高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 文 新人教版.ppt

9 7抛物线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 知识梳理 焦点 相等 准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 1 抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 到焦点f的距离 pf x0 也称为抛物线的焦半径 2 y2 ax的焦点坐标为 准线方程为x 3 设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 弦长 ab x1 x2 p 为弦ab的倾斜角 3 以弦ab为直径的圆与准线相切 4 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 长等于2p 通径是过焦点最短的弦 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 ab为抛物线y2 2px p 0 的过焦点f 0 的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 ab x1 x2 p 考点自测 a 0 2 b 0 1 c 2 0 d 1 0 答案 解析 1 2016 四川 抛物线y2 4x的焦点坐标是 对于抛物线y2 ax 其焦点坐标为 对于y2 4x 焦点坐标为 1 0 a 1b 2c 4d 8 2 2017 济宁月考 已知抛物线c y2 x的焦点为f a x0 y0 是c上一点 af x0 则x0等于 答案 解析 3 设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点q 若过点q的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值范围是 q 2 0 设直线l的方程为y k x 2 代入抛物线方程 消去y整理得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 由 4k2 8 2 4k2 4k2 64 1 k2 0 解得 1 k 1 答案 解析 a b 2 2 c 1 1 d 4 4 几何画板展示 4 教材改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将p 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y 答案 解析 y2 8x或x2 y 5 2017 合肥调研 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 2 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一抛物线的定义及应用 例1设p是抛物线y2 4x上的一个动点 若b 3 2 则 pb pf 的最小值为 答案 解析 4 如图 过点b作bq垂直准线于点q 交抛物线于点p1 则 p1q p1f 则有 pb pf p1b p1q bq 4 即 pb pf 的最小值为4 几何画板展示 引申探究1 若将本例中的b点坐标改为 3 4 试求 pb pf 的最小值 解答 由题意可知点 3 4 在抛物线的外部 pb pf 的最小值即为b f两点间的距离 几何画板展示 2 若将本例中的条件改为 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 求d1 d2的最小值 解答 由题意知 抛物线的焦点为f 1 0 点p到y轴的距离d1 pf 1 所以d1 d2 d2 pf 1 易知d2 pf 的最小值为点f到直线l的距离 所以d1 d2的最小值为3 1 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 思维升华 跟踪训练1设p是抛物线y2 4x上的一个动点 则点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 易知抛物线的焦点为f 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到f的距离 于是 问题转化为在抛物线上求一点p 使点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和最小 显然 连接af与抛物线相交的点即为满足题意的点 此时最小值为 几何画板展示 题型二抛物线的标准方程和几何性质 命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线c1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2 则抛物线c2的方程为 c x2 8yd x2 16y 答案 解析 命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f a x1 y1 b x2 y2 是过f的直线与抛物线的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 证明 证明 证明 3 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a b两点 交c的准线于d e两点 已知 ab 4 de 2 则c的焦点到准线的距离为a 2b 4c 6d 8 答案 解析 2 若抛物线y2 4x上一点p到其焦点f的距离为3 延长pf交抛物线于q 若o为坐标原点 则s opq 答案 解析 如图所示 由题意知 抛物线的焦点f的坐标为 1 0 又 pf 3 由抛物线定义知 点p到准线x 1的距离为3 点p的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 得2x2 5x 2 0 题型三直线与抛物线的综合问题 命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线c y2 8x与点m 2 2 过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a b两点 若 0 则k 答案 解析 2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5 2016 全国丙卷 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交c于a b两点 交c的准线于p q两点 1 若f在线段ab上 r是pq的中点 证明 ar fq 证明 几何画板展示 2 若 pqf的面积是 abf的面积的两倍 求ab中点的轨迹方程 解答 几何画板展示 设过ab的直线为l 设l与x轴的交点为d x1 0 所以x1 1 x1 0 舍去 设满足条件的ab的中点为e x y 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 思维升华 跟踪训练3 2016 天津模拟 已知抛物线y2 4x的焦点为f 直线l过点m 4 0 由已知 得x 4不合题意 设直线l的方程为y k x 4 由已知 得抛物线c的焦点坐标为 1 0 解答 2 设a b为抛物线上两点 且ab不垂直于x轴 若线段ab的垂直平分线恰过点m 求证 线段ab中点的横坐标为定值 证明 设线段ab中点的坐标为n x0 y0 a x1 y1 b x2 y2 因为ab不垂直于x轴 即线段ab中点的横坐标为定值2 典例 12分 已知抛物线c y mx2 m 0 焦点为f 直线2x y 2 0交抛物线c于a b两点 p是线段ab的中点 过p作x轴的垂线交抛物线c于点q 1 求抛物线c的焦点坐标 答案模板系列6 2 若抛物线c上有一点r xr 2 到焦点f的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 答题模板 思维点拨 直线与圆锥曲线问题的求解策略 规范解答 返回 返回 课时作业 1 2017 太原月考 若抛物线y ax2的焦点坐标是 0 1 则a等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a x 1b x 1c x 2d x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 绵阳模拟 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 直线l2 x 1是抛物线y2 4x的准线 抛物线y2 4x的焦点为f 1 0 则点p到直线l2 x 1的距离等于 pf 过点f作直线l1 4x 3y 6 0的垂线 和抛物线的交点就是点p 所以点p到直线l1 4x 3y 6 0的距离和直线l2 x 1的距离之和的最小值就是点f 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0的距离 4 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点弦ab的两端点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则的值一定等于a 4b 4c p2d p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若焦点弦ab x轴 则x1 x2 x1x2 y1 p y2 p y1y2 p2 4 若焦点弦ab不垂直于x轴 可设ab的直线方程为y k x 联立y2 2px 得k2x2 k2p 2p x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a x1 y1 y1 0 b x2 y2 c 2 y3 3 故选d 6 2016 济南模拟 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线c y2 8x相交于a b两点 f为c的焦点 若 fa 2 fb 则k的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线c的准线为l x 2 直线y k x 2 恒过定点p 2 0 如图 过a b分别作am l于m bn l于n 由 fa 2 fb 得 am 2 bn 从而点b为ap的中点 连接ob 7 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则 ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 方法二由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知抛物线c y2 2px p 0 的准线为l 过m 1 0 且斜率为的直线与l相交于点a 与c的一个交点为b 若 则p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 如图 由ab的斜率为 知 60 又 m为ab的中点 过点b作bp垂直准线l于点p 则 abp 60 bap 30 bp ab bm m为焦点 即 1 p 2 答案 解析 9 已知椭圆e的中心在坐标原点 离心率为 e的右焦点与抛物线c y2 8x的焦点重合 a b是c的准线与e的两个交点 则 ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 大连模拟 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 准线为l 过抛物线c上的点a作准线l的垂线 垂足为m 若 amf与 aof 其中o为坐标原点 的面积之比为3 1 则点a的坐标为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示 由题意 可得 of 1 由抛物线的定义 得 af am amf与 aof 其中o为坐标原点 的面积之比为3 1 11 2016 沈阳模拟 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为2的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 两点 且 ab 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求该抛物线的方程 直线ab的方程是y 2 x 与y2 2px联立 从而有4x2 5px p2 0 所以x1 x2 由抛物线定义得 ab x1 x2 p p 9 所以p 4 从而抛物线方程为y2 8x 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若 求 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 抛物线y2 4x的焦点为f 过点f的直线交抛物线于a b两点 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 依题意知f 1 0 设直线ab的方程为x my 1 将直线ab的方程与抛物线的方程联