高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值课件 理.ppt

第2节函数的单调性与最值 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 函数单调性定义中的x1 x2有何要求 提示 x1 x2必须是函数定义域中的任意两个值 2 若函数f x 在区间c和区间d上都是增 减 函数 则函数f x 在区间c d上是增 减 函数吗 提示 不一定 如f x 在区间 0 及 0 上都是减函数 但在 0 0 上不是减函数 如取x1 1 x2 1 x1f x2 不成立 3 当一个函数的增区间 或减区间 有多个时 能否用 将函数的单调增区间 减区间 连接起来 提示 不能直接用 将它们连接起来 例如 函数y x3 3x的单调增区间有两个 1 和 1 不能写成 1 1 4 函数一定存在值域 那么它一定存在最值吗 提示 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 如函数y x3 如果函数有最值 其最值一定是值域中的一个元素 知识梳理 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间d上是或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做函数y f x 的单调区间 增函数 区间d 2 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 2 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是增函数 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是减函数 3 若函数f x 在闭区间 a b 上是增函数 则f x min f a f x max f b 若函数f x 在闭区间 a b 上是减函数 则f x min f b f x max f a 4 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定函数的定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 1 下列函数f x 满足 对任意x1 x2 0 当x1f x2 的是 a f x ex b f x c f x x 3 2 d f x ln x 3 解析 由条件易知f x 在 0 上单调递减 只有b满足 故选b 对点自测 b 2 导学号18702023若函数f x m 1 x b在r上是增函数 则f m 与f 1 的大小关系是 a f m f 1 b f m f 1 c f m f 1 d f m f 1 解析 因为f x m 1 x b在r上是增函数 所以m 1 0 所以m 1 所以f m f 1 故选a a 3 导学号18702024若函数f x 是r上的减函数 且f a2 a 2 c a2 解析 因为f x 是r上的减函数且f a2 a a 所以a2 2a 0 所以a 2或a 0 故选b b 4 给出下列命题 函数f x 的图象如图所示 则函数f x 的单调增区间是 0 0 若定义在r上的函数f x 有f 1 0 则函数f x 在d上是增函数 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点处取到 其中正确的是 a b c d 解析 错误 函数的单调递增区间应为 0 和 0 错误 对r上的特殊的值 10 则x1 x2时 f x1 f x2 x1 x2时 f x1 f x2 正确 若函数在闭区间上单调 则其图象的最高 最低点一定在端点 即最值在端点处取到 d 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数的单调性与单调区间 2 函数f x log2 x2 4 则使函数f x 为减区间的是 a 3 1 b 3 6 c 4 3 d 2 1 解析 2 令u x2 4 0 则x 2或x 2 又u x2 4在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 且t log2u在 0 上是增函数 故f x log2 x2 4 的单调递减区间是 2 所给选项中只有 4 3 满足 故选c 求函数单调区间的常见方法 1 利用已知函数的单调性 转化为已知函数的和 差或复合函数 再求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义求解 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数确定函数的单调区间 5 复合函数法 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单调性 再根据 同则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 反思归纳 考点二 函数单调性的应用 考查角度1 比较函数值大小 例2 导学号18702027已知函数y f x 的图象关于x 1对称 且在 1 上单调递增 设a f b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 a c b a b b a c c b c a d a b c 利用单调性比较函数值大小时 应根据函数的性质 如对称性等 将自变量转化到函数的同一个单调区间上 利用单调性比较大小 反思归纳 考查角度2 利用函数单调性解不等式高考扫描 2014高考新课标全国 卷 2015高考新课标全国 卷 例3 已知函数y f x 的图象关于直线x 1对称 且在 1 上单调递减 等式f 0 0 则f x 1 0的解集为 a 1 b 1 1 c 1 d 1 1 解析 由f x 的图象关于x 1对称 f 0 0 可得f 2 f 0 0 当x 1 1时 f x 1 0 即为f x 1 f 2 由f x 在 1 上单调递减 可得x 10 即为f x 1 f 0 由f x 在 1 上单调递增 可得x 1 0 解得x 1 即有 1 x 0 由 可得解集为 1 1 故选b 求解与函数单调性有关的抽象函数不等式时 主要是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用 反思归纳 考查角度3 利用函数单调性求参数范围 考点三 函数最值的求法 答案 1 c 答案 2 c 3 函数f x x 1 的最小值为 答案 3 8 求函数最值 值域 的常用方法及适用类型 1 单调性法 易确定单调性的函数 利用单调性法研究函数最值 值域 2 图象法 能作出图象的函数 用图象法 观察其图象最高点 最低点 求出最值 值域 3 基本不等式法 分子 分母其中一个为一次 一个为二次的函数结构以及两个变量 如x y 的函数 一般通过变形使之具备 一正 二定 三相等 的条件 用基本不等式法求最值 值域 4 导数法 若f x 是三次 分式以及含ex lnx sinx cosx结构的函数且f x 可求 可用导数法求函数的最值 值域 反思归纳 备选例题 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 解析 作出函数f x 的图象如图所示 由图象可知要使f x 在 a a 1 上单调递增 需满足a 4或a 1 2 即a 1或a 4 故选d 解析 由题意 当x 0时 f x 2x3 3x2 1 可得f x 6x2 6x 当x 1 0 时 f x 0 函数为增函数 故函数在 2 0 上的最大值为f 1 2 故要使函数f x 在 2 3 上的最大值为2 则当x 3时 e3a的值必须小于等于2 即e3a 2 解得a ln2 故选d 解析 y 2x y 2 x在r上分别为增函数 减函数 则f x 2x 2 x为增函数 因为f x 2 x 2x f x 所以f x 在r上为奇函数 因为f x2 ax a f 3 0 所以f x2 ax a f 3 所以f x2 ax a f 3 所以x2 ax a 3 所以x2 ax a 3 0在r上恒成立 所以 a 2 4 1 a 3 0 所以a2 4a 12 0 所以 2 a 6 答案 2 6 例4 2016 四川