量 的取值为0 1 2 的分布列为 012 P 5 12 1 2 1 12 35 所以 的数学期望为 5112 012 122123 E 19 2009 北京卷文 北京卷文 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红 灯的概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2 min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等 于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事 件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B 这名 学 生在上学路上遇到k次红灯的事件 0 1 2 k Bk 则由题意 得 4 0 216 381 P B 1322 12 1424 12321224 33813381 P BCP BC 由于事件 B 等价于 这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 事件 B 的概率为 012 8 9 P BP BP BP B 20 2009 北京卷理 北京卷理 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到 红灯的概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 35 所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 由题意 可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事件 该学生在路上遇到k次红灯 k 0 1 2 3 4 4 4 12 20 1 2 3 4 33 kk k PkCk 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 E 21 2009 2009 山东卷理山东卷理 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第 三次 某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25 在 B 处的命中率为 q2 该同学选择先在 A 处投一球 以后都在 B 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列 为 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 1 求 q2的值 2 求随机变量 的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 35 0 25 0 75P A P B q2 2 1P Bq 根据分布列知 0 时 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q2 0 8 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1 q 2 1 5 q2 2 1 q 0 24 当 3 时 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 当 4 时 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量 的数学期望0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 22 20092009 安徽卷理 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某地有 A B C D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感 其中只有 A 到过疫区 B 肯定是受 A 感染的 对于 C 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的 于是假定他受 A 和受 B 感染 的概率都是 1 2 同样也假定 D 受 A B 和 C 感染的概率都是 1 3 在这种假定之下 B C D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量 写出 X 的分布列 不要求写出计算过程 并求 X 的均值 即数学期望 本小题主要考查古典概型及其概率计算 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列 35 和均值的概念 通过设置密切贴近现实生活的情境 考查概率思想的应用意识和创新意 识 体现数学的科学价值 本小题满分 12 分 解 随机变量 X 的分布列是 X123 P 1 3 1 2 1 6 X 的均值为 11111 123 3266 EX 附 X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形 每种情形发生的概率都是 1 6 A B C DA B C D A B C D A B D C A C D B 在情形 和 之下 A 直接感染了一个人 在情形 之下 A 直接感染了两个 人 在情形 之下 A 直接感染了三个人 23 2009 江西卷理 江西卷理 本小题满分 12 分 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案 进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 1 2 若某人获得两个 支 持 则给予 10 万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予 5 万元的资助 若未获 得 支持 则不予资助 令 表示该公司的资助总额 1 写出 的分布列 2 求数学期望E 解 1 的所有取值为0 5 10 15 20 25 30 1 0 64 P 3 5 32 P 15 10 64 P 5 15 16 P 15 20 64 P 3 25 32 P 1 30 64 P 2 31551531 5101520253015 326416643264 E 24 2009 2009 湖北卷理湖北卷理 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 2 3 4 5 另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 3 4 5 6 现从一个盒子中任取 35 一张卡片 其上面的数记为 x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的数记为 y 记 随机变量 x y 求 的分布列和数学期望 解 依题意 可分别取5 6 11 取 则有 1123 5 6 7 4 4161616 4321 8 9 10 11 16161616 ppp pppp 的分布列为 567891011 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 1234321 5678910118 16161616161616 E 25 2009 辽宁卷理 辽宁卷理 本小题满分 12 分 某人向一目射击 4 次 每次击中目标的概率为 该目标分为 3 个不同的部分 第一 二 三部分面积之比为 1 3 6 击中目标时 击中任何一部分的概率与其面积成正比 设 X 表示目标被击中的次数 求 X 的分布列 若目标被击中 2 次 A 表示事件 第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 求 P A 解 依题意 X 的分列为 设 A1表示事件 第一次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 B1表示事件 第二次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 依题意知 P A1 P B1 0 1 P A2 P B2 0 3 11111122 AA BA BA BA B 所求的概率为 11111122 P AP A BP A BP A BP A B 35 11111122 P A BP A P BP A P BP A P B 0 1 0 90 9 0 1 0 1 0 1 0 3 0 30 28 26 2009 湖南卷文 湖南卷文 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产 业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 1 3 1 6 现有 3 名工人 独立地从中任选一个项目参与建设 求 I 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事 件 iii A B Ci 1 2 3 由题意知 123 A A A相互独立 123 B B B相互独立 123 C C C 相互独立 ijk A B C i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 111 236 iii P AP BP C 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 123 3 P AB C 123 6 P A P B P C 1111 6 2366 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P 123 1 P B B B 123 1 P B P B P B 3 119 1 1 327 2727 20092009 全国卷全国卷 文 文 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假 设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已 知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 求再赛 2 局结束这次比赛的概率 求甲获得这次比赛胜利的概率 解析 本小题考查互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 综合 题 解 记 第i局甲获胜 为事件 5 4 3 iAi 第j局甲获胜 为事件 5 4 3 jBi 35 设 再赛 2 局结束这次比赛 为事件 A 则 4343 BBAAA 由于各局比赛结果相互独立 故 434343434343 BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP 52 0 4 04 06 06 0 记 甲获得这次比赛胜利 为事件 B 因前两局中 甲 乙各胜 1 局 故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而 54354343 ABAAABAAB 由于各局比赛结果相互独立 故 54354343 ABAAABAAPBP 648 0 6 04 06 06 06 04 06 06 0 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP 28 2009 陕西卷文 陕西卷文 本小题满分 12 分 椐统计 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0 1 2 的概率分别为 0 4 0 5 0 1 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响 求该企业在这两个月内共被 消费者投诉 2 次的概率 解 解答 1 设事件 A 表示 一个月内被投诉的次数为 0 事件 B 表示 一个月内 被投诉的次数为 1 所以 0 40 50 9P ABP AP B 设事件 i A表示 第i个月被投诉的次数为 0 事件 i B表示 第i个月被投诉的次 数为 1 事件 i C表示 第i个月被投诉的次数为 2 事件 D 表示 两个月内被投诉 2 次 所以 0 4 0 5 0 1 1 2 iii P AP BP Ci 所以两个月中 一个月被投诉 2 次 另一个月被投诉 0 次的概率为 1221 P ACA C 一 二月份均被投诉 1 次的概率为 12 P B B 所以 122112122112 P DP ACA CP B BP ACP A CP B B 35 由事件的独立性的 0 4 0 1 0 1 0 40 5 0 50 33p D 解答 2 设事件 A 表示 一个月内被投诉 2 次 设事件 B 表示 一个月内被投诉 的次数不超过 1 次 所以 0 1 1 1 0 10 9p AP BP A 同解答 1 29 2009 湖南卷理湖南卷理 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产业 建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 1 3 1 6 现在 3 名工人 独立地从中任选一个项目参与建设 I 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程的人数 求 的分布列及数学期望 解 记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件 1 A 1 B 1 C i 1 2 3 由题意知 1 A 23 A A相互独立 1 B 23 B B相互独立 1 C 23 C C相互独 立 1 A 1 B 1 C i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 P 1 A P 1 B 1 3 P 1 C 1 6 1 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 3 P 1 A 2 B 3 C 6P 1 A P 2 B P 3 C 6 1 2 1 3 1 6 1 6 2 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由己已知 B 3 1 3 且 3 所以 P 0 P 3 1 3 C 3 1 3 1 27 P 1 P 2 2 3 C 3 1 3 2 3 2 9 P 2 P 1 1 3 C 1 3 2 2 3 4 9 P 3 P 0 0 3 C 3 2 3 8 27 35 故 的分布是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 E 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27 2 解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 1 D i 1 2 3 由此已知 1 D D 1 D相互独立 且 P 1 D 1 A 1 C P 1 A P 1 C 1 2 1 6 2 3 所以 2 3 3 B 既 3 3 21 33 KKK PKC 0 1 2 3 k 故 的分布列是 0123 p 1 27 2 9 4 9 8 27 3030 20092009 四川卷理 四川卷理 本小题满分 12 分 为振兴旅游业 四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡 向省外人 士发行的是熊猫金卡 简称金卡 向省内人士发行的是熊猫银卡 简称银卡 某旅游 公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游 其中 3 4 是省外游客 其余是省 内游客 在省外游客中有 1 3 持金卡 在省内游客中有 2 3 持银卡 I 在该团中随机采访 3 名游客 求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率 II 在该团的省内游客中随机采访 3 名游客 设其中持银卡人数为随机变量 求 的 分布列及数学期望E 本小题主要考察相互独立事件 互斥事件 随机变量的分布列 数学期望等概率计算 考 察运用概率只是解决实际问题的能力 解 由题意得 省外游客有 27 人 其中 9 人持金卡 省内游客有 9 人 其中 6 人 持 银卡 设事件B为 采访该团 3 人中 恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人 35 事件 1 A为 采访该团 3 人中 1 人持金卡 0 人持银卡 事件 2 A为 采访该团 3 人中 1 人持金卡 1 人持银卡 12 P BP AP A 12111 9219621 33 3636 C CC C C CC 927 34170 36 85 所以在该团中随机采访 3 人 恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 36 85 6 分 的可能取值为 0 1 2 3 3 3 3 9 1 0 84 C P C 12 63 3 9 3 1 14 C C P C 21 63 3 9 15 2 28 C C P C 3 6 3 9 15 3 21 C P C 所以 的分布列为 0123 P 1 84 3 14 15 28 5 21 所以 13155 01232 84142821 E 12 分 31 2009 重庆卷理 重庆卷理 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率 分别为 2 3 和 1 2 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 两种大树各成活 1 株的概率 成活的株数 的分布列与期望 解解 设 k A表示甲种大树成活 k 株 k 0 1 2 l B表示乙种大树成活 l 株 l 0 1 2 35 则 k A l B独立 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2 2 21 33 kkk k P AC 2 2 11 22 lll l P BC 据此算得 0 1 9 P A 1 4 9 P A 2 4 9 P A 0 1 4 P B 1 1 2 P B 2 1 4 P B 所求概率为 2111 412 929 P ABP AP B 解法一 的所有可能值为 0 1 2 3 4 且 0000 111 0 9436 PP ABP AP B 0110 11411 1 92946 PP ABP AB 021120 114141 2 949294 PP ABP ABP AB 13 36 1221 41411 3 94923 PP ABP AB 22 411 4 949 PP AB 综上知 有分布列 01234 P1 361 613 361 31 9 从而 的期望为 111311 01234 3663639 E 7 3 株 解法二 分布列的求法同上 令 12 分别表示甲乙两种树成活的株数 则 12 21 B 2 B 2 32 35 故有 12 1EE 241 2 2 332 从而知 12 7 3 EEE 32 2009 重庆卷文 重庆卷文 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率分 别为 5 6 和 4 5 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 至少有 1 株成活的概率 两种大树各成活 1 株的概率 解 设 k A表示第k株甲种大树成活 1 2k 设 l B表示第l株乙种大树成活 1 2l 则 1212 A A B B独立 且 1212 54 65 P AP AP BP B 至少有 1 株成活的概率为 22 12121212 11899 1 1 1 65900 P A AB BP AP AP BP B 由独立重复试验中事件发生的概率公式知 两种大树各成活 1 株的概率为 11 22 5 14 11084 6 65 5362545 PCC 2005 2008 年高考题 一 选择题 1 1 2008 2008 年全国年全国 理理 6 6 从 20 名男同学 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 A 9 29 B 10 29 C 19 29 D 20 29 解析解析 29 20 3 30 1 10 2 20 2 10 1 20 C CCCC P 答案 D 2 2007 年辽宁理 年辽宁理 一个坛子里有编号为 1 2 12 的 12 个大小相同的球 其中 1 到 6 号球是红球 其余的是黑球 若从中任取两个球 则取到的都是红球 且至少有 1 个 球的号码是偶数的概率是 A 1 22 B 1 11 C 3 22 D 2 11 答案 D 3 2007 年湖北理年湖北理 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n 记向量 mn a 与向量 11 b的夹角为 则0 的概率是 35 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 5 6 答案 C 4 2007 年浙江理年浙江理 5 已知随机变量 服从正态分布 2 2 N 4 0 84P 则 0 P A 0 16B 0 32C 0 68D 0 84 答案 A 5 5 20072007年安徽理 年安徽理 以 x 表示标准正态总体在区间 x 内取值的概率 若随机变 量 服从正态分布 2 N 则概率 P等于 A B 1 1 C 1 D 2 答案 B 2006 江苏 江苏 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 x y 10 11 9 已知这组数据的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由题意可得 x y 20 x 10 2 y 10 2 8 解这个方程组需要用一些技巧 因为不 要直接求出 x y 只要求出yx 设 x 10 t y 10 t 24xyt 选 D 答案 D 二 填空题 7 2007 天津文天津文 15 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中abc 成等差数列 若 1 3 E 则D 的值是 答案 5 9 8 2007 年湖北理 年湖北理 某篮运动员在三分线投球的命中率是 1 2 他投球 10 次 恰好投进 3 个球的概率 用数值作答 答案 15 128 9 9 20072007 年全国年全国 理理 1414 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 若 35 在 0 1 内取值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 答案 0 8 解析 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 正态分布图象的对 称轴为 x 1 在 0 1 内取值的概率为 0 4 可知 随机变量 在 1 2 内取值的概率于 在 0 1 内取值的概率相同 也为 0 4 这样随机变量 在 0 2 内取值的概率为 0 8 1010 20052005 年全国年全国 理理 1515 设l为平面上过点 01 的直线 l的斜率等可能地取 55 2 2303 2 2 22 用 表示坐标原点到l的距离 则随机变量 的数学 期望E 答案 4 7 解析 随机变量可能的取值为 x1 1 3 x2 1 2 x3 2 3 x4 1 它们的概率分别为 p1 2 7 p2 2 7 p3 2 7 p4 1 7 随机变量 的数学期望 E 2 11 12 21 1 7 37 27 37 4 7 三 解答题 1111 20082008 年全国年全国 理理理理 1818 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元 若投保人在购买保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望不 小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是p 记投保的 10 000 人中出险的人数 为 则 4 10 Bp 记A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则A发生当且仅当 0 2 分 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故0 001p 5 分 该险种总收入为10 000a元 支出是赔偿金总额与成本的和 35 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为 10 00010 00050 000EaE 9 分 由 43 10 10 B 知 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 1050a 15a 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 1212 20082008 年全国年全国 理理 1818 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元 若投保人在购买保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望不 小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是p 记投保的 10 000 人中出险的人数 为 则 4 10 Bp 记A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则A发生当且仅当 0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故0 001p 该险种总收入为10 000a元 支出是赔偿金总额与成本的和 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 35 盈利的期望为 10 00010 00050 000EaE 由 43 10 10 B 知 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 1050a 15a 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 13 2007 年福建文 年福建文 甲 乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0 7 0 6 且每次试跳成功与否相互之间没有影响 求 甲试跳三次 第三次才成功的概率 甲 乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率 甲 乙各试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次的概率 解 记 甲第i次试跳成功 为事件 i A 乙第i次试跳成功 为事件 i B 依题意得 0 7 i P A 0 6 i P B 且 i A i B 12 3i 相互独立 甲第三次试跳才成功 为事件 123 A A A 且三次试跳相互独立 123123 0 3 0 3 0 70 063P A A AP A P A P A 答 甲第三次试跳才成功的概率为0 063 甲 乙两人在第一次试跳中至少有一人成功 为事件C 解法一 111111 CA BABAB 且 11 A B 11 AB 11 AB彼此互斥 111111 P CP A BP A BP A B AAA 111111 P A P BP A P BP A P B 0 7 0 40 3 0 60 7 0 6 0 88 解法二 11 1 1 0 3 0 40 88P CP AP B A 答 甲 乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0 88 设 甲在两次试跳中成功i次 为事件 012 i M i 35 乙在两次试跳中成功i次 为事件 012 i N i 事件 甲 乙各试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次 可表示为 1021 M NM N 且 10 M N 21 M N为互斥事件 所求的概率为 10211021 P M NM NP M NP M N 1021 P M P NP MP N 1221 22 0 7 0 3 0 40 70 6 0 4CC 0 06720 2352 0 3024 答 甲 乙每人试跳两次 甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0 3024 1414 20072007 年全国年全国 文文 1919 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件B 取出的 2 件产品中至少有 一件二等品 的概率 P B 1 记 0 A表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 1 A表示事件 取出的 2 件产品中恰 有 1 件二等品 则 01 AA 互斥 且 01 AAA 故 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 12 0 20 2pp 舍去 2 记 0 B表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 则 0 BB 若该批产品共 100 件 由 1 知其中二等品有100 0 220 件 故 2 80 0 2 100 C316 C495 P B 00 316179 1 1 495495 P BP BP B 1515 20072007 重庆理 重庆理 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司缴纳每辆 35 900 元的保险金 对在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位可获9000元的赔偿 假 设每辆车最多只赔偿一次 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1 9 1 10 1 11 且各车是否发生事故相互独立 求一年内该单位在此保险中 获赔的概率 获赔金额 的分布列与期望 18 本小题 13 分 解 设 k A表示第k辆车在一年内发生此种事故 12 3k 由题意知 1 A 2 A 3 A独立 且 1 1 9 P A 2 1 10 P A 3 1 11 P A 该单位一年内获赔的概率为 123123 89103 1 1 1 9101111 P A A AP A P A P A 的所有可能值为0 9000 18000 27000 123123 89108 0 9101111 PP A A AP A P A P A 123123123 9000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 19108110891 910119101191011 24211 99045 123123123 18000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 1110191811 910119101191011 273 990110 123123 27000 PP A A AP A P A P A 1111 91011990 综上知 的分布列为 35 090001800027000 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求 的期望有两种解法 解法一 由 的分布列得 81131 090001800027000 1145110990 E 29900 2718 18 11 元 解法二 设 k 表示第k辆车一年内的获赔金额 12 3k 则 1 有分布列 1 09000 P 8 9 1 9 故 1 1 90001000 9 E 同理得 2 1 9000900 10 E 3 1 9000818 18 11 E 综上有 123 1000900818 182718 18EEEE 元 1616 20062006 北京卷北京卷 某公司招聘员工 指定三门考试课程 有两种考试方案 方案一 考试三门课程 至少有两门及格为考试通过 方案二 在三门课程中 随机选取两门 这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0 5 0 6 0 9 且三门课程考试 是否及格相互之间没有影响 求 该应聘者用方案一考试通过的概率 该应聘者用方案二考试通过的概率 解 解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A B C 则 P A 0 5 P B 0 6 P C 0 9 应聘者用方案一考试通过的概率 p1 P A B C P A B C P A B C P A B C 0 5 0 6 0 1 0 5 0 6 0 9 0 5 0 4 0 9 0 5 0 6 0 9 0 03 0 27 0 18 0 27 0 75 应聘者用方案二考试通过的概率 p2 3 1 P A B 3 1 P B C 3 1 P A C 35 3 1 0 5 0 6 0 6 0 9 0 5 0 9 3 1 1 29 0 43 1717 20062006 年全国年全国 理理 1818 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取 出 3 箱 再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列及 的数学期望 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批 产品级用户拒绝的概率 解 1 0 1 2 3 22 34 22 55 189 P 0 10050 CC CC 21112 33244 2222 5555 C24 P 1 C50 CC CC CCC A 11122 32442 2222 5555 15 2 50 C CCCC P CCCC A 12 42 22 55 2 3 50 CC P CC 所以 的分布列为 0123 P9 50 24 50 15 50 2 50 的数学期望 E 924152 01231 2 50505050 2 P 2 15217 2 3 505050 PP 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 2009 年联考题 一 选择题 1 1 20092009 年山东省乐陵一中高三模拟 年山东省乐陵一中高三模拟 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个大小 相同的小正方体 若将这些小正方体均匀地搅混在一起 则任意取出一个正方体其两面涂 有油漆的概率是 A 12 1 B 10 1 C 25 3 D 125 12 答案 D 2 2009 广东江门市模拟 广东江门市模拟 如图 1 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆 重叠部 35 图 1 分如图中阴影区域 若向该正方形内随机投一点 则该点落在阴影区域的概率为 A 2 4 B 2 2 C 4 4 D 4 2 答案 3 3 湖北省武汉二中湖北省武汉二中 20092009 届高三届高三 3 3 月测试题月测试题 某市组织一次高三调研考 试 考试后统计的数学成绩服从正态分布 其密度函数为 80 2 200 1 210 x f xexR 则下列命题中不正确的是 A 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D 该市这次考试的数学成绩标准差为 10 答案 B 4 2009 宁波十校联考 宁波十校联考 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为 b c 则方程 2 0 xbxc 有实根的概率为 A 19 36 B 1 2 C 5 9 D 17 36 答案 A 5 2009 和平区一模 和平区一模 在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P 则 PBC 的面积大于 4 S 的概率是 A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 2 3 答