高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角课件 新人教B版选修23.ppt

1 3 2杨辉三角 1 理解杨辉三角的意义 2 掌握二项式系数的性质并会应用 1 2 1 杨辉三角关于 a b n展开式的二项式系数 当n取正整数时可以单独列成下表的形式 上面的二项式系数表称为 杨辉三角 或 贾宪三角 在欧洲称为 帕斯卡三角 1 2 名师点拨解决与杨辉三角有关的问题的一般方法 观察 分析 试验 猜想结论 证明 要得出杨辉三角中数的诸多排列规律 取决于我们的观察能力 观察的方法 横看 竖看 斜看 连续看 隔行看 从多角度观察 1 2 做一做1 如图所示 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第行中从左至右第14个数与第15个数的比为2 3 解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2 3 也就是二项展开式的第14项和第15项的二项式系数比 所以答案 34 1 2 1 2 名师点拨性质 4 是各项的二项式系数的和 它表明 若集合s含有n个元素 那么它的所有子集 包括空集 的个数是2n 该性质又可以写成 1 2 做一做2 1 对于二项展开式 a b 2n 1 下列结论成立的是 a 中间一项的二项式系数最大b 中间两项的二项式系数相等且最大c 中间两项的二项式系数相等且最小d 中间两项的二项式系数互为相反数解析 因为 a b 2n 1的幂指数为2n 1 所以展开式共有2n 2项 所以中间两项的二项式系数相等且最大 答案 b 1 2 做一做2 2 在 1 x 6的展开式中 含x的奇数次幂的项的系数和为 a 32b 32c 0d 64答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 在 杨辉三角 中 每行的两端都是1 其余每个数都是它 肩上 两个数的和 杨辉三角 开头几行如图所示 1 利用 杨辉三角 展开 1 x 6 2 在 杨辉三角 中哪一行会出现相邻的三个数 它们的比是3 4 5 分析运用 杨辉三角 的性质规律可以将二项式系数直接写出来 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 根据已知中的规律可以写出第6行二项式系数为1 6 15 20 15 6 1 所以 a b 6 a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6 令a 1 b x 得 1 x 6 1 6x 15x2 20 x3 15x4 6x5 x6 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 1 若展开式中第5项 第6项与第7项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式系数最大的项的系数 2 若展开式前3项的二项式系数和等于79 求展开式中系数最大的项 分析 1 由条件求得n的值 根据n的奇偶性确定所求的项 2 由条件求得n的值 通过解不等式组求所要求的项 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式 组 的方法求解 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 分析本题考查求二项展开式系数和问题 常用赋值法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个值 也可以取几组值 题型一 题型二 题型三 题型四 解 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 4 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 由 2 3 即可得其值为1093 1094 2187 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 解决此题 可以根据问题恒等式的特点来用 赋值 法 这是一种重要的方法 它适用于恒等式 2 一般地 对于多项式g x px q n a0 a1x a2x2 anxn g x 各项的系数和为g 1 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 9192被100除所得的余数为 a 1b 81c 81d 992错解 d错因分析由9192 100 9 92 得 100 9 92 显然在展开式中 只有最后一项不能被100整除 故错解 中认为余数为992 忽略了992远远大于100这一特征 因此它也不可能是一个余数 1 2 3 4 5 1 1 x 2n n n 的展开式中 系数最大的项是 b 第n项c 第n 1项d 第n项与第n 1项解析 系数最大的项为中间项 即第n 1项 答案 c 1 2 3 4 5 2 在 1 x n的展开式中 设奇数项系数之和为a 偶数项系数之和为b 则a2 b2等于 a 2nb 22n 1c 0d 1解析 由题意得a b 2n 1 故a2 b2 0 答案 c 1 2 3 4 5 答案 a 1 2 3 4 5 4 若 2x 1 4 a0 x4