晶体物理性能 第1章 张量分析基础知识.pdf

晶体物理性能 南京大学物理系 序言序言 由于近代科学技术的发展 单晶体人工培养技术的成熟 单晶体的各方面物理性能 如 力 声 热 电 磁 光 以及它们之间相互作用的物理效应 在各尖端科学技术领域里 都得到了某些应用 特别是石英一类压电晶体作为换能器 稳定频率的晶体谐振器 晶体滤 波器等在电子技术中 比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用 激光问世的四十多 年来 单晶体在激光的调制 调 Q 锁模 倍频 参量转换等光电技术应用中 已成单晶体 应用中极为活跃的领域 晶体物理性能 是我系晶体物理专业的专业课程之一 目的就是希望对晶体特别是光 电技术中使用的晶体 包括基质晶体与非线性光学晶体 的有关物理性能及其应用方面的基 本知识 有一个了解 对今后从事光电晶体的生长 检测和应用的工作 在分析问题 解决 问题方面有所帮助 同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域 有一个 基础 考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点 本课程不仅对晶体物理性能的各个方面 作深入全面的介绍 也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用 鉴于以上考虑 晶体物理性能 讲义将以离子晶体为主要对象 以光电技术上应用为 线索组织内容 共分为八章 着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各 种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用 包括弹性与弹性波 第二章 晶体光学中的各向异性 第五章 压电与铁电现象 第四章 电光效应 第七章 光学 参量过程 第六章 声光效应 第八章 由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称 性有密切关系 通常正确 方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示 因此 在第一章 我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容 由于水平有限 实践经验缺乏 时间仓促 因而内容安排不妥 取舍不当 错误之处一 定很多 希望同学们提出宝贵意见 批评指正 目录目录 第一章张量的基础知识 标量 矢量和二阶张量 坐标变换和变换矩阵 正交变换矩阵的性质 晶体对称操作的变换矩阵 二阶张量的变换与张量的定义 张量的足符互换对称 张量的矩阵表示和矩阵的代数运算 二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴 二阶对称张量主轴的确定 10 晶体张量与晶体对称性的关系 第二章晶体的弹性与弹性波 弹性性质与原子间力 应变 应力 推广的虎克定律 弹性系数 立方晶体的弹性系数 各向同性材料的弹性系数 弹性扰动的传播 弹性波 简谐振动和驻波 弹性常数及振动衰减因子的测量方法 第三章晶体的介电性质 介质中的宏观电场强度与极化强度 晶体中的有效场 高频电场的介电极化 光的色散与吸收 介电常数的测量 离子晶体的静电击穿 激光的电击穿 激光的电击穿损伤 第四章铁电与压电物理 铁电体的一般性质 常用铁电体的实验规律 铁电体的相变热力学 铁电体相变的微观机制 晶体的压电效应 压电方程和机电耦合系数 压电晶体的应用实例 石英 第五章晶体光学 光学各向异性晶体 各向异性介质中光的传播 折射椭球与折射率曲面 晶体表面上的折射 晶体偏光干涉及其应用 第六章倍频与参量频率转换 非线性极化 非线性极化系数 非线性介质中电磁场耦合方程 光倍频 光倍频的相匹配 第 II 类相匹配 角度匹配和温度匹配扫描实验曲线 内腔倍频 光参量放大 10 参量振荡器 11 参量振荡器的调谐方法 12 参量频率上转换 13 非线性材料的性能要求 第七章电光效应及其应用 线性电光效应 两种典型材料的电光效应 电光滞后 电光调制原理 实际调制器的几个问题 晶体电光开关 电光 Q 开关 电光偏转 电光材料 10 晶体均匀性的实验检测 11 晶体的激光损伤 12 晶体均匀性实验检测 第八章声光效应及其应用 弹光效应 声光交互作用产生的衍射现象 声光交互作用的理论 声光效应在一些物理常数测量中的应用 声光调制器 声光偏转器 声光调 Q 声光材料 附录 A 点群投影图 B 各阶张量在不同点群中的矩阵形式 C 主要常数表 D 单轴晶体中光线离散角 的推导 E 双轴晶体中双折射面相差 的推导 F 贝塞尔函数的基本性质 第一章张量分析基础知识第一章张量分析基础知识 以前学的课程中 有关力学 热学 电学 光学等的性质都是以各向同性介质来表述的 或以一维问题来说明问题 这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的 但晶 体物理性能是讲晶体中的力学 电学 光学 声学 磁学 热学等物理性能 而晶体的各向 异性却是一种很普遍的特性 特别是很多现象如热电 压电 电光 声光 非线性光学效应 等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来 因此 晶体结构对称性和这 些性质之间的关系成为问题的主要方面 为描述晶体宏观上表现出来的各向异性 要表达一 个物理学定律的方程式通常要比表达各向同性物质的方程式数目多得多 人们实践中探索出 一套描述各向异性的数学方法 可以使问题简化得多 这种方法就是张量方法 在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的 晶体对称性的操作对应的坐标变换 一 般使用三维正交直角坐标系的变换就够了 本章介绍的将只限于这种坐标系统所定义的张量 称为卡迪生张量 此外 我们对于张量分析不作严格的数学论证 着重介绍张量分析的 一些定义 运算的规则和方法 这对于从事晶体生长与应用的工作者来说是完全足够了 标量 矢量与二阶张量 有些物理量只要一个数字加上一个单位就可以表达清楚了 譬如温度 质量 密度 频 率 等等 只要表示 C g g cm3 Hz 是多少就很清楚了 不管你取什么坐标 都是个 数值 这种量称为标量 有时也称为数量 还有一些量 既有大小 又有方向 例如力 速度 位置 电场强度 等等 大家知 道这些量称为矢量 要表达一个矢量就要麻烦一些 用一个数值是无法表达清楚的 在数学 上要严格地表达这样一个量 首先要确定坐标系统 如果取三维直角坐标系统 事先要表明 坐标原点在哪里 X1 X2 X3三个轴的取向也规定下来 可能会出现两种不同的坐标系统 一种是右手螺旋直角坐标系 另一种是左手螺旋坐标系 见图 X2 X3 X1 X3 a 右手螺旋系b 左手螺旋系 图 两种直角坐标系 它们的区别在于 X1 X2 X3三轴的方向的旋转顺序不同 坐标系选定了一种 选定了右手 系 一个矢量 A 可以表示为 kAjAiAA 321 1 1 其中kji 分别是 X1 X2 X3三轴方向上的单位矢量 A1 A2 A3分别是 A 在三个坐标 X1 X2 轴上的投影 称为矢量的三个分量 在事先规定的坐标系统内 只要给出 A1 A2 A3三个 数值 那么A 的大小和方向就唯一的规定下来了 由此可见 一个矢量和标量不同 必须 要用三个数量才能正确地表达出来 更要提醒注意的是 A1 A2 A3只有在规定的坐标系内 才是正确的 在不同的坐标系内表示同一个A 它们的 A1 A2 A3却是各不相同的 图 表示一个在 X1X2 平面内的矢量A 在不同坐标系统内 A1 A2 A3数值不同的情形 当 在 X1 X2 X3坐标系统中A 可用这样三个数值表示 Acos Asin 0 如果取另一个坐标系 统 X1 X2 X3 它是绕 X3转动 后的新坐标系统 这时同一个矢量A 却要表示为 A 0 0 X1 X2 X2 A X1 图 同一个矢量A 在不同坐标系的三个分量是不同的 总之 对一个矢量的表达有二个特点 要三个数值 三个分量 坐标系变换 三 个数值也要相应地变化 还有一些物理量 譬如晶体中的介电常数 在各向异性晶体中一般要用九个分量才能 表达清楚 这九个分量的数值也随坐标系统不同而有变化 这种量称为二阶张量 现在我们 来具体看看 为什么要九个分量才能完整地表达 在各向同性的电介质中电位移矢量D 与宏 观场强之间有下列物理学关系联系起来 ED 0 1 2 把规定坐标系统矢量方程展开得到三个方程 D1 0 E1 D2 0 E2 D3 0 E3 或写为 Di 0 Ei i 1 2 3 1 3 电位移矢量的某一分量 Di只和电场强度相同的坐标分量 Ei成正比 其中三个方程的比例常 数都为 0 坐标系统尽管可以不同 E D 的分量也随之变化 但三方程的比例常数是不变 的 所以 0和 在各向同性介质中均为标量 只要一个数值就可表达而且与所选坐标系统无 关 从 1 3 式也可看出 D 和 E 方向始终一致 但是 在各向异性晶体中 D 和 E 方向并不一致 实验上发现 D 的某一分量 Di和 E 的 所有三个分量都有关系 可写成如下关系 D1 0 11E1 12E2 13E3 D2 0 21E1 22E2 23E3 D3 0 31E1 32E2 33E3 或可写为 3 1 0 j jiji ED i 1 2 3 1 4 其中 ij分别表示 Di分量与 Ej分量之间的比例关系数 可见 完整地表示晶体的介电常数要用九个分量 ij 这九个分量也随着坐标变换而变化 这 就是二阶张量的特征 从张量分析的角度看 矢量实际上是一阶张量 和矢量对比来理解张 量并没有特别的地方 只是这种物理量是用更多一些分量来表示的量 张量的严格定义将在 中介绍 坐标变换和变换矩阵 无论是矢量 二阶张量或是更高阶的张量 它们的分量都随着坐标变换而变化 正如图 2 中所示同一个矢量 当选取后一坐标系统 X1 X2 X3 时 A 矢量中有二个 分量为零 那么对于张量来说 是否也可以找到一个最合理的坐标系统 使张量分量简化呢 虽然要找一个简化张量表示的坐标不那么一目了然 但也是可以找到的 因此有必要介绍一 下从一个坐标系转换到另一坐标系的数学表示方法以及这种坐标变换引起的矢量分量和二 阶张量分量随之如何变化的规律性 在研究晶体时 所经常使用的坐标变换 有这样二个特 点 一是变换到新坐标轴时 坐标轴代表的尺度不能变化 二是新坐标系各轴之间夹角仍要 保持直角 这种变换是最简单的 数学上称为正交变换 新 老坐标系的坐标轴相对位置一经确定 那么新坐标中 X1 与老坐标中 X1 X2 X3 轴分别的夹角 11 12 13也就确定了 见图 11 12 13 X1 X3 图 新老坐标轴之间的夹角关系 图中只画出了 X1 我们令三个角度的余弦值分别为 a11 cos 11 a12 cos 12 a13 cos 13 此处 X2 以及 X3 分别 X2 X1 与三个老坐标轴的 6 个夹角也是确定的 同样办法可以得到另外 6 个量 a21 a22 a23 a31 a32 a33 它们都是新老轴之间夹角的余弦 即 aij cos Xi Xj 如果新老坐标系之间 给出 了上述九个余弦量 那么两个坐标系统之间的关系也就唯一地确定下来了 为了便于记忆和 运算 我们可以把九个 aij三个为一组分成三组 每组排成一行 写成如下三行 三列的一 个方阵 X1X2X3 老坐标轴 X1 a11a12a13 新坐标轴 X2 a21a22a23 X3 a31a32a33 这个方阵称为变换矩阵 矩阵元素一般是 aij aji的 如果给出这个变换矩阵 那么我们可以 证明 任何矢量和张量的分量 在这个坐标变换下相应的变化便可唯一地确定 设有矢量 P 在老坐标系的三个分量分别为 P1 P2 P3 P 在新坐标系中的三分量为 P1 P2 P3 参看图 X3X1 P1 P2 P P1 P3 图 矢量 P 在新老坐标系中分量的关系 图中新坐标只画出了 X1 轴和分量 P1 显然可看到 P1 应是 P1 P2 P3在 X1 轴上投影之和 即有 P1 a11P1 a12P2 a13P3 1 5 同理有 P2 a21P1 a22P2 a23P3 P3 a31P1 a32P2 a33P3 1 6 或写为 3 2 1 3 1 j jiji iPaP 1 7 如果 反过来老坐标中分量用新坐标表示 显然有 P1 a11P1 a21P2 a31P3 P2 a12P1 a22P2 a32P3 1 8 P3 a13P1 a23P2 a33P3 或写为 X2 X1 3 2 1 3 1 j jjii iPaP 1 9 正交变换矩阵的性质 上节所述的正交变换 因为有二项限制 坐标轴长短单位不能有伸缩 变换前后坐标都 保持为直角坐标系 所以 的矩阵中有几个元素并不是完全独立无关的 现在我们 来证明这种正交变换矩阵的二个重要特性 一 变换矩阵元素的正交性 新坐标轴 OX1 OX2 OX3 在老坐标系中的方向余弦分别是第一行 第二行 第三行的 三个元素 我们知道一个直线在直角坐标系中的三个方向余弦的平方和必定等于 所以有 a112 a122 a132 1 a212 a222 a232 1 1 10 a312 a322 a332 1 上面三式可以写为 3 1 3 2 1 1 k jkik jiaa假使 1 11 我们引入一个新符号 ij具有下列性质 3 2 1 0 1 ji ji ji ij 1 12 ij称克龙尼克 函数 把 ij排列成矩阵则有如下形式 100 010 001 ij 1 13 称为单位矩阵 引入 ij后 1 10 1 12 六个关系式可以合并写成如下形式 3 1k ijkjkia a 1 14 aij 矩阵元素之间的上述关系就称为正交关系 共有六个方程 所以九个分量中其实只有三 个独立元素 二 矩阵行列式 aij 的数值总是等于 数学上可以证明 正交变换的矩阵的行列式的值 在数学课中知道一个三行三列的行列式的值有如下定义 312232211331233321123223332211 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaaaaa aa aa a aa aa a aa aa a aaa aaa aaa aij 1 15 利用 aij的正交条件可以证明 aij 或 我们这里只指出 aij值的重要性 如果值为 表示坐标系的左右手螺旋不变 如果 为 表示这种变换将引起左右手螺旋性的变换 我们仅指这个结论 不拟普遍地加以证 明 晶体对称操作的变换矩阵 晶体对称操作的变换矩阵 晶体具有一定的对称性 如果只考虑宏观物理性质的各方向上具有的对称性 晶体可分 成 32 种不同类型称为 32 种点群 每一点群包含若干种对称元素 宏观对称元素分为旋转 轴 次轴 对称平面 旋转反伸轴如4轴 对称中心 对晶体进行一 定 操作 可以使对称图形完全重合 实际上就是使物理性能恢复到未操作前完全一致 这种 操作 除旋转轴外 不是简单的机械动作能完成的 从数学的语言来说 就是进行一 定的坐标系变换 变换前后一定方向上的物理性能又可完全复原 譬如一个晶体具有 次对 称轴 就是沿某一轴旋转 90 后 晶体在各方向上的物理性能又完全重复 等于进行一次 90 旋转操作 与此同理 所谓反伸操作 等于动作是相对的 那么我们把坐标系向相反方向旋 转 90 在数学上等于进行一次坐标变换 使原来一个矢量 X1 X2 X3 在新坐标中为 X1 X2 X3 现在分别介绍几个主要对称元素所对应的变换矩阵 参看结晶学基础讲义 各点群对称元素的极射赤平图见附录 A 一 旋转轴的变换矩阵 设 X3沿某一晶体对称轴 现在使坐标轴 X1 X2绕 X3转动一角度 新坐标轴 X3 与 X3 一致 X1 与 X1 X2 与 X2各转 角 见图 根据各坐标轴的交角余弦很快可写出九个 分量的矩阵元素 X2 X3x3 转 角 X1x1 X2 图 绕 X3轴转 角度后 新坐标轴的相对位置 X1 与 X1 X2 X3的夹角余弦分别为 cos cos 90 0 X2 与 X1 X2 X3的夹角余弦分别为 cos 90 cos 0 X3 与 X1 X2 X3的夹角余弦分别为 0 0 1 所以它所对应的变换矩阵为 100 0cossin 0sincos 1 16 对称轴 次轴对应的 值 分别为 360 180 120 90 60 代入 1 16 即可 例如 次轴 90 代入 1 16 得绕 X3旋转的 次轴变换矩阵为 100 001 010 1 17 如果把坐标轴 X2或 X1和转轴一致 可以得到另一些变换矩阵 同学可自行练习写出 二 对称平面的变换矩阵 一个对称平面对应的操作为对一平面作镜面 像 任一位置矢量 P 经反映操作后和 P 完 全重合 从数学上说 任何位置矢量在平面上的分量不变 而垂直于平面的分量则改变正负 号 如果把坐标系的 X2X3 平面取得和对称平面重合 X1和对称面法线方向一致 那么相应 的坐标变换是 新坐标 X2 X3 相对于 X2 X3不动 而 X1 则变为 X1的相反方向 参看图 因此立刻可写出对应的变换矩阵为 100 010 001 1 18 对称面 nx1 X3x3 x1 图 对称平面为 X2X3 平面时 经反映变换后新 老坐标轴的相对位置 n 为对 称面法线 当然同理我们还可以写出 X2或 X3与对称平面法线重合时的反映操作的变换矩阵 三 对称中心变换矩阵 对称中心对应的操作为反伸 经过反伸操作 就像照相机显像 使任何位置矢量 P 可以和 大小一样方向相反的矢量 P1重合 从坐标变换的角度来看相当于使新坐标轴 X1 X2 X3 相 对于 X1 X2 X3方向相反的变换 坐标的原点取在对称中心上 用上述方法可得变换矩阵为 100 010 001 1 19 四 旋转反伸轴4的变换矩阵 旋转反伸相应的操作是先绕某轴旋转 90 轴 然后再对轴上一点作反伸 假如 次旋转轴沿 着 X3 轴上的反伸参考点取为坐标原点 相应坐标变换是这样的 第一步 X1 X2绕 X3转 90 达到 X1 X2 位置 X3 和 X3仍一致 第二步 对原点作反伸 使 X1 X2 X3 全部反向 变为 X1 X2 X3 它的变换矩阵 由 X1 X2 X3 对原来坐标轴 X1 X3的夹角余弦决定 立即可写出是 见图 100 001 010 1 20 X2x2 x3 x3 转 90 度 x2 x3 a b 图 轴沿 X3轴坐标转换 a 先绕 X1转 4 新坐标轴 X1 X2 X3 如图示 b 再将 X1 X2 X3 对坐标原点反伸 达到最后的新坐标轴位置 X1 X2 X3 我们在 中将利用晶体对称性的上述变换得出各张量元素分量之间关系以及最简 单的坐标系统 二阶张量的变换与张量的定义 在各向异性介质中的某一些物理参量 常具有张量的性质 它总是与某个物理学定理联 系在一起的 因此 我们还是以介电张量 ij为例说明二阶张量随坐标变换时的规律 设在 X1 X2 X3 坐标系中介电极化的关系为 3 1 0 3 2 1 j jiji iED 1 21 如果变换到 X1 X2 X3 坐标 其变换矩阵为 aij 那么D E 和 ij均要变化 则应有 3 1 0 j jiji ED 1 22 根据矢量变化公式 1 7 则有 3 1 k kiki DaD 1 23 D 和 E 之间有物理学定律 1 22 联系故有 3 1 3 1 0 kl lkliki EaD 1 24 我们再根据 1 9 使 E 用 E 表示则有 3 1 j jjll EaE 1 25 代入上式略加整理后得到 x2x1 x1 x2 x3 x1x2 x1 3 1 3 1 3 1 0j jkl jlkliki EaaD 1 26 同 1 22 比较可得到在不同坐标系中 i j 和 kl的如下关系 3 1 3 1 kl kljlikij aa 1 27 同理可证明相反的变换是 3 1 3 1 kl klljkiij aa 1 28 现在我们可从数学上给迪卡生张量下一个比较确切的定义 张量是与坐标有联系的一组 量 它们随坐标变换而按一定规律变化 如和坐标无关的称为零阶张量 即标量 如出现 一次变换矩阵元和一个加和号的为一阶张量 如出现二个变换矩阵元和二个加和符号的为 二阶张量 出现 张量是与坐标有联系的一组 量 它们随坐标变换而按一定规律变化 如和坐标无关的称为零阶张量 即标量 如出现 一次变换矩阵元和一个加和号的为一阶张量 如出现二个变换矩阵元和二个加和符号的为 二阶张量 出现 n 个矩阵元和个矩阵元和 n 个加和号的称为个加和号的称为 n 阶张量 阶张量 现将 0 4 阶张量的变换公式列 于表 A 1 名 称 张 量 个 数 分量 个数 变换公式 新坐标中分量用老坐标分量表示老坐标分量用新坐标分量表示 标 量 1 30 矢 量 3 31 3 1 j jiji PaP 3 1 j jjii PaP 二 阶 张 量 9 32 kl kljlikij aa kl klljkiij aa 三 阶 张 量 27 33 lmn knjmijijk lmnaaa lmn nkmjliijk lmnaaa 四 阶 张 量 81 34 qrst qrstltksjriqijkl aaaa qrst qrsttlskrjqiijkl aaaa 根据上述张量的确切定义 鉴别在物理学公式中出现的某一个量究竟是否是张量 其唯 一的根据是某一个具有若干分量的一组量 是否遵从表 A 1 中某一级张量变换公式 因此很 容易得出如下两个结论 任何二个张量的各分量 彼此相乘所得的若干量组成另一个张量 新张量的阶数 将是原来二个张量阶数之总和 现以二个一阶张量 矢量 为例 来说明这个推论 二个矢 量分量彼此相乘必得如下九个分量 332313322212312111321321 qPqPqPqPqPqPqPqPqPqqqPPP 1 29 这九个分量 Piqi i j 1 3 利用 1 6 式极易证明为二阶张量 3 11 3 1 3 1 kl lkjlik l ljl k kikji qPaaqaPaqP 1 30 1 30 和表 A 1 中所列二阶张量变换公式完全一致 所以它们是一个二阶张量 其它阶数张 量相乘可以用同样办法加以证明 因此三阶 四阶张量的变换规律分别和三个矢量及四个矢 量乘积的变换规律一样 物理学公式中 某二个张量之间存在线性关系 有若干比例常数 那么这一组比 例常数必然也是一个张量 它的阶数也就是公式两边张量阶数之和 中已经证明了 两个矢量 D 和 E 之间的比例常数 ij 组成一个二阶张量 如果推广到其它阶数张量之间的 比例常数 完全可以用同样办法加以证明 例如第二章的同为二阶张量的应力张量 ij与应 变张量 ij之间的比例常数是具有 81 个分量组成的弹性模量 Cijkl 它确实是一个 阶张量 又如压电效应中 电场强度矢量与应力张量 二阶 之间的比例常数 dijk 有 27 个分量亦可 证明它是遵从三阶张量的变换公式 因此在物理公式中出现的一些新的量只要确证其它量是 张量 那么这个新的量是哪一级张量是不难确定的 这里还要再次着重指出 只有张量的数学定义才是判断的唯一依据 譬如介电常数 ij 共有九个分量组成一个二阶张量 这是上述几节一再证明了的 但如果有这样九个量 nij2 ij 而且这九个量 nij 折射率 确实也随坐标变换而变化 那么它是不是组成一个张量呢 我 们可以从张量定义出发来考察一下 因为它随坐标变换的公式是 ek kljlikijij aan 1 31 显然不符合表中二阶张量的变换公式 它既不是二阶张量 也不是任何其它阶的张量 只有 nij 2 ij才是二阶张量 因此晶体中其它很多性能如解理强度 表面能 屈服强度 电击穿 强度 晶体生长速率 声速 等等虽表现为各向异性 但和折射率本身一样并不具有所要 求的张量变换形式 不是张量 它可能与晶体内某些张量性质的物理量有复杂的关系 张量的足符互换对称 一 对称与反对称二阶张量 一个二阶张量 ij如果将足符 i j 次序互换后 两个分量存在 ij ij的关系 称为对称二阶 张量 如果有 ij ij则称为反对称二阶张量 反对称二阶张量的同足符分量 ij次序互换后应 有 ij ij 因此 ii 0 i 1 2 3 所以把对称与反对称二个张量写成矩阵的形式分别为如下形 状 对称 332313 232212 131211 反对称 0 0 0 2313 2312 1312 一个与晶体物理性能相联系的某些量究竟属于对称张量还是非对称张量或反对称张量 纯粹从数学的角度是无法判断的 这是出于物理上的原因 取决于相应的物理过程的能量关 系 我们以介电极化过程为例说明介电张量是一个对称二阶张量 根据电磁学知道电介质中电场的单位体积的总能量为 EDW 2 1 1 32 1 32 微分得 2 1 dDEdEDdW 1 33 方程右边第一项是由于宏观电场强度改变 dE 而引起介质极化偶极矩在电场中的势能变 化部分 这不涉及到极化变化而引起的总能量改变 第二项才是直接晶体极化改变了 dD 引 起的晶体内能电能的增加 后一项 才是真正与极化过程相联系的总能量变化 所以晶体极 化过程中总能的改变可写为 2 1 2 1 332211 dDEdDEdDE DdEdW 1 34 将关系式 3 2 1 3 1 0 iED j jiji 代入上式可得到 333323321331 322322221221 311321121111 0 2 dEEdEEdEE dEEdEEdEE dEEdEEdEEdW 1 35 上式对 E1及 E2的偏导数分别为 331221111 1 EEE E W 1 36 332222112 2 EEE E W 1 37 我们知道总电能 W 是宏观电场独立变量 E1 E2 E3的连续函数 根据高等数学多元函 数的性质知道两次偏导数的次序可以颠倒 2112 E W EE W E 1 38 考虑 1 36 1 37 代入上式得到 21 12 1 39 同理可以证明 31 13以及 23 32 所以介电张量是一个对称二阶张量 在晶体物理中重要的二阶张量属于可逆过程的都有相应能量关系 因而都是对称张量 此外 一些不可逆过程有关的如电导 热导系数等二阶张量也是可以从另一角度证明绝大多数也属 于对称张量 不可逆过程有关的二阶张量 也可以从另外的角度来证明大多数这样的物理量 也是对称张量 但是其证明涉及到不可逆过程的热力学关系 已超出本课程范围 应力与 应变张量虽然不存在能量关系 但从第二章中已证明也是对称二阶张量 一个对称二阶张量的独立的分量只有以下六个 11 22 33 23 32 13 31 12 21 下面我们在许多场合下 可以将对称双重足符简化为一个足符来表示 简化足符的数值 可取 其对应关系定义如下 双足符 ij11 22 33 23 13 12 简化足符 i1 2 3 4 5 1 40 为便于记忆 简化足符的顺序在二阶张量的矩阵形式中按如下顺序对应起来 二 三阶张量的足符对称问题 三阶张量有三个角标如dijk 足符i j k间是否有互换对称 也必须从物理过程中去考察 一般说正如 指出的三阶张量都有相应物理过程的公式和一个一阶张量 一个二阶张 量相联系 如压电效应中有 3 1kj jkijki dP i 1 2 3 1 41 或者如反压电效应 或称电致伸缩效应 中有 压电效应与反压电效应参看 3 1k kkijij Ed i j 1 2 3 1 42 1 41 1 42 中的二阶张量是对称张量 那么可以证明 与二阶对称张量相对应的二个足符 存在互换对称 所以一个三阶张量 由于其中二个足符是对称的 存在 dijk dikj kj 对称 的关 系 所以 27 个分量实际上只有 18 个独立分量 四 四阶张量的足符对称问题 四阶张量有四个足符如弹性模量 Cijkl 由于上述同样道理 物理学公式中它所联系的二个二 阶张量都是对称张量 弹性模量参看 及 那么四个足符将分为二组 i j 及 k l 分别是对称的 而且可以分别应用简化足符而使之简化为二个足符表示 但足符数字都改 取 一般说四阶张量中的 81 个分量可减少为 36 个分量 但是 利用弹性形变的总能量的关系还可证明 Cij两个简化足符之间也有互易对称关系 如 C1122 C2211 C1123 C2311 由于这两种对称性关系的存在 弹性模量的独立分量将进一步减少到 21 个 不过 这种简化足符间的互换对称 不是所有四阶张量普遍存在的关系 如果相应的物 理过程中 不存在某种总能量变化的对称关系 那么 简化足符是没有这种对称的 如第八 章的压光系数 光弹系数等四阶张量就没有这种互换对称存在 所以它一般仍保持 36 个分 量 以上利用足符的互换对称而使用简化足符 仅仅是为了在计算某些物理学公式时使得变 数尽可能减少 但必须十分注意的是 使用简化足符 并不是张量阶数降低了 所以在坐标 变换时要决定张量各分量的变化时 绝对不能应用简化足符 张量的矩阵表示和矩阵的代数运算 张量的矩阵表示和矩阵的代数运算 为了书写与运算的方便 常常把物理学公式中的矢量与张量写成矩阵的形式 譬如方程 1 4 3 1 0 j jiji ED 可写成下列形式 3 2 1 333231 232221 131211 0 3 2 1 E E E D D D 1 43 要用 1 43 来代替 1 4 实际上必须事先约定一些规则为前提 约定任何一个矢量A 即一阶张量 的三个分量都可以写成 3 2 1 A A A 称为三行一 列矩阵 约定一个二阶张量 可以写成 333231 232221 131211 称为三行三列矩阵 分量 ij 写在矩阵的第 i 行和第 j 列位置上 方程 1 43 等式右边两个矩阵连写在一起 表示两矩阵的乘积 所以还要事先约 定一个矩阵的乘法规则 某一个矢量 Pi 张量 Tij 或者坐标变换的相应矩阵 aij 我们都用 P I A 等符号下加一横来 代表 通常书籍中用黑体字表示 现在我们来规定矩阵的乘法规则 设有一个 m 行 n 列矩阵A和一个 n 行 P 列矩阵B 相乘后得出另一 m 行 P 列的矩阵 BA 乘积是这样规定的 kiki n j jkijik2211 1 1 44 k 是 A 中的第 i 行各元素分别乘上 B 矩阵的第 k 列的各元素的总和为乘积 矩阵中的第 ij元 素 为明白起见 举一个数学例子 375 259 195 82 13 20 412 311 230 1 45 乘积矩阵中第一行第一列元素等于第一个矩阵的第一行元素分别乘上第二矩阵的第一 列元素之和 即 0 0 3 3 2 2 5 其它乘积矩阵元素的值 可按此规则乘得 1 45 的结果 在矩阵乘法中必须注意二点 两矩阵相乘前面矩阵的列数必须和后面矩阵的行数相 等 否则两矩阵不能相乘 两矩阵相乘的次序颠倒是不相等的 即 AB BA 例如 1 4 23 23 1 4 有了事先约定的上述各规则 那么物理学公式 1 43 与 1 4 表示完全同等 有了矩阵运算的上述规则 同样可以应用到矢量和二阶张量的变换公式 用矩阵形式可 表示出来 同学可以自行证明 矢量 P 的变换公式可写为 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 P P P aaa aaa aaa P P P 1 46 或 PAP 1 47 式中 A 为坐标变换矩阵 二阶张量的变换公式可写为 332313 322212 312111 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa 或AA ijij 1 48 式中 A 是坐标变换矩阵 A 是 A 的转置矩阵 即将 A 中的行换为列 列换为行的矩阵 物理学公式和张量的坐标变化的运算利用矩阵符号将简洁得多 在各项具体展开时 不 易搞错 有很大的方便 譬如一个矢量 P 经连续坐标变换二次 最后的变换公式用矩阵符号运算就简单得多 设第一次变换为 A 第二次变换为 B 则有 PAP 及 PBP 前式代入后式得到最后变换公式为 PCPABP 1 49 式中ABC 最后变换必定相当于进行变换 C 正好是 BA 的乘积 行数列数 m n 相同的矩阵可以相加 有 BAC 1 50 其中矩阵元素有下列关系 Cij aij bij 1 51 其它更高阶的张量 如第四章遇到的压电系数 dijk 第七章中遇到的电光系数 ijk 第六 章中的非线性系数 dijk为三阶张量以及第二章遇到的弹性模量 Cijkl 声光系数 Pijkl为四阶张 量 不能直接写成矩阵形式 但是我们可以利用它们两个足符的互换对称性 即 ij 可互换 或 kl 可互换 将其指标简化后 物理学公式在形式上也可以写成矩阵形式 这将在有关各 章中分别加以介绍 二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴 晶体物理中遇到的二阶对称张量比较多 我们应该比较熟悉它随坐标系变换的性质 同时二阶张量的变换公式中只出现二个变换矩阵元素的加和符号 比较简单 有可能在空间 中用一个几何曲面来形象地表示它和坐标系之间的关系 一个矢量可用某方向上一定长度的 直线来形象地表示它在该坐标系中的三个分量 三个分量相应于在三个坐标轴上的投影 坐 标系变换时 可形象地看到三个投影的大小也在相应改变 下面介绍二阶张量对应的几何表 示 我们现在按下式定义一个空间二次曲面 3 1 1 ji jiij XXS 1 52 展开出来就是 1 2 33323321331 3223 2 2221221 31132112 2 111 XSXXSXXS XXSXSXXS XXSXXSXS 1 53 如果有 Sij Sji 1 53 变为 1222 211231133223 2 333 2 222 2 111 XXSXXSXXSXSXSXS 1 54 从空间解析几何的知识 我们知道 1 54 是一个以坐标系原点为中心的二次曲面方程 或者 是一个椭球 或者是一个双曲面 坐标系变换时 曲面方程的各项系数也相应变化 现在假 定坐标系从 OX1 OX2 OX3变为 OX1 OX2 OX3 则有 k lljjkkii XaXXaX 1 55 代入 1 54 有 1 3 1 3 1 ijk lkljkiij XXaaS 1 56 经整理新坐标系中 曲面方程中 Xk Xl 项的新系数为 3 1 kl ijljkik SaaS 1 57 1 57 写为 1 lkkl XXS 1 58 我们可以明显地注意到 一个二次曲面的各系数的变换公式 1 57 和二阶的变换公式完全一 样 因为二次曲面的系数对 i j 是对称的 Sij Sji 所以说二次曲面的系数就具有二阶对称的 特征 因而任何一个二阶对称张量 ij 在几何上都可以用下述曲面来形象地表示 1 3 1 ji jiij XX 1 59 对称二阶张量的六个分量相应于这个曲面方程的六个系数 这个曲面称为该张量的表象曲 面 正如一个矢量可用在某方向上一定长度线段来表示 它的三分量是三个坐标上的投影 而一个对称二阶张量有六个分量 则要用一个空间曲面表形象地表示 它的分量为曲面方程 的六个系数 这样的表示在直观上有很大好处 因为大家对二次曲面在各坐标系统中的方程 变化比较熟悉 下面将看到 利用表象曲面可以很快地看出它代表的张量所决定的物理性能 在各方向上所具有的对称性 我们在空间解析几何中已经知道 一个二次曲面 有一个重要特性 总可以找到三个正 交的坐标系统中曲面方程中交叉项系数都等于零 曲面方程有如下简单的形式 1 2 333 2 222 2 111 XXX 1 60 由此可见 一个二阶对称张量 一般情况下有六个分量 但是实际上 只要找到适当的 坐标系统 仅需要三个分量就可以完全确定 使所有 i j 的 ij 0 的三个坐标轴称为张量主轴 这时三个不等于零的分量 11 22 33称为二阶张量主值 如果三个主值都是正值 那么它的 表象曲面就是大家熟悉的椭球方程 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 c X b X a X 1 61 其中 332211 1 1 1 cba 见图 a 如果三个主值中二个为正 一个为负 是一个单叶双曲面 见图 b 主值中二 个为负 一个为正 是一个双叶双曲面 见图 c 2 x 3 x 1 x a b c 图 二阶对称张量三种可能的表象曲面 a 椭球 b 单叶双曲面 c 双叶双曲面 根据以上分析 当二阶对称张量在取主轴为坐标轴时 不为零的分量只有三个 具有最 简单的形式 这时的物理学公式也具有最简单的形式 例如电位移与电场强度间关系为 3 1 0 j jiji ED i 1 2 3 1 62 如果取 ij的主轴为坐标轴 有 D1 0 11E1 D2 0 22E2 1 63 D3 0 33E3 D 在 X1方向的分量 D1只与 E1有关 D2只与 E2有关 D3只与 E3有关 当 11 22 33时 D 和 E 一般说方向并不一致 这是各向异性晶体必须存在的现象 但是张量的主轴却是一个 特殊的方向 当 E 恰好平行于某一主轴方向 譬如沿着 OX1轴 即 E E1 0 0 那么根据 1 63 式可得到 D 0 11E1 0 0 D 也在 OX1方向上 所以 E 沿主轴这一特殊方向时 D 和 E 是 相互平行的 可以用一个二次曲面表示一个二阶张量 并且在主轴坐标系下 只有矩阵对角线上三个 分量不为零 分别称为该张量的主值 这是一 二阶对称张量的普遍特性 所以像应力张量 应变张量 当找到主轴坐标系时 只有对角线上分量不为零 也就是说 在这个坐标系下 只存在正应力分量或者正应变分量 这在分析弹性应力对偏振光干涉强度的影响 如利用光 测弹性方法分析晶体缺陷中位错应力场引起的干涉强度轮廓分布时是很重要的 根据第八章 分析 晶体折射率的变化主要由于正应力 压缩或膨胀 引起的 换名话说只与应力的主值 有关系 分析偏光干涉强度轮廓时如果取主轴为坐标系时将会带来极大的方便 二阶对称张量主轴的确定 二阶对称张量主轴的确定 一个对称二阶张量必定存在三个主轴 在主轴坐标下张量分量中 i j 的各项均为零而得 到简化 那么现在反过来问 给出了任意坐标下的张量各分量 Xij 如何找出它的主轴在什 么方向上呢 这是一个很重要的问题 我们还记得在 中提到一个二阶对称张量 ij是 把 D 与 E 之间联系起来的 如果 E 在主轴方向上 那么 D 必然与 E 平行 如果这里有一矢 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 量 X1 X2 X3 它正好在某一对称二阶张量 Sij的主轴方向上 那么矢量 Xi 3 1j jijX S i 1 2 3 必须也在矢量 X1 X2 X3 方向上 我们可利用主轴方向上的这一特殊性把主轴找出来 如 果 X1 X2 X3 矢量确实沿着主轴的话 必然有下列关系 3 1j jjij XXS i 1 2 3 1 64 是某一常数 因为方程两边相应的矢量平行 所以只能相差一个常数倍 1 64 是一个三 元联立代数方程 可以具体地写为 0 0 0 333232131 323222121 313212111 XSXSXS XSXSXS XSXSXS 1 65 要方程组有 Xi非零的解 必须使系数行列式为零 0 333231 232221 131211 SSS SSS SSS E 1 66 1 66 是 的三次方程 可以解出三个根 在数学上可以证明这三个根对应于张量 Sij的三个主值 即取主值 代入 1 65 可求得一套 X1 X2 X3 同样以 和 分别代入 1 65 求得另二套 X1 X2 X3 和 X1 X2 X3 这三个矢量的方向就是三个主轴的方 向 进一步找出三个主轴相对于原来坐标系的方向 余弦 即可求得从原来坐标 系转换到主轴坐标系的变换矩阵 A 如果进行这样的坐标变换就可得到 Sij在主轴坐标系中的简单形式 00 0 0 00 以上只是介绍了寻找主值和主轴的思路 具体计算有时是很繁琐的 现举一个简单的例子 设有二阶对称张量 400 0 2 3 2 1 0 2 1 2 3 试求其主轴及主值 按 1 66 式列出方程 3 2 1 3 2 1 400 0 2 3 2 1 0 2 1 2 3 X X X X X X 1 67 具体写出联立方程为 33 222 121 400 0 2 3 2 1 0 2 1 2 3 XX XXX XXX 1 68 令系数行列式为零 0 400 0 2 3 2 1 0 2 1 2 3 1 69 乘出行列式值得到 0 4 4 1 4 2 3 2 3 整理后得 2 3 2 4 0 求出 的三个根为 1 2 4 1 70 将 代入 1 69 得 0 3 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 3 21 21 X XX XX 1 71 解得 X3 0 X1 X2 1 2 2 2 1 2XXXX 再将 代入 1 69 得 0 3 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 3 21 2 X XX XX 1 72 得 X3 0 X1 X2 2 1 XX 再将 代入 1 69 得 0 2 5 2 1 0 2 1 2 5 1 21 XX XX 1 73 得 X1 X2 0 X3 X X 三个主轴的方向余弦各为 1 0 0 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 21 X X X X 1 72 如果要将坐标系变换到主轴坐标系则要进行下列变换 100 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 73 这个变换相当于绕坐标轴 X3转动 45 角 见 这主轴坐标中张量分量按 1 48 式为 ASAS 如果按 中所述的矩阵乘法来计算很方便地可得到 主轴坐标系 400 020 001 S S 的三个主值确为 的数值 10 晶体张量与晶体对称性的关系晶体张量与晶体对称性的关系 晶体宏观物理性能必然反映晶体内部结构的对称性 因而某种物理性能的各阶张量的分 量也必然受到晶体宏观对称性的制约 换句话说 晶体各张量分量由于应该反映这种对称性 因而有些分量必须为零 有些分量之间应存在一些关系 完全独立的分量将进一步减少 最 为明显的例子是有压电效应的晶体的点群类型均是没有对称中心的 下面我们将证明有对称 中心时 压电系数的所有分量均为零 而有热释电效应的晶体 由于对称性的制约 只能是 20 种压电类晶体中 10 种类型 本节主要讨论宏观物理性能和晶体微观对称性之间的关系 这对于晶体物理效应的应用来说 熟悉这种关系是重要的 一 物质与场张量 上面我们讨论张量的一些普遍性质时没有去严格区分我们可能遇到的两种不同的张量 一种张量是直接与晶体本身属性相联系的物理参量 另一类是外界施加于晶体的物理量 举 例来说 晶体受到外应力作用时 晶体中将存在应力场 这个应力场是用二阶应力张量来描 述的 虽然它是一个张量 但不是晶体本身属性决定的 而是由外界施加应力的方式决定 显然不受晶体本身对称性所制约 即使是各向同性的物体 只要外界应力各方向不一样 内 部应力决不会是各向同性的 因而应力张量和直接属于晶体自身物理属性的参量如介电张 量 热膨胀 热传导系数等二阶张量不同 前者是外界施加于物体的 不受晶体对称性制约 我们称之为 场张量 后者是晶体自身属性的参量 受晶体对称性制约 称为 物质张量 一阶张量中外加电场也属于场张量 热释电系数则属于一阶的物质张量 因此 下面我们的 分析对称性对张量的影响 都是分析 物质张量 不过在具体问题中 只要注意到这一点 那么两种张量是不易混淆的 今后我们仍不加区分 统称为张量 二 诺埃曼原理 我们说晶体宏观物理性能应该受到晶体对称性的制约 这并不意味着要求在各方向上物 理性能具有的对称性一定和晶体所属的点群类型的对称性完全一致 而是要求物理性能的 对称性应包含晶体所具有的点群对称性 或者说至少不能低于点群对称性 这个原理一般称 为诺埃曼 Neuma