新课标理科数学第六章第四节绝对值不等式.ppt

第四节绝对值不等式 1 绝对值三角不等式定理1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当 时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 当且仅当 时 等号成立 a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 2 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 a b 与 a b a b 与 a b a b 之间有什么关系 提示 a b a b a b a b a b 2 x a x b 表示的几何意义是什么 提示 x a x b 表示数轴上的点x到点a b的距离之和 差 1 教材改编题 设ab 0 下面四个不等式中 正确的是 a b a a b a b A 和 B 和 C 和 D 和 解析 ab 0 即a b同号 则 a b a b 正确 错误 答案 C 2 2013 肇庆统考 不等式 3x 4 4的解集是 3 2012 山东高考 若不等式 kx 4 2的解集为 x 1 x 3 则实数k 解析 由 kx 4 2 2 kx 6 不等式的解集为 x 1 x 3 k 2 答案 2 4 2012 湖南高考 不等式 2x 1 2 x 1 0的解集为 2013 韶关质检 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 思路点拨 1 将 x 2y 1 变形 设法用x 1与y 2表示 利用绝对值三角不等式求最大值 2 由 x 1 1 y 2 1分别求x y的取值范围 然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解 尝试解答 法一 x 2y 1 x 1 2 y 2 2 x 1 2 y 2 2 1 2 2 5 当且仅当x 0 y 3时 x 2y 1 取最大值5 法二 x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 又 y 2 1 1 y 2 1 1 y 3 从而 6 2y 2 由同向不等式的可加性可得 6 x 2y 0 5 x 2y 1 1 x 2y 1 的最大值为5 答案 5 2012 陕西高考 若存在实数x使 x a x 1 3成立 则实数a的取值范围是 解析 x a x 1 x a x 1 a 1 要使 x a x 1 3有解 可使 a 1 3 3 a 1 3 2 a 4 答案 2 4 2012 课标全国卷 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 思路点拨 1 利用绝对值的定义 分零点区间讨论去绝对值符号 分类讨论求解 2 求a的取值范围 要利用解集关系 得关于a的不等式 尝试解答 1 当a 3时 不等式f x 3化为 x 3 x 2 3 若x 2时 由 式 得5 2x 3 x 1 若2 x 3时 由 式知 解集为 若x 3时 由 式 得2x 5 3 x 4 综上可知 f x 3的解集是 x x 4或x 1 2 原不等式等价于 x 4 x 2 x a 当1 x 2时 式化为4 x 2 x x a 解之得 2 a x 2 a 由条件 1 2 是f x x 4 的解集的子集 2 a 1且2 2 a 则 3 a 0 故满足条件的实数a的取值范围是 3 0 1 求解本题要注意两点 1 要求的不等式的解集是各类情形的并集 零点分段法操作程序是 找零点 分区间 分段讨论 2 对于 式 恰当运用条件 简化了分类讨论 优化解题过程 2 求解该类问题的关键是去绝对值符号 本题中运用零点分段法去绝对值 此外还常利用绝对值的几何意义求解 1 2012 江西高考 在实数范围内 不等式 2x 1 2x 1 6的解集是 2 不等式x 2x 1 3的解集是 若f x x2 x c c为常数 x a 1 求证 f x f a 2 1 a 思路点拨 利用绝对值不等式的性质进行放缩 尝试解答 f x f a x2 x c a2 a c x2 x a2 a x a x a 1 x a x a 1 x a x a 2a 1 x a 1 x a x a 2a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2a 1 2 1 a 故不等式 f x f a 2 1 a 成立 含绝对值不等式的证明主要分两类 一类是比较简单的不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式的证明 另一类是利用绝对值三角不等式 a b a b a b 通过适当的添加 拆项证明 但一定注意放缩要适当 2013 清远调研 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 思路点拨 1 由 x a 3求不等式的解集 与已知比较 求参数a的值 2 利用绝对值不等式的性质或函数的单调性 求y f x f x 5 的最小值 得参数不等式求解 1 第 2 问求解的关键是转化为求f x f x 5 的最小值 法一是运用分类讨论思想 利用函数的单调性 法二是利用绝对值不等式的性质 应注意等号成立的条件 2 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇 渗透 解题时强化函数 数形结合与转化化归思想方法的灵活应用 这是命题的新动向 已知函数f x x 3 2 g x x 1 4 1 若函数f x 的值不大于1 求x的取值范围 2 若不等式f x g x m 1对任意x R恒成立 求实数m的最大值 解 1 依题意 f x 1 即 x 3 3 3 x 3 3 0 x 6 因此实数x的取值范围是 0 6 2 f x g x x 3 x 1 6 x 3 x 1 6 2 f x g x 的最小值为 2 要使f x g x m 1的解集为R 应有m 1 2 m 3 故实数m的最大值是 3 一种方法零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方法 其操作程序是 找零点 分区间 分段讨论 三个转化1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 3 对于不等式f x a有解 无解 可转化为最值问题 即 1 f x a有解 f x min a 2 f x a无解 f x min a 三种思想 1 数形结合思想 2 等价转化思想 3 分类讨论思想 从近两年新课标命题看 含绝对值不等式的解法是选考内容4 5考查的热点 难度为中等 2012年高考客观题考查绝对值不等式的解法 主观题主要以函数为载体考查含参数的不等式 突出转化化归思想与分类讨论思想的考查 预计2014年仍延续这一命题方向 解题程序 第一步 解不等式f x 3 第二步 比较解集 建立a的方程 求a 2 第三步 分区间讨论