高中数学 第三章 函数方程同步提高训练 新人教A版必修1.doc_第1页
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3.1函数与方程（提高训练）1.已知函数=具有以下性质：对任意实数，且时，满足；对任意（1，+），总有.则方程=0根的情况是（ ）a.无实数根b.有两个不等正根c.有两个异号实根d.有两个相等正根答案：c解析：（法一）本题由条件，知函数的对称轴为x=1；由条件，知函数是凸函数，即a 0；再由函数的表达式，知的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数的草图，如下图，发现函数与x轴交点的位置，可知=0有两个异号实根，故应选c。（法二）由条件，知函数f（x）的图象开口向下，即a0.又由，可知=0有两个异号实根，故应选c。2.设，（其中a0，且a1）.（1）求的定义域；（2）求证：函数无零点。证明：要证的图象与x轴无公共点，可假设它与x轴有公共点，用反证法去做.（1）即又，函数的定义域为x|x.（2）假设有零点，则由=0得，=1.由此得p=1，这与已知条件中1p1矛盾，所以无零点。3.已知二次函数=和一次函数，其中，且。（1）求证：函数的图象交于不同的两点；（2）求线段ab在x轴上的射影a1b1的长的取值范围。证明：（1）需证方程组有两组解，消去y得.=.由abc，a+b+c=0，得a0，c0.又0，故，即0。方程有两个不同实根，即f（x），g（x）的图象有两个不同交点.（2）设的两根为x1，x2，则又b=（a+c），由abc，a+b+c=0，得a+2ca+b+c2a+c，2，即。4.求使函数有四个不同零点的最大正数k.解析：设，函数，在同一坐标系中作出的图象，注意到当直线与在（1，2）中相切时，有三个解，当.联立，设只有一个交点，即方程只有一个实根，=0.=0，。（时，y=mx与y=x2+3x2的切点在第三象限，与问题不符，故舍去）.17.2.当与有四个不同的实根时，k应满足.所求的最大的正整数k的值为17。5.已知函数+ (a1),(1)求证:在上为增函数;（2）求证当时， +在（0，1）内必有零点；解析：（1）可设, =， 由指数函数的性质可知： 当a1时，在（-1，+）上单调递增. 下面证明=在上单调递增.设且， 则=-=-=. ， 在上单调递增. 在上单调递增. （2）由（1）可知：函数在上是增函数. 又f(0)=30-2=-10,f(1)=31-=0,即，说明函数在区间（0，1）内有零点，且只有一个。 6.设二次函数，方程的两个根满足（1）当时，求证：（2）设函数的图象关于直线对称，求证：。证明
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