高中数学 第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.3 概率的基本性质课件 新人教A版必修3.ppt

3 1 3概率的基本性质 1 理解 掌握事件间的包含关系和相等关系 2 掌握事件的交 并运算 理解互斥事件和对立事件的概念及关系 3 掌握概率的性质 并能用它解决有关问题 1 事件的关系 1 包含关系 2 相等关系 归纳总结1 对事件的包含关系的理解 1 不可能事件记作 显然c c为任一事件 2 事件a也包含于事件a 即a a 3 事件b包含事件a 其含义就是事件a发生 事件b一定发生 而事件b发生 事件a不一定发生 2 对事件的相等关系的理解 1 两个相等事件总是同时发生或同时不发生 2 所谓a b 就是a b是同一事件 3 在验证两个事件是否相等时 常用到事件相等的定义 做一做1 同时抛掷两枚硬币 向上面都是正面为事件m 向上面至少有一枚是正面为事件n 则有 a m nb m nc m nd m n答案 a 2 事件的运算 1 并事件 2 交事件 归纳总结1 对并 和 事件的理解 1 可与集合的并集类比 2 a b b a 3 包含三层含义 a发生b不发生 a不发生b发生 a b同时发生 2 对交 积 事件的理解 1 可与集合的交集类比 2 a b b a 3 a与b同时发生 归纳总结如果事件a与事件b是互斥事件 那么a与b这两个事件同时发生的概率为0 3 互斥事件 4 对立事件 归纳总结1 对立事件的特征 在一次试验中 不会同时发生 且必有一个事件发生 2 对立事件是特殊的互斥事件 即对立事件是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 3 从集合角度看 事件a的对立事件 是全集中由事件a所含结果组成的集合的补集 做一做2 1 抛掷一枚均匀的正方体骰子 事件p 向上的点数是1 事件q 向上的点数是3或4 m 向上的点数是1或3 则p q m q 答案 向上的点数是1或3或4 向上的点数是3 做一做2 2 在30件产品中有28件一级品 2件二级品 从中任取3件 记 3件都是一级品 为事件a 则a的对立事件是 答案 至少有一件是二级品 3 概率的性质 1 任何事件的概率p a 0 1 2 必然事件的概率p a 1 3 不可能事件的概率p a 0 4 如果事件a与事件b互斥 那么p a b p a p b 归纳总结1 事件a与事件b互斥 如果没有这一条件 加法公式将不能应用 2 如果事件a1 a2 an彼此互斥 那么p a1 a2 an p a1 p a2 p an 即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和 5 若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b p a p b 1 归纳总结公式使用的前提必须是对立事件 否则不能使用此公式 做一做3 1 已知事件a与b是对立事件 且p a 0 6 则p b 等于 a 0 4b 0 5c 0 6d 1答案 a 做一做3 2 已知p a 0 1 p b 0 2 且a与b是互斥事件 则p a b 答案 0 3 若事件a与事件b不互斥 则p a b p a p b 剖析 否定一个等式不成立 只需举出一个反例即可 例如 抛掷一枚均匀的正方体骰子 向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件a 且a b 则a b表示向上的点数是1或2或3或4或5或6 p a p b p a b 1 p a p b 1 1 2 所以此时p a b p a p b 即p a b p a p b 不成立 上例中p a b p a p b 的原因是事件a与事件b不是互斥事件 其实对于任意事件a与b 有p a b p a p b p a b 不要求证明也不要求会用 当且仅当a b 即事件a与事件b是互斥事件时 p a b 0 此时才有p a b p a p b 成立 题型一 题型二 题型三 题型四 判断互斥 对立 事件 例1 判断下列各事件是不是互斥事件 如果是互斥事件 那么是不是对立事件 并说明理由 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有1名男生和恰有2名男生 2 至少有1名男生和至少有1名女生 3 至少有1名男生和全是女生 解 1 是互斥事件 理由是在所选的2名同学中 恰有1名男生 实质是选出 1名男生和1名女生 它与 恰有2名男生 不可能同时发生 所以是互斥事件 不是对立事件 理由是当选出的2名同学都是女生时 这两个事件都没有发生 所以不是对立事件 题型一 题型二 题型三 题型四 2 不是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 2名都是男生 这两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生 1名男生 和 2名都是女生 这两种结果 当选出的是1名男生 1名女生时 它们同时发生 这两个事件也不是对立事件 理由是这两个事件能同时发生 所以不是对立事件 3 是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 2名都是男生 这两种结果 它与 全是女生 不可能同时发生 是对立事件 理由是这两个事件不能同时发生 且必有一个发生 所以是对立事件 反思判断互斥事件和对立事件时 主要用定义来判断 当两个事件不能同时发生时 这两个事件是互斥事件 当两个事件不能同时发生且必有一个发生时 这两个事件是对立事件 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 某小区有甲 乙两种报刊供居民订阅 记事件a表示 只订甲报刊 事件b表示 至少订一种报刊 事件c表示 至多订一种报刊 事件d表示 不订甲报刊 事件e表示 一种报刊也不订 判断下列事件是不是互斥事件 若是 再判断是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 解 1 由于事件c 至多订一种报刊 中有可能 只订甲报刊 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报刊 与事件e 一种报刊也不订 是不可能同时发生的 故b与e是互斥事件 由于事件b发生可导致事件e一定不发生 且事件e发生会导致事件b一定不发生 故b与e还是对立事件 3 事件b 至少订一种报刊 中有可能 只订乙报 即有可能 不订甲报刊 即事件b发生 事件d也可能发生 故b与d不互斥 题型一 题型二 题型三 题型四 事件的关系及运算 例2 盒子里有6个红球 4个白球 现从中任取3个球 设事件a 3个球中有1个红球 2个白球 事件b 3个球中有2个红球 1个白球 事件c 3个球中至少有1个红球 事件d 3个球中既有红球又有白球 1 事件d与a b是什么运算关系 2 事件c与a的交事件是什么事件 分析 根据事件运算的定义解题 对于事件c和事件d需列出其包含的所有结果 解 1 对于事件d 可能的结果为1个红球 2个白球 或2个红球 1个白球 故d a b 2 对于事件c 可能的结果为1个红球 2个白球 或者2个红球 1个白球 或者3个均为红球 故c a a 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 进行事件的运算时 一是要紧扣运算的定义 二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果 必要时可利用venn图或列出全部的试验结果进行分析 2 在一些比较简单的题目中 需要判断事件之间的关系时 可以根据常识来判断 但如果遇到比较复杂的题目 就得严格按照事件之间关系的定义来推理 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 在本例中 设事件e 3个红球 事件f 3个球中至少有一个白球 那么事件c与a b e是什么运算关系 c与f的交事件是什么 解 分析可得c a b e c f a b 题型一 题型二 题型三 题型四 概率加法公式的应用 例3 某射箭运动员在一次训练中 射中10环 9环 8环 7环的概率分别为0 21 0 23 0 25 0 28 计算这个射箭运动员在一次射击中 1 射中10环或7环的概率 2 射中7环以下的概率 分析 1 利用互斥事件的概率加法公式解决 2 转化为求对立事件的概率 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 设 射中10环 为事件a 射中7环 为事件b 则 射中10环或7环 的事件为a b 事件a和事件b是互斥事件 故p a b p a p b 0 21 0 28 0 49 所以射中10环或7环的概率为0 49 2 设 射中7环以下 为事件c 射中7环或8环或9环或10环 为事件d 则p d 0 21 0 23 0 25 0 28 0 97 又事件c和事件d是对立事件 则p c 1 p d 1 0 97 0 03 所以射中7环以下的概率是0 03 反思求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并 二是先求对立事件的概率 进而再求所求事件的概率 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 在数学考试中 小明的成绩在90分以上的概率是0 18 在80 89分的概率是0 51 在70 79分的概率是0 15 在60 69分的概率是0 09 60分以下的概率是0 07 计算 1 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率 2 小明考试及格的概率 解 分别记小明的成绩 在90分以上 在80 89分 在70 79分 在60 69分 为事件b c d e 这四个事件彼此互斥 1 小明的成绩在80分以上的概率是p b c p b p c 0 18 0 51 0 69 2 方法一 小明考试及格的概率是p b c d e p b p c p d p e 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 方法二 小明考试不及格的概率是0 07 又小明考试不及格与及格互为对立事件 故小明考试及格的概率p 1 0 07 0 93 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 不能区分事件是否互斥 而错用加法公式 例4 抛掷一枚质地均匀的骰子 向上的一面出现1点 2点 3点 4点 5点 6点的概率错解 记向上的一面出现1点 2点 3点 4点 5点 6点分别为事件c1 c2 c3 c4 c5 c6 则它们两两是互斥事件 且a c1 c3 c5 b c1 c2 c3 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 错解的原因在于忽视了 和事件 概率公式应用的前提条件 由于 朝上一面的数是奇数 与 朝上一面的数不超过3 这二者不是互斥事件 即出现1或3时 事件a b同时发生 所以不能应用公式p a b p a p b 求解 正解 记事件 出现1点 出现2点 出现3点 出现5点 分别为a1 a2 a3 a4 由题意知这四个事件彼此互斥 则a b a1 a2 a3 a4 故p a b p a1 a2 a3 a4 p a1 p a2 p a3 p a4 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 玻璃盒子里装有各种颜色的球12个 其中5红 4黑 2白 1绿 从中任取1球 记事件a为 取出1个红球 事件b为 取出1个黑球 事件c为 取出1个白球 事件d为 取出1个绿球 已知求 1 取出1球为红球或黑球 的概率 2 取出1球为红球或黑球或白球 的概率 解法一