【全程复习方略】高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,向量d1a,d1c,a1c1是()a.有相同起点的向量b.等长向量c.共面向量d.不共面向量【解析】选c.由题意知,a1c1=ac=d1c-d1a,所以向量d1a,d1c,a1c1是共面向量.2.(2014沈阳高二检测)下列命题中正确的是()a.若ab,bc,则a与c所在直线平行b.向量a,b,c共面即它们所在直线共面c.空间任意两个向量共面d.若ab,则存在惟一的实数,使a=b【解析】选c.对a.若ab,bc,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;b.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;c.空间任意两个向量共面,正确;d.若ab,则存在惟一的实数,使a=b,错误,当b=0时不成立.【变式训练】ab与cd共线是直线abcd的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.若ab与cd共线,则abcd,此时ab与cd可能平行也可能为同一直线;而若abcd,则必有ab与cd共线.3.(2014西安高二检测)对空间任一点o和不共线三点a,b,c,能得到p,a,b,c四点共面的是()a.op=oa+ob+ocb.op=13oa+13ob+13occ.op=-oa+12ob+12ocd.以上都不对【解析】选b.因为op=13oa+13ob+13oc,所以3op=oa+ob+oc,所以op-oa=(ob-op)+(oc-op),所以ap=pb+pc,所以pa=-pb-pc,所以p,a,b,c共面.【变式训练】对于空间任意一点o和不共线的三点a,b,c有6op=oa+2ob+3oc,则()a.四点o,a,b,c必共面b.四点p,a,b,c必共面c.四点o,p,b,c必共面d.五点o,p,a,b,c必共面【解析】选b.由6op=oa+2ob+3oc,得(oa-op)=2(op-ob)+3(op-oc),即pa=2bp+3cp.由共面向量定理,知p,a,b,c四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=e1+e2(,r且,0),则()a.ae1b.ae2c.a与e1,e2共面d.以上三种情况均有可能【解析】选c.若ae1,则存在实数t使得a=te1,所以te1=e1+e2,所以(t-)e1=e2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知c正确.5.(2014南宁高二检测)已知o,a,b是平面上的三个点,直线ab上有一点c,满足2ac+cb=0,则oc等于()a.2oa-obb.-oa+2obc.23oa-13obd.-13oa+23ob【解析】选a.由已知得2(oc-oa)+(ob-oc)=0,所以oc=2oa-ob.6.如图所示,在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,m为ac与bd的交点.若a1b1=a,a1d1=b,a1a=c,则下列向量中与b1m相等的向量是()a.-12a+12b+cb.12a+12b+cc.12a-12b+cd.-12a-12b+c【解析】选a.b1m=b1b+bm=b1b+12(ad-ab)=b1b+12ad-12ab=-12a+12b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=b,即3e1+4e2=(-3e1+8e2)=-3e1+8e2,所以-3=3,8=4=-1,=12,所以不存在,使a=b,即a与b不共线.答案:否8.(2014福州高二检测)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别为ab,b1c的中点.用ab,ad,aa1表示向量mn,则mn=.【解析】mn=mb+bc+cn=12ab+ad+12(cb+bb1)=12ab+ad+12(-ad+aa1)=12ab+12ad+12aa1.答案:12ab+12ad+12aa19.如图所示,在四棱锥o-abcd中,底面abcd为平行四边形,oa=a,ob=b,oc=c,若od=xa+yb+zc,则x+y+z=.【解析】在obd中,od=ob+bd=ob+ad-ab=ob+bc-ab=ob+oc-ob-(ob-oa)=oc+oa-ob=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,am=12mc,a1n=2nd.设ab=a,ad=b,aa1=c,试用a,b,c表示mn.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将mn表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示mn.【解析】如图所示,连接an,则mn=an-am=aa1+a1n-13ac=aa1+23a1d-13(ab+bc)=aa1+23(ad-aa1)-13(ab+ad)=c+23(b-c)-13(a+b)=-13a+13b+13c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将mn表示为mn=ma+aa1+a1n.11.(2014武汉高二检测)已知a,b,c三点不共线,对平面abc外的任意一点o,若点m满足om=13oa+13ob+13oc.(1)判断ma,mb,mc三个向量是否共面.(2)判断点m是否在平面abc内.【解析】(1)由已知,得oa+ob+oc=3om,所以oa-om=(om-ob)+(om-oc),所以ma=bm+cm=-mb-mc.所以向量ma,mb,mc共面.(2)由(1)知向量ma,mb,mc共面,三个向量的基线又过同一点m,所以四点m,a,b,c共面,所以点m在平面abc内.【变式训练】直线ab,cd为两异面直线,m,n分别为线段ac,bd的中点,求证:向量ab,cd,mn共面.【证明】如图,在封闭图形abnm中,mn=ma+ab+bn,在封闭图形cdnm中,mn=mc+cd+dn,又因为m,n分别为线段ac,bd的中点,所以ma+mc=0,bn+dn=0,+得2mn=ab+cd,即mn=12ab+12cd,所以向量ab,cd,mn共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014泰安高二检测)如图所示,已知a,b,c三点不共线,p为平面abc内一定点,o为平面abc外任一点,则下列能表示向量op的为()a.oa+2ab+2acb.oa-3ab-2acc.oa+3ab-2acd.oa+2ab-3ac【解析】选c.根据a,b,c,p四点共面的充要条件可知ap=xab+yac.由图知x=3,y=-2,所以op=oa+3ab-2ac.2.(2014济南高二检测)下列命题:若a,b,c,d是空间任意四点,则有ab+bc+cd+da=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若a,b共线,则a与b所在直线平行;对空间任意一点p与不共线的三点a,b,c,若op=xoa+yob+zoc(x,y,zr),则p,a,b,c四点共面.其中不正确命题的个数是()a.1b.2c.3d.4【解析】选c.若a,b,c,d是空间任意四点,则有ab+bc+cd+da=0正确;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;对空间任意一点p与不共线的三点a,b,c,若op=xoa+yob+zoc(x,y,zr)且x+y+z=1,则p,a,b,c四点共面.【变式训练】在下列条件中,使m与a,b,c一定共面的是()a.om=3oa-2ob-ocb.om+oa+ob+oc=0c.ma+mb+mc=0d.om=14ob-oa+12oc【解析】选c.因为ma+mb+mc=0,所以ma=-mb-mc,所以m与a,b,c必共面.3.(2013温州高二检测)空间四边形abcd,连接ac,bd,设m,g分别是bc,cd的中点,则mg-ab+ad等于()a.32dbb.3c.3gmd.2mg【解析】选b.mg-ab+ad=mg-(ab-ad)=mg-db=mg+bd=mg+2mg=3mg.4.(2014石家庄高二检测)已知点m在平面abc内,并且对空间任意一点o,有om=xoa+13ob+13oc,则x的值为()a.1b.0c.3d.13【解析】选d.因为om=xoa+13ob+13oc,且m,a,b,c四点共面,所以x+13+13=1,x=13.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj.答案:充要6.有下列命题:若abcd,则a,b,c,d四点共线;若abac,则a,b,c三点共线;若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-25e2,b=-e1+110e2,则ab;若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若abcd,则abcd或a,b,c,d四点共线,故错;abac且ab,ac有公共点a,所以正确;由于a=4e1-25e2=-4b,所以ab,故正确;易知也正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.设a,b,c及a1,b1,c1分别是异面直线l1,l2上的三点,而m,n,p,q分别是线段aa1,ba1,bb1,cc1的中点.求证:m,n,p,q四点共面.【证明】如图,过b1作l3l1取点c2l3且bc=b1c2.因为nm=12ba,np=12a1b1,所以ba=2nm,a1b1=2np.因为a,b,c及a1,b1,c1分别共线,所以bc=ba=2nm,b1c1=a1b1=2np.于是pq=pp1+p1q=b1c2+12c2c1=bc+12(bc1-bc2)=12(bc+b1c1)=12(2nm+2np)=nm+np.因此pq,nm,np共面.故m,n,p,q四点共面.8.已知斜三棱柱abc-abc,设ab=a,ac=b,aa=c.在面对