高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.3 解三角形课件.ppt

第五章平面向量与解三角形 5 3解三角形 高考数学 浙江专用 考点一正弦 余弦定理1 2017课标全国 文 11 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sinb sina sinc cosc 0 a 2 c 则c a b c d 五年高考 答案b本题考查正弦定理和两角和的正弦公式 在 abc中 sinb sin a c 则sinb sina sinc cosc sin a c sina sinc cosc 0 即sinacosc cosasinc sinasinc sinacosc 0 cosasinc sinasinc 0 sinc 0 cosa sina 0 即tana 1 即a 由 得 sinc 又0 c c 故选b 方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理 余弦定理 其次还要注意应用三角形内角和定理 以达到求解三角函数值时消元的目的 例如本题中sinb sin a c 的应用 2 2017山东理 9 5分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 abc为锐角三角形 且满足sinb 1 2cosc 2sinacosc cosasinc 则下列等式成立的是 a a 2bb b 2ac a 2bd b 2a 方法总结解三角形时 可以由正弦定理 余弦定理将边角互化 边角统一后 化简整理即可求解 注意灵活运用三角公式 3 2016天津 3 5分 在 abc中 若ab bc 3 c 120 则ac a 1b 2c 3d 4 答案a在 abc中 设a b c所对的边分别为a b c 则由c2 a2 b2 2abcosc 得13 9 b2 2 3b 即b2 3b 4 0 解得b 1 负值舍去 即ac 1 故选a 评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想 属容易题 4 2013湖南 3 5分 在锐角 abc中 角a b所对的边长分别为a b 若2asinb b 则角a等于 a b c d 答案d由正弦定理可知 2sina sinb sinb 因为b为三角形的内角 所以sinb 0 故sina 又因为 abc为锐角三角形 所以a 故a 选d 评析本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值 考查学生的运算求解能力 本题学生容易记错特殊角的三角函数值而选错 5 2017课标全国 文 16 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若2bcosb acosc ccosa 则b 答案60 解析解法一 由正弦定理得2sinbcosb sinacosc sinc cosa 即sin2b sin a c 即sin2b sin 180 b 可得b 60 解法二 由余弦定理得2b a c 即b b 所以a2 c2 b2 ac 所以cosb 又0 b 180 所以b 60 思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解 6 2016课标全国 13 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若cosa cosc a 1 则b 答案 解析由已知可得sina sinc 则sinb sin a c 再由正弦定理可得 b 解后反思在解三角形的问题中 给出边长及角的正弦或余弦值时 往往要用到两角和或差的正 余弦公式及正 余弦定理 7 2013浙江 16 4分 在 abc中 c 90 m是bc的中点 若sin bam 则sin bac 答案 解析令 bam bac 故 cm am sin m为bc的中点 bm am sin 在 amb中 由正弦定理知 即 sin cos cos sin cos cos2 整理得1 2sin cos cos2 解得tan 故sin 评析本题考查解三角形 正弦定理应用和三角函数求值问题 考查学生的图形观察能力和数据处理能力 如何利用m是bc中点是解答本题的关键 8 2015天津 13 5分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知 abc的面积为3 b c 2 cosa 则a的值为 答案8 解析因为cosa 0 a 所以sina 由3 bcsina得bc 24 又因为b c 2 所以b 6 c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 36 16 12 64 故a 8 9 2015重庆 13 5分 在 abc中 b 120 ab a的角平分线ad 则ac 答案 解析依题意知 bda c bac 由正弦定理得 sin c bac 180 b 60 c bac 45 bac 30 c 30 从而ac 2 abcos30 10 2015福建 12 4分 若锐角 abc的面积为10 且ab 5 ac 8 则bc等于 答案7 解析设内角a b c所对的边分别为a b c 由已知及bcsina 10得sina 因为a为锐角 所以a 60 cosa 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 64 25 2 40 49 故a 7 即bc 7 评析本题考查了三角形的面积公式和解三角形 利用三角形的面积求出cosa是求解关键 11 2015广东 11 5分 设 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若a sinb c 则b 答案1 解析在 abc中 由sinb 可得b 或b 结合c 可知b 从而a 利用正弦定理 可得b 1 12 2014天津 12 5分 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知b c a 2sinb 3sinc 则cosa的值为 答案 解析由2sinb 3sinc得2b 3c 即b c 代入b c a 整理得a 2c 故cosa 13 2014江苏 14 5分 若 abc的内角满足sina sinb 2sinc 则cosc的最小值是 答案 解析 sina sinb 2sinc 由正弦定理得a b 2c cosc 当且仅当a b时等号成立 故cosc的最小值为 评析考查正弦 余弦定理及基本不等式等知识的灵活运用 对运算及恒等变形能力有较高的要求 14 2014课标 16 5分 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 则 abc面积的最大值为 答案 解析因为a 2 所以 2 b sina sinb c b sinc可化为 a b sina sinb c b sinc 由正弦定理可得 a b a b c b c 即b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosa 又0 a 故a 又cosa 所以bc 4 当且仅当b c时取等号 由三角形面积公式知s abc bcsina bc bc 故 abc面积的最大值为 评析本题考查正弦定理 余弦定理 三角形面积公式以及基本不等式的应用 考查考生对知识的综合应用能力以及运算求解能力 能把2代换成a是正确解决本题的关键 15 2017山东文 17 12分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知b 3 6 s abc 3 求a和a 解析本题考查向量数量积的运算及解三角形 因为 6 所以bccosa 6 又s abc 3 所以bcsina 6 因此tana 1 又0 a 所以a 又b 3 所以c 2 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 得a2 9 8 2 3 2 29 所以a 16 2016江苏 15 14分 在 abc中 ac 6 cosb c 1 求ab的长 2 求cos的值 解析 1 因为cosb 0 b 所以sinb 由正弦定理知 所以ab 5 2 在 abc中 a b c 所以a b c 于是cosa cos b c cos cosbcos sinb sin 又cosb sinb 故cosa 因为0 a 所以sina 因此 cos cosacos sinasin 评析本题主要考查正弦定理 同角三角函数关系与两角和 差 的三角函数 考查运算求解能力 17 2016四川 17 12分 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 且 1 证明 sinasinb sinc 2 若b2 c2 a2 bc 求tanb 解析 1 证明 根据正弦定理 可设 k k 0 则a ksina b ksinb c ksinc 代入 中 有 变形可得sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 2 由已知 b2 c2 a2 bc 根据余弦定理 有cosa 所以sina 由 1 可知sinasinb sinacosb cosasinb 所以sinb cosb sinb 故tanb 4 评析本题考查的知识点主要是正 余弦定理以及两角和的正弦公式 18 2015课标 17 12分 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 1 求 2 若ad 1 dc 求bd和ac的长 解析 1 s abd ab adsin bad s adc ac adsin cad 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 由正弦定理可得 2 因为s abd s adc bd dc 所以bd 在 abd和 adc中 由余弦定理知ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 由 1 知ab 2ac 所以ac 1 19 2013陕西 7 5分 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 不确定 以下为教师用书专用 答案b由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 得sin b c sin2a sina 1 即a 故选b 20 2013辽宁 6 5分 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 若asinbcosc csinbcosa b 且a b 则 b a b c d 答案a由正弦定理得sinb sinacosc sinccosa sinb 即sinbsin a c sinb 因为sinb 0 所以sinb 所以 b 或 又因为a b 故 b 选a 21 2013天津 6 5分 在 abc中 abc ab bc 3 则sin bac a b c d 答案c在 abc中 由余弦定理得ac2 ba2 bc2 2ba bc cosb 2 32 2 3 5 解得ac 再由正弦定理得sina 故选c 22 2014广东 12 5分 在 abc中 角a b c所对应的边分别为a b c 已知bcosc ccosb 2b 则 答案2 解析利用余弦定理 将bcosc ccosb 2b转化为b c 2b 化简得 2 23 2014福建 12 4分 在 abc中 a 60 ac 4 bc 2 则 abc的面积等于 答案2 解析由 得sinb sina 1 b 90 故c 30 s abc ac bcsinc 4 2 2 24 2013安徽 12 5分 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则角c 答案 解析由3sina 5sinb及正弦定理得3a 5b 故a b 则c b b b 所以cosc 即c 25 2013山东 17 12分 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 且a c 6 b 2 cosb 1 求a c的值 2 求sin a b 的值 解析 1 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb得b2 a c 2 2ac 1 cosb 又b 2 a c 6 cosb 所以ac 9 解得a 3 c 3 2 在 abc中 sinb 由正弦定理得sina 因为a c 所以a为锐角 所以cosa 因此sin a b sinacosb cosasinb 评析本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能 考查学生的运算求解能力 26 2014湖南 18 12分 如图 在平面四边形abcd中 ad 1 cd 2 ac 1 求cos cad的值 2 若cos bad sin cba 求bc的长 27 2013北京 15 13分 在 abc中 a 3 b 2 b 2 a 1 求cosa的值 2 求c的值 解析 1 因为a 3 b 2 b 2 a 所以在 abc中 由正弦定理得 所以 故cosa 2 由 1 知cosa 所以sina 又因为 b 2 a 所以cosb 2cos2a 1 所以sinb 在 abc中 sinc sin a b sinacosb cosasinb 所以c 5 评析本题考查正弦定理及三角恒等变换 主要考查学生运算技巧和运算求解能力 二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键 考点二解三角形及其综合应用1 2014课标 4 5分 钝角三角形abc的面积是 ab 1 bc 则ac a 5b c 2d 1 答案bs abc ab bcsinb 1 sinb sinb 若b 45 则由余弦定理得ac 1 则 abc为直角三角形 不符合题意 因此b 135 由余弦定理得ac2 ab2 bc2 2ab bccosb 1 2 2 1 5 ac 故选b 2 2017浙江 11 4分 我国古代数学家刘徽创立的 割圆术 可以估算圆周率 理论上能把 的值计算到任意精度 祖冲之继承并发展了 割圆术 将 的值精确到小数点后七位 其结果领先世界一千多年 割圆术 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积s6 s6 答案 解析本题考查圆内接正六边形面积的计算 s6 6 1 1 sin60 3 2017浙江 14 6分 已知 abc ab ac 4 bc 2 点d为ab延长线上一点 bd 2 连接cd 则 bdc的面积是 cos bdc 答案 解析本题考查余弦定理 同角三角函数关系式 二倍角公式 三角形面积公式 考查运算求解能力 ab ac 4 bc 2 cos abc abc为三角形的内角 sin abc sin cbd 故s cbd 2 2 bd bc 2 abc 2 bdc 又cos abc 2cos2 bdc 1 得cos2 bdc 又 bdc为锐角 cos bdc 4 2017课标全国 文 15 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知c 60 b c 3 则a 答案75 解析由正弦定理得 sinb 又 c b b 45 a 75 易错警示本题求得sinb 后 要注意利用b c确定b 45 从而求得a 75 5 2015课标 16 5分 在平面四边形abcd中 a b c 75 bc 2 则ab的取值范围是 答案 解析如图 依题意作出四边形abcd 连接bd 令bd x ab y cdb cbd 在 bcd中 由正弦定理得 由题意可知 adc 135 则 adb 135 在 abd中 由正弦定理得 所以 即y 因为0 75 75 180 所以30 105 当 90 时 易得y 当 90 时 y 又tan30 tan105 tan 60 45 2 结合正切函数的性质知 2 且 0 所以y 综上所述 y 评析本题考查了三角函数和解三角形 利用函数的思想方法是求解关键 属偏难题 6 2015北京 12 5分 在 abc中 a 4 b 5 c 6 则 答案1 解析在 abc中 由余弦定理的推论可得cosa 由正弦定理可知 1 评析本题主要考查正弦定理 余弦定理的推论以及二倍角公式的应用 考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力 7 2014山东 12 5分 在 abc中 已知 tana 当a 时 abc的面积为 答案 解析由 tana a 得 cos tan 即 所以s abc sina 8 2013福建 13 4分 如图 在 abc中 已知点d在bc边上 ad ac sin bac ab 3 ad 3 则bd的长为 答案 解析cos bad cos sin bac 故在 abd中 由余弦定理知 bd2 ba2 da2 2ba ad cos bad 3 故bd 9 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知 abc的面积为 1 求sinbsinc 2 若6cosbcosc 1 a 3 求 abc的周长 解析本题考查了正弦定理 余弦定理 三角形的面积公式及其综合应用 1 由题设得acsinb 即csinb 由正弦定理得sincsinb 故sinbsinc 2 由题设及 1 得cosbcosc sinbsinc 即cos b c 所以b c 故a 由题设得bcsina 即bc 8 由余弦定理得b2 c2 bc 9 即 b c 2 3bc 9 得b c 故 abc的周长为3 方法总结解三角形的综合应用 1 应用正弦定理 余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式 以便进一步化简计算 例如 将csinb 变形为sincsinb 2 三角形面积公式 s absinc acsinb bcsina 3 三角形的内角和为 这一性质经常在三角化简中起到消元的作用 例如 在 abc中 sin b c sina 10 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sin a c 8sin2 1 求cosb 2 若a c 6 abc的面积为2 求b 解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用 1 由题设及a b c 得sinb 8sin2 故sinb 4 1 cosb 上式两边平方 整理得17cos2b 32cosb 15 0 解得cosb 1 舍去 cosb 2 由cosb 得sinb 故s abc acsinb ac 又s abc 2 则ac 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 36 2 4 所以b 2 解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中 要重视 整体运算 的技巧 如本题中b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 中的转化就说明了这一点 11 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sina cosa 0 a 2 b 2 1 求c 2 设d为bc边上一点 且ad ac 求 abd的面积 解析本题考查解三角形 1 由已知可得tana 所以a 在 abc中 由余弦定理得28 4 c2 4ccos 即c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 2 由题设可得 cad 所以 bad bac cad 故 abd面积与 acd面积的比值为 1 又 abc的面积为 4 2sin bac 2 所以 abd的面积为 思路分析 1 由sina cosa 0 可求得tana 注意到a是三角形内角 得a 再由余弦定理求c 2 由题意知 cad bad 于是可求得的值 再由s abc 4 2sin bac 2得解 一题多解 2 另解一 由余弦定理得cosc 在rt acd中 cosc cd ad db cd s abd s acd 2 sinc 另解二 bad 由余弦定理得cosc cd ad s abd 4 sin dab 另解三 过b作be垂直ad 交ad的延长线于e 在 abe中 eab ab 4 be 2 be ca 从而可得 adc edb bd dc 即d为bc中点 s abd s abc 2 4 sin cab 12 2017北京理 15 13分 在 abc中 a 60 c a 1 求sinc的值 2 若a 7 求 abc的面积 解析本题考查正 余弦定理的应用 考查三角形的面积公式 1 在 abc中 因为 a 60 c a 所以由正弦定理得sinc 2 因为a 7 所以c 7 3 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得72 b2 32 2b 3 解得b 8或b 5 舍 所以 abc的面积s bcsina 8 3 6 解后反思根据所给等式的结构特点 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键 在求解面积时 经常用余弦定理求出两边乘积 13 2017江苏 18 16分 如图 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为32cm 容器 的底面对角线ac的长为10cm 容器 的两底面对角线eg e1g1的长分别为14cm和62cm 分别在容器 和容器 中注入水 水深均为12cm 现有一根玻璃棒l 其长度为40cm 容器厚度 玻璃棒粗细均忽略不计 1 将l放在容器 中 l的一端置于点a处 另一端置于侧棱cc1上 求l没入水中部分的长度 2 将l放在容器 中 l的一端置于点e处 另一端置于侧棱gg1上 求l没入水中部分的长度 解析本小题主要考查正棱柱 正棱台的概念 考查正弦定理 余弦定理等基础知识 考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力 1 由正棱柱的定义 cc1 平面abcd 所以平面a1acc1 平面abcd cc1 ac 记玻璃棒的另一端落在cc1上点m处 因为ac 10 am 40 所以mc 30 从而sin mac 记am与水面的交点为p1 过p1作p1q1 ac q1为垂足 则p1q1 平面abcd 故p1q1 12 从而ap1 16 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为24cm 2 如图 o o1是正棱台的两底面中心 由正棱台的定义 oo1 平面efgh 所以平面e1egg1 平面efgh o1o eg 同理 平面e1egg1 平面e1f1g1h1 o1o e1g1 记玻璃棒的另一端落在gg1上点n处 过g作gk e1g1 k为垂足 则gk oo1 32 因为eg 14 e1g1 62 所以kg1 24 从而gg1 40 设 egg1 eng 则sin sin cos kgg1 因为 所以cos 在 eng中 由正弦定理可得 解得sin 因为0 所以cos 于是sin neg sin sin sin cos cos sin 记en与水面的交点为p2 过p2作p2q2 eg q2为垂足 则p2q2 平面efgh 故p2q2 12 从而ep2 20 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为20cm 14 2016浙江 16 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知b c 2acosb 1 证明 a 2b 2 若 abc的面积s 求角a的大小 解析 1 证明 由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以 b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以 a 2b 2 由s 得absinc 故有sinbsinc sin2b sinbcosb 因sinb 0 得sinc cosb 又b c 0 所以c b 当b c 时 a 当c b 时 a 综上 a 或a 评析本题主要考查三角函数及其变换 正弦定理和三角形面积公式等基础知识 同时考查运算求解能力 15 2015浙江 16 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知a b2 a2 c2 1 求tanc的值 2 若 abc的面积为3 求b的值 解析 1 由b2 a2 c2及正弦定理得sin2b sin2c 所以 cos2b sin2c 又由a 即b c 得 cos2b sin2c 2sinccosc 解得tanc 2 2 由tanc 2 c 0 得sinc cosc 又因为sinb sin a c sin 所以sinb 由正弦定理得c b 又因为a bcsina 3 所以bc 6 故b 3 评析本题主要考查三角函数 正弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 16 2015浙江文 16 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知tan 2 1 求的值 2 若b a 3 求 abc的面积 解析 1 由tan 2 得tana 所以 2 由tana a 0 得sina cosa 又由a 3 b 及正弦定理 得b 3 由sinc sin a b sin得sinc 设 abc的面积为s 则s absinc 9 评析本题主要考查三角恒等变换 正弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 17 2014浙江 18 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a b c cos2a cos2b sinacosa sinbcosb 1 求角c的大小 2 若sina 求 abc的面积 评析本题主要考查诱导公式 两角和差公式 二倍角公式 正弦定理 三角形面积公式等基础知识 同时考查运算求解能力 18 2013浙江文 18 14分 在锐角 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且2asinb b 1 求角a的大小 2 若a 6 b c 8 求 abc的面积 解析 1 由2asinb b及 得sina 因为a是锐角 所以a 2 由a2 b2 c2 2bccosa 得b2 c2 bc 36 又b c 8 所以bc 由s bcsina 得 abc的面积为 评析本题主要考查正弦 余弦定理 三角形面积公式及三角运算等基础知识 同时考查运算求解能力 19 2016课标全国 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知2cosc acosb bcosa c 1 求c 2 若c abc的面积为 求 abc的周长 解析 1 由已知及正弦定理得 2cosc sinacosb sinbcosa sinc 2分 2coscsin a b sinc 故2sinccosc sinc 4分 可得cosc 所以c 6分 2 由已知 得absinc 又c 所以ab 6 8分 由已知及余弦定理得 a2 b2 2abcosc 7 故a2 b2 13 从而 a b 2 25 10分 所以 abc的周长为5 12分 评析本题重点考查了正弦定理 余弦定理及三角形面积公式 同时 对三角恒等变换的公式也有所考查 在解题过程中 要注意先将已知条件中的 边 与 角 的关系 通过正弦定理转化为 角 之间的关系 再运用三角函数知识求解 20 2016北京 15 13分 在 abc中 a2 c2 b2 ac 1 求 b的大小 2 求cosa cosc的最大值 解析 1 由余弦定理及题设得cosb 又因为0 b 所以 b 6分 2 由 1 知 a c cosa cosc cosa cos cosa cosa sina cosa sina cos 11分 因为0 a 所以当 a 时 cosa cosc取得最大值1 13分 思路分析第 1 问条件中有边的平方和边的乘积 显然应选用余弦定理求解 第 2 问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式 再注意角的取值范围 问题得解 评析本题考查余弦定理 三角恒等变换及三角函数的性质 属中档题 21 2015湖南 17 12分 设 abc的内角a b c的对边分别为a b c a btana 且b为钝角 1 证明 b a 2 求sina sinc的取值范围 解析 1 证明 由a btana及正弦定理 得 所以sinb cosa 即sinb sin 又b为钝角 因此 a 故b a 即b a 2 由 1 知 c a b 2a 0 所以a 于是sina sinc sina sin sina cos2a 2sin2a sina 1 2 因为0 a 所以0 sina 因此 2 由此可知sina sinc的取值范围是 评析本题以解三角形为背景 考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质 对考生思维的严谨性有较高要求 22 2015陕西 17 12分 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 向量m a b 与n cosa sinb 平行 1 求a 2 若a b 2 求 abc的面积 解析 1 因为m n 所以asinb bcosa 0 由正弦定理 得sinasinb sinbcosa 0 又sinb 0 从而tana 由于00 所以c 3 故 abc的面积为bcsina 解法二 由正弦定理 得 从而sinb 又由a b 知a b 所以cosb 故sinc sin a b sin sinbcos cosbsin 所以 abc的面积为absinc 23 2014陕西 16 12分 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 1 若a b c成等差数列 证明 sina sinc 2sin a c 2 若a b c成等比数列 求cosb的最小值 解析 1 证明 a b c成等差数列 a c 2b 由正弦定理得sina sinc 2sinb sinb sin a c sin a c sina sinc 2sin a c 2 a b c成等比数列 b2 ac 由余弦定理得cosb 当且仅当a c时等号成立 cosb的最小值为 评析本题考查了等差 等比数列 正 余弦定理 基本不等式等知识 考查运算求解能力 24 2013课标全国 17 12分 如图 在 abc中 abc 90 ab bc 1 p为 abc内一点 bpc 90 1 若pb 求pa 2 若 apb 150 求tan pba 解析 1 由已知得 pbc 60 所以 pba 30 在 pba中 由余弦定理得pa2 3 2 cos30 故pa 2 设 pba 由已知得pb sin 在 pba中 由正弦定理得 化简得cos 4sin 所以tan 即tan pba 评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形 考查了运算求解能力和分析 解决问题的能力 题目新颖且有一定的难度 通过pb把 pbc和 pab联系起来利用正弦定理解题是关键 25 2015四川 19 12分 如图 a b c d为平面四边形abcd的四个内角 1 证明 tan 2 若a c 180 ab 6 bc 3 cd 4 ad 5 求tan tan tan tan的值 解析 1 证明 tan 2 由a c 180 得c 180 a d 180 b 由 1 有tan tan tan tan 连接bd 在 abd中 有bd2 ab2 ad2 2ab adcosa 在 bcd中 有bd2 bc2 cd2 2bc cdcosc 所以ab2 ad2 2ab adcosa bc2 cd2 2bc cdcosa 则cosa 于是sina 连接ac 同理可得cosb 于是sinb 所以 tan tan tan tan 评析本题主要考查二倍角公式 诱导公式 余弦定理 简单的三角恒等变换等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与方程 化归与转化等数学思想 26 2014江西 4 5分 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 a 3b c d 3 以下为教师用书专用 答案cc2 a b 2 6 即c2 a2 b2 2ab 6 c 由余弦定理得c2 a2 b2 ab 由 和 得ab 6 s abc absinc 6 故选c 27 2014重庆 10 5分 已知 abc的内角a b c满足sin2a sin a b c sin c a b 面积s满足1 s 2 记a b c分别为a b c所对的边 则下列不等式一定成立的是 a bc b c 8b ab a b 16c 6 abc 12d 12 abc 24 答案a设 abc的外接圆半径为r 由三角形内角和定理知a c b a b c 于是sin2a sin a b c sin c a b sin2a sin2b sin2c sin2a sin2b sin2c 2sin a b cos a b 2sinccosc 2sinc cos a b cos a b 4sinasinbsinc sinasinbsinc 则s absinc 2r2 sinasinbsinc r2 1 2 r 2 2 abc 8r3sinasinbsinc r3 8 16 知c d均不正确 bc b c bc a r3 8 a正确 事实上 注意到a b c的无序性 并且16 8 若b成立 则a必然成立 排除b 故选a 28 2015安徽 16 12分 在 abc中 a ab 6 ac 3 点d在bc边上 ad bd 求ad的长 解析设 abc的内角a b c所对边的长分别是a b c 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos bac 3 2 62 2 3 6 cos 18 36 36 90 所以a 3 又由正弦定理得sinb 由题设知0 b 所以cosb 在 abd中 由正弦定理得ad 29 2014北京 15 13分 如图 在 abc中 b ab 8 点d在bc边上 且cd 2 cos adc 1 求sin bad 2 求bd ac的长 解析 1 在 adc中 因为cos adc 所以sin adc 所以sin bad sin adc b sin adccosb cos adcsinb 2 在 abd中 由正弦定理得bd 3 在 abc中 由余弦定理得ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 82 52 2 8 5 49 所以ac 7 评析本题考查了正 余弦定理等三角形的相关知识 考查分析推理 运算求解能力 30 2014安徽 16 12分 设 abc的内角a b c所对边的长分别是a b c 且b 3 c 1 a 2b 1 求a的值 2 求sin的值 解析 1 因为a 2b 所以sina sin2b 2sinbcosb 由正 余弦定理得a 2b 因为b 3 c 1 所以a2 12 a 2 2 由余弦定理得cosa 由于0 a 所以sina 故sin sinacos cosasin 评析本题考查正 余弦定理 三角变换等知识 考查基本运算求解能力 属容易题 31 2014大纲全国 17 10分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知3acosc 2ccosa tana 求b 解析由题设和正弦定理得3sinacosc 2sinccosa 故3tanacosc 2sinc 因为tana 所以cosc 2sinc tanc 6分 所以tanb tan 180 a c tan a c 8分 1 即b 135 10分 32 2013江苏 18 16分 如图 游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径 一种是从a沿直线步行到c 另一种是先从a沿索道乘缆车到b 然后从b沿直线步行到c 现有甲 乙两位游客从a处下山 甲沿ac匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从a乘缆车到b 在b处停留1min后 再从b匀速步行到c 假设缆车匀速直线运行的速度为130m min 山路ac长为1260m 经测量 cosa cosc 1 求索道ab的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 解析 1 在 abc中 因为cosa cosc 所以sina sinc 从而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 由 得ab sinc 1040 m 所以索道ab的长为1040m 2 设乙出发t分钟后 甲 乙两游客距离为dm 此时 甲行走了 100 50t m 乙距离a处130tm 所以由余弦定理得d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 200 37t2 70t 50 因0 t 即0 t 8 故当t min 时 甲 乙两游客距离最短 3 由 得bc sina 500 m 乙从b出发时 甲已走了50 2 8 1 550 m 还需走710m才能到达c 设乙步行的速度为vm min 由题意得 3 3 解得 v 所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在 单位 m min 范围内 评析本题考查正余弦定理 二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能 考查学生阅读能力和分析解决实际问题的能力 33 2013江西 16 12分 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知cosc cosa sina cosb 0 1 求角b的大小 2 若a c 1 求b的取值范围 解析 1 由已知得 cos a b cosacosb sinacosb 0 即有sinasinb sinacosb 0 因为sina 0 所以sinb cosb 0 又cosb 0 所以tanb 又0 b 所以b 2 因为a c 1 cosb 有b2 3 又0 a 1 于是有 b2 1 即有 b 1 34 2013湖北 17 12分 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 已知cos2a 3cos b c 1 1 求角a的大小 2 若 abc的面积s 5 b 5 求sinbsinc的值 解析 1 由cos2a 3cos b c 1 得2cos2a 3cosa 2 0 即 2cosa 1 cosa 2 0 解得cosa 或cosa 2 舍去 因为0 a 所以a 2 由s bcsina bc bc 5 得bc 20 又b 5 知c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 25 16 20 21 故a 又由正弦定理得sinbsinc sina sina sin2a 35 2013课标全国 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a bcosc csinb 1 求b 2 若b 2 求 abc面积的最大值 解析 1 由已知及正弦定理得sina sinbcosc sinc sinb 又a b c 故sina sin b c sinbcosc cosbsinc 由 和c 0 得sinb cosb 又b 0 所以b 2 abc的面积s acsinb ac 由已知及余弦定理得4 a2 c2 2accos 又a2 c2 2ac 故ac 当且仅当a c时 等号成立 因此 abc面积的最大值为 1 1 2017浙江台州4月调研 一模 6 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知a 1 2b c 2acosc sinc 则 abc的面积为 a b c 或d 或 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案c由正弦定理知 2sinb sinc 2sinacosc 又sinb sin a c sinacosc cosasinc 因此cosa 故a 30 因为sinc 所以c 60 或c 120 当c 60 时 b 90 由 得c 故s 1 1 当c 120 时 b 30 此时b a 1 故s 1 1 sin120 故选c 2 2017浙江镇海中学模拟卷一 3 在 abc中 bc 2 ac 2 则a的最大值是 a 30 b 45 c 60 d 90 答案b由余弦定理 知cosa 当且仅当c 2时 取等号 故a的最大值为45 故选b 3 2017浙江模拟训练冲刺卷五 4 在 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 若a b c成等差数列 b 30 abc的面积为 则b a b 1 c d 2 答案b由条件知acsinb 得ac 6 又a c 2b 则由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac ac 即b2 4b2 12 6 解得b 1 4 2016浙江镇海中学测试 四 6 在 abc中 点d是边ab上的点 满足ad db且cd cb 则角a的最大值是 a 30 b 45 c 60 d 75 答案a在 acd中 cos adc 在 bcd中 cos cdb 而 adc bdc 180 所以cos adc cos bdc 0 即 0 所以cd2 ac2 ad2 因此cosa 当且仅当 ad ac 时取等号 又0 a 180 所以角a的最大值是30 故选a 答案6 解析由题意可知 所以asin3a bsina 即4 3sina 4sin3a 5sina 整理得7 16sin2a 从而cos2a 即cosa 由正弦定理得 c a 2cosa a 6 s bcsina 5 6 6 2017浙江稽阳联谊学校联考4月 13 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知csina acosc 则c 若c abc的面积为 则a b 答案 7 解析由正弦定理可得sincsina sinacosc 所以tanc 所以c 由absinc 所以ab 6 又由余弦定理得 a2 b2 2abcosc a b 2 3ab 所以a b 7 7 2017浙江台州质量评估 15 已知在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且b a cosb cosa c 1 则 abc的面积为 答案 解析由cosb cosa 得 又b a 且c 1 所以上式可化简为a2 c2 2 所以a b 2 因此cosb 所以sinb 故 abc的面积s acsinb 1 8 2017浙江宁波期末 14 已知 abc的三边分别为a b c 且a2 c2 b2 ac 则边b所对的角b为 此时 若b 2 则 的最大值为 答案60 6 4 解析由余弦定理得cosb b 60 由正弦定理得c 4sinc bccosa 8sinccosa 又c a 8cosa 12cos2a 4 sinacosa 6 1 cos2a 2sin2a 6 4sin 0 a 2a 故当2a 即a 时 有最大值 最大值为6 4 9 2017浙江测试卷 13 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若a 2 c tana 则sina b 答案 4 解析由tana sina 由正弦定理 得c a 5 又sinb sin a c sinacosc cosasinc b acosc ccosa 4 10 2015浙江名校 诸暨中学 交流卷四 12 在 abc中 d是边ac的中点 若a cos bdc abc的面积为3 则sin abd bc 答案 2 解析 cos bdc bdc adb cos adb sin adb sin abd sin 由 得ac 3ab 又ab ac sin 3 即ac ab 12 从而有ac 6 ab 2 bc 2 解析 1 2cos2b 4cosb 3 4cos2b 4cosb 1 0 所以cosb 故b 2 s abc acsinb ac 4 由asina csinc 5sinb得a2 c2 5b 由b2 a2 c2 2accosb得b2 5b 4 0 解得b 1或4 又a2 c2 5b 2ac 8 所以b 所以b 4 12 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 18 已知f x sinx cosx sinx 1 x r 1 求函数f x 的单调递减区间 2 在锐角 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知f a 0 a 1 求a2 b2 c2的取值范围 13 2016浙江名校 杭州二中 交流卷三 16 在 abc中 a b c分别为角a b c的对边 asinbcosc csinbcosa b 1 若b 2 且b2 c2 bc a2 求 abc