第8章 矩阵特征值计算.doc

第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。1.1 特征值问题及性质设矩阵（或），特征值问题是：求和非零向量，使 (1.1)其中是矩阵属于特征值的特征向量。的全体特征值组成的集合记为。求的特征值问题(1.1)等价于求的特征方程 (1.2)的根。因为一般不能通过有限次运算准确求解的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。反之，有时为了求多项式的零点，可以把看成矩阵的特征多项式（除因子不计）。这是一个Hessenberg矩阵，可用方法求特征值，从而求出代数方程的根。矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given方法和Householder方法；求任意矩阵全部特征值的QR算法。在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。定理1 设，则(1) 设为的特征值，则为的特征值；(2) 设是的特征值，是一多项式，则矩阵的特征值是。特别地，的特征值是。定理 (1)设可对角化，即存在非奇异矩阵使的充分必要条件是具有几个线性无关的特征向量。(2) 如果有个不同的特征值，则对应的特征向量线性无关。定理 设为对称矩阵，则(1) 的特征值均为实数。(2) 有个线性无关的特征向量。(3) 存在一个正交矩阵使且为的特征值，而的列向量为对应于的特征向量。定理 设为对称矩阵（其特征值依次记为），则(1) （对任何非零向量）。(2) (1.3)记，称为矩阵的瑞利(Rayleigh)商。证明 只证(1), (2)留作习题。由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量正交规范化，则有。设为中任一向量，则有，于是从而(1)成立。结论(1)说明瑞利商必位于和之间。12特征值估计与扰动定义1 设。令(1) ；(2) 集合。称复平面上以为圆心，以为半径的所有圆盘为的格什戈林(Gershgorin)圆盘定理（格什戈林圆盘定理）(1) 设，则的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中 (1。4)或者说，的特征值都在复平面上个圆盘的并集中。(2) 如果有个圆盘组成一个连通的并集，且与其余个圆盘是严格分离，则中恰有的个特征值，其中重特征根按其重数重复计算。特别地，如果的一个圆盘是与其他圆盘分离的（即孤立圆盘），则中只包含的一个特征值。证明 只给出(1)的证明。设为的任一特征值，是相应的特征向量，即。记，考虑的第个方程，即，或于是即。这说明，的每一个特征值必位于的一个圆盘中，并且相应的特征值一定位于第个圆盘中（其中是对应特征向量绝对值最大的分量的下标）。利用相似矩阵性质，有时可以获得的特征值进一步的估计，即选取非奇异对角矩阵作相似变换。适当选取 可使某些圆盘半径及连通性发生变化。例1 估计矩阵特征值的范围。解 的个圆盘为由定理，可知的个特征值位于个圆盘的并集中，由于是孤立圆盘，所以内恰好包含的一个特征值（为实特征值），即。的其他两个特征值，包含在，的并集中。现选取对角矩阵做相似变换的个圆盘为显然，个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含的一个特征值（为实特征值）且有估计下面讨论当有扰动时产生的特征值扰动，即有微小变化时特征值的敏感性。定理(Bauer-Fike定理) 设是的一个特征值，且，则有 (1.5)其中为矩阵的范数，证明 只要考虑。这时非奇异，设是对应于的特征向量，由左乘可得是非零向量。上式两边取范数有。而对角矩阵的范数为，所以有这就得到(1.5)式。这时总有中的一个取到值。由定理可知是特征值扰动的放大系数，但将对角化的相似变换矩阵不是唯一的，所以取的下确界 (1.6)称为特征值问题的条件数只要不很大，矩阵微小扰动只带来特征值的微小扰动但是难以计算，有时只对一个，用代替特征值问题的条件数和解线性方程组时的矩阵条件数是两个不同的概念，对于一个矩阵，两者可能一大一小，例如矩阵，有，但解线性方程组的矩阵条件数本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似交换的方法（变换法）2 幂法及反幂法2.1 幂法把矩阵的按绝对值（模）最大的特征值，叫做的主特征值。幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵设是非亏损矩阵，即有个线性无关的特征向量，设其对应的特征值是，而且满足 (2.1)现讨论求及的方法设是任一非零向量，则必存在个不全为零的数，使得（并假定）。按照迭代公式 (2.2)由初始向量开始计算，就可得到一个向量列，并且 (2.3)由于，所以当充分大时，由上式可知有 (2.4)因为所以当充分大时，就是的属于特征值的特征向量的近似向量。用表示向量的按模为最大的分量，容易证明对任何实数，总有。由(2.4)式，得因此，当充分大时，有 (2.5)用公式(2.5)、(2.4)计算矩阵的主特征值及主特征向量的方法叫幂法。因为它使用了的幂与初始向量的乘积。必须指出，使用公式(2.5)、(2.4)计算矩阵的主特征值及对应特征向量时，有一个巨大的隐患，这就是：当时，不等于零的分量，将随，而无限变大。这样就有可能发生上益；而当时，的各分量又都将随着而趋于零。为了从根本上消除这个隐患，在实用中，在迭代法的每一个步骤，都要实行规格化措施（这就是实用中的幂法）。可归结为：定理7 设有个线性无关的特征向量，其对应的特征值为，且满足从任一非零向量()出发，按下列公式构造向量列及数列： (2.6)则有 (2.7)证明 设，且，则得由于，所以同理可得。算法11. 输入，初始向量，误差限，最大迭代次数；2. 置；3. 计算4. 若，输出，停机；否则转5；5. 若，置，转3；否则，输出失败信息，停机。评注：(1)若主特征值是重根，即矩阵仍有个线性无关的向量，则定理7中的结论，仍然成立。事实上，前面的公式变成为显然，只要不全为零，当充分大时，就有于是最大特征值为，特征向量为。即对这种情况幂法仍然有效。注意：一般来说，用个不同的初始向量，可以得到对应的个不同的特征向量。(2) 若所选择的，恰使，虽然在理论上幂法不收敛，但由于舍人误差的存在，幂法仍能收敛，但收敛的很慢。遇到这种情况，应另选重新开始计算。例1 用幂法求矩阵的主特征值及对应的特征向量。解 取，由式(2.6)式求得可知，。依次继续迭代，计算结果列表2.1表2.1（归一化向量）0001.00001.000010.50001.00000.25004.000020.50001.00000.86119.000030.50001.00000.730611.440040.50001.00000.753510.922450.50001.00000.749311.014060.50001.00000.750110.992770.50001.00000.750011.000480.50001.00000.750011.0000于是得主特征值的近似值，对应的特征向量为。其实，该矩阵的准确特征值为。它的效率为。例 用幂法计算的主特征值和相应的特征向量计算过程如表2.2.表2.2 计算结果(规范化向量)0(1, 1, 1)1(0.9091, 0.8182, 1)2. 750 000 05(0.7651, 0.6674, 1)2. 558 791 810(0.7494, 0.6508, 1)2 .538 002 915(0.7483, 0.6497, 1)2 .536 625 616(0.7483, 0.6497, 1)2. 536 584 017(0.7482, 0.6497, 1)2. 536 559 818(0.7482, 0.6497, 1)2. 536 545 619(0.7482, 0.6497, 1)2. 536 537 420(0.7482, 0.6497, 1)2. 536 532 3下述结果是用位浮点数字进行运算得到的，的分量值是舍入值于是得到及相应的特征向量和相应的特征向量的真值（位数字）为2.2加速方法由前面讨论知道，应用幂法计算的主特征值的收敛速度主要由比值来决定，但当接近于时，收敛可能很慢这时，一个补救的办法是采用加速收敛的方法幂法的加速有许多办法。（一） 原点移位法若的特征值为，则矩阵的特征值为，而且特征向量相同。如果对矩阵按前面的幂法计算，则有适当选取，使得且这样，用幂法求的主特征值及相应的特征向量的收敛速度要比求的快。这种加速收敛的方法称为原点移位法。例 设有特征值比值，做变换则的特征值为应用幂法计算的主特征值的收敛速度的比值为例 计算例中矩阵的主特征值做变换，取，则对应用幂法，计算结果如表2.2.表2.2 计算结果(规范化向量)0(1, 1, 1)5(0.7516, 0.6522, 1)1. 791 401 16(0.7491, 0.6511, 1)1. 788 844 37(0.7488, 0.6501, 1)1 .787 330 08(0.7484, 0.6499, 1)1 .786 915 29(0.7483, 0.6497, 1)1. 786 658 710(0.7482, 0.6497, 1)1. 786 591 4由此得的主特征值为,的主特征值为，与例的结果比较，上述结果比例迭代次的还好若迭代次，（相应的）原点移位法使用简便，不足之处在于的选取十分困难，但在一些简单情形，是可以估计的。如矩阵的特征值满足或时，取，则有且（因为）因此，用原点移位求可使收敛速度加快。评注：1）以上的选择只有理论意义。因为实践中很难提供和的值。2）在实践中，通常需要对特征值的分布有一大概的了解，才能粗略地估计，并通过计算，不断进行修改。由圆盘定理可知，矩阵的特征值满足3）以上原点移位法很难形成一个自动选择的程序，所以计算机上并不实用。然而这种加速的思想是重要的，它常在其它一些加速收敛的方法中表现出来。（二） 埃特肯(Aitken)加速设矩阵的特征值为，用幂法迭代，产生序列，将Aitken加速技巧应用于序列，就可获得新的序列，计算式是 (2.8)例2 用Aitken加速法(2.8)计算例1中矩阵的主特征值。解 由表2.1可知，于是利用公式(2.8)得再利用，求，有同理得已知矩阵的准确主特征值为11，用Aitken加速公式计算，迭代3次（用到幂法中的值），即可获得较高精度的解，相当于用幂法迭代7到8次。（三）幂指数加速法如果，则。矩阵的迹为而矩阵的迹为若，则当充分大有故取得矩阵序列为了求出对应的特征向量，取任意初始向量，则 (2.9)就是特征向量的近似值。（四）瑞利商加速法现在讨论用内积法求对称矩阵的按模最大特征值和特征向量。由于对称，可设有个线性无关单位正交特征向量，对应的特征值是，而且满足设是任一非零向量，则有（并假定），于是(2.10)利用，得于是(2.11)由(2.10)和(2.11)式可知，当充分大有，并且比幂法的收敛速度快。算法21. 输入，初始单位向量，误差限，最大迭代次数；2. 置；3. 计算4. 若，输出，停机；否则转5；5. 若，置，转3；否则，输出失败信息，停机。2.3 反幂法反幂法用是计算矩阵按模最小特征值和特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量最有效的方法。设为阶非奇异矩阵，则存在且的特征值均不为零，设有特征值为，相应的特征向量为，且则矩阵的特征值为，相应的特征向量也为，且因此对矩阵应用幂法求主特征值，就是对求按模最小的特征值。用代替作幂法计算，称为反幂法。反幂法的求解过程为： (2.12)类似幂法的分析可得到时，有，用反幂法迭代一次，需要解一个方程组。实际计算时，可以事先把作分解，这样，每迭代一次只要解两个三角方程组。例3 用反幂法求矩阵按模最小的特征值及其对应的特征向量。解 首先对作分解，可得取初始向量，用公式(2.12)计算，结果列于表8-3表8-3（归一化向量）01.00001.00001.00001.000010.43481.0000-0.47834.565220.19021.0000-0.88340.987730.18431.0000-0.91240.824540.18311.0000-0.93290.813450.18321.0000-0.9130迭代5次，可得，对应的特征向量为。于是矩阵按模最小的特征值为，对应的特征向量为。当矩阵有一个近似的特征值为已知时，用反幂法可以很快地使其准确化。如果矩阵存在，设是的特征值的一个近似值，显然是的特征值，且仍是它的特征向量。由于则是的主特征值。于是对进行反幂迭代 (2.13)可得。反幂法迭代公式中的是通过解线性方程组求得的，为了节省工作量，可以先将进行三角分解其中为某个排列阵，于是求相当于解两个三角形方程组实验表明，如下选择是较好的：选使 (2.14)用回代求解三角形方程组(2.14)即得，然后再按公式(2.13)进行迭代反幂法算法：1. 分解计算，且保存及信息2. 反幂法迭代(1) 解，求(2) 解，求解。求 计算例 用反幂法求的对应于计算特征值（精确特征值为）的特征向量（用位浮点数进行运算）解 用部分选主元的三角分解将（其中）分解为其中，由，得由，得对应的特征向量是由此看出是的相当好的近似特征值的真值为。3 正交变换与矩阵分解正交变换是计算矩阵特征值的有力工具，本节介绍豪斯霍尔德(Householder)变换和吉文斯(Givens)变换，并利用它们讨论矩阵分解，主要讨论实矩阵和实向量. 豪斯霍尔德变换定义 设向量，且，称矩阵为初等反射矩阵，也称为豪斯霍尔德变换如果记，则 (3.1)定理8 设有初等反射矩阵，其中，则：(1) 是对称矩阵，即(2) 是正交矩阵，即(3) 设为对称矩阵，那么亦是对称矩阵证明 只证的正交性，其他显然设向量，则显然图 8-1是一个初等反射矩阵下面考察初等反射矩阵的几何意义参见图8-1,考虑以为法向量且过原点的超平面：.设任意向量，则，其中于是对于，有，故从而其中为关于平面的镜面反射(见图8-1)，所以Householder变换又称镜面反射变换初等反射矩阵在计算上的意义是它能用来约化矩阵，例如设向量，可选择一初等反射阵使，为此给出下面定理定理9 设为两个不相等的维向量，则存在一个初等反射矩阵使得证明 令，则得初等反射矩阵而且这是因为容易说明，是使成立的唯一长度等于的向量（不计符号）定理10（约化定理）设，则存在初等反射矩阵使，其中 (3.2)证明 记，设，取，则有，于是由定理9存在变换其中，使记，于是其中，显然如果和异号，那么计算时有效数字可能损失，我们取和有相同的符号，即取在计算时，可能上溢和下溢，为了避免溢出，将规范化则有使，其中例 设，求初等反射阵，使得。解 因为及，所以可直接验证以上是将变换为，类似地也可以将变换为接连几个分量为0的向量。设，非零向量，并记则由此确定的Householder矩阵其中是阶Householder矩阵，容易验证3.2吉文斯变换对某个，记是一个正交矩阵。若，表示将向量旋转角所得到的向量。推广到的情形。令 (3.3)称为Givens矩阵或Givens变换或称旋转矩阵（旋转变换）。具有性质：(1) 与单位矩阵只是在位置元素不同，其他一样(2) 为正交矩阵()(3) (左乘)只需计算第行与第行元素，即对有其中(4) (右乘)只需计算第列与第列元素利用平面旋转变换，可使向量中的指定元素变为零定理11（约化定理）设，任选，则存在Givens变换使得其中 ，当时，。证明 任选。若，选择，有（为单位阵）；若，选择满足利用矩阵乘法，有3.2矩阵的分解与舒尔分解定理12 设非奇异，则存在正交矩阵，使，其中为上三角矩阵证明 用Givens变换构造正交矩阵。(1) 第步约化。对的第一列列向量，可选择，使得的第2元素为0，结果只改变了的第1,2个元素。同理选择，使的第个元素为0，记则的第一列除对角元外的元素一定为0。同理可找到使第2列对角元以下元素为0，而第1列对角元以下元素与一样是0，逐步计算，可得其中为上三角阵，为正交阵。用Householder变换构造正交矩阵。记，它的第一列记为不妨设，可按公式(3.2)找到矩阵，使于是其中 。一般地，设其中为阶方阵，其对角线以下元素均为，为阶方阵，设其第一列为，我们可选择阶的Householder变换，使，根据构造阶的变换矩阵为于是有它和有类似的形式，只是为阶方阵，其对角线以下元素是，这样经过步运算得到，其中为上三角矩阵，为正交矩阵，从而有定理13（分解定理）设为非奇异矩阵，则存在正交矩阵与上三角矩阵，使有分解且当的对角元素为正时，分解是唯一的证明 由定理12可知，只要令就有。下面证明分解的唯一性，设有两种分解其中为正交矩阵为对角元素均为正的上三角矩阵，则由假设及对称正定矩阵的楚列斯基分解的唯一性，则得，从而可得，证毕定理12保证了可分解为，若非奇异，则也非奇异如果不规定的对角元为正，则分解不是唯一的，一般按吉文斯变换或豪斯霍尔德变换方法作出的分解，的对角元不一定是正的，设上三角矩阵，只要令则为正交矩阵，为对角元是的上三角矩阵，这样便是符合定理13的唯一分解例 用豪斯霍尔德变换作矩阵的分解解 按(3.2)式找豪斯霍尔德矩阵，使这里，。于是再找，使，得这是一个上三角矩阵，但对角元皆为负数，只要令，则有是对角元为正的上三角矩阵取则得除了分解，矩阵的舒尔(Schur)分解也是重要的工具，它解决矩阵可约化到什么程度的问题，对复矩阵，则存在酉矩阵，使为一个上三角矩阵，其对角线元素就是的特征值，称的舒尔分解。对于实矩阵，其特征值可能有复数，不能用正交相似变换约化为上三角矩阵，但它可约化为以下形式定理14（实舒尔分解）设，则存在正交矩阵使 (3.4)其中对角块为一阶或二阶方阵，且每个一阶是的实特征值，每个二阶对角块的两个特征值是的两个共轭复特征值记(3.4)式右端的矩阵为，它是特殊形式的块上三角矩阵，由(3.4)式有称为的实舒尔分解，有了定理14，可以考虑实运算的舒尔型快速计算，通过逐次正交变换使趋于实舒尔型矩阵，以求的特征值3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵设下面来说明，可选择初等反射矩阵使经正交相似变换约化为一个上海森柏格矩阵。(1) 设不妨设，否则这一步不需要约化，于是可选择Householder阵，使，其中 (3.5)再令，得(2)设对已完成第步，第步正交相似变换，则得或且其中，为阶上海森伯格矩阵，。设，选Householder阵，使其中 (3.6)令则 (3.7)重复上述过程，最多做步，则有总结上述讨论，有下面的定理定理15（豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵）设，则存在初等反射矩阵使（上海森伯格矩阵）本算法约需要次乘法运算，如果要把也算出来还需要增加次乘法运算如果是对称的，则也是对称的，这时是一个对称的三对角矩阵例 用豪斯霍尔德方法将矩阵约化为上海森伯格矩阵解 选取初等反射阵使其中(1) 计算（规范化）则有(2)约化计算:令则定理16（豪斯霍尔德约化对称矩阵为对阵三对角矩阵） 设为对称矩阵，则存在初等反射矩阵使证明 由定理15，存在初等反射矩阵使为上海森伯格矩阵，且亦是对称矩阵，因此，为对称三对角矩阵.由上面的讨论可知，当为对称矩阵时，由一步约化计算中只需计算及.又由于的对称性，故只需计算的对角线以下元素.注意到引进记号则对对称矩阵用初等反射矩阵正交相似约化为对称三对角矩阵大约需要次乘法.用正交矩阵进行相似化有一些特点,如构造的容易求逆,且的元素数量级不大,这个算法是十分稳定的.4 方法4.1 算法Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出了计算矩阵特征值的算法，Francis (1961,1962)利用矩阵的分解建立了计算矩阵特征值的方法.方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一.目前方法主要用来计算：（1）上海森伯格矩阵的全部特征值问题；（2）计算对称三对角矩阵的全部特征值问题。方法具有收敛快，算法稳定等特点.对于一般矩阵（或对称矩阵），首先用豪斯霍尔德方法将化为上海森伯格矩阵（或对称三对角矩阵），然后再用方法计算的全部特征值.设，对进行分解，有其中为上三角矩阵，为正交矩阵，若规定的对角元素为正，这种分解还是唯一的。因此若记，由公式 (4.1)可得序列.定理17（基本方法），由式(4.1)所产生的序列具有如下性质(1)相似于，即；(2)；(3)的分解式为.其中 。证明（1）由式(4.1)可知即与相似。（2）由(1)的结论递推即可得。（3）采用归纳法证。当时有。结论成立。假设有分解式那么，注意到，有由定理17知，将进行分解，即将用正交变换（左变换）化为上三角矩阵,其中,故.这就是说可由按下述方法求得:(1)左变换（上三角形矩阵）；(2)右变换定理18(方法的收敛性) 设,(1)如果的特征值满足:;(2)有标准形,其中,且设有三角分解(为单位下三角矩阵,为上三角矩阵),则由算法产生的本质上收敛于上三角矩阵,即若记,则(1); (4.2)(2)当时, (4.3)当时极限不一定存在.证明可参考文献32定理19 如果对称矩阵满足定理18的条件,则由算法产生的收敛于对角矩阵.证明 由定理18即知.关于算法收敛性进一步有以下结果:设,且有完备的特征向量集合,如果的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值,则由算法产生的本质收敛于分块上三角矩阵(对角块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个子块给出的一对共轭复特征值,每一个一阶对角子块给出的实特征值,即其中为子块,它给出一对共轭特征值。4.2 带原点位移的方法经分析指出:定理22中的速度依赖于比值,当很小时,收敛较快.如果为的一个估计,且对运用算法,则元素将以收敛因子线性收敛于零,元素将比在基本算法中收敛更快.为此,为了加速收敛,选择数列,按下述方法构造矩阵数列,称为带原点位移的算法:设;对进行分解;形成矩阵求得后,将进行分解 (4.4)形成矩阵 (4.5)如果令,则有,并且矩阵有分解式带位移方法中,每步并不需要形成和,可按下面的方法计算:首先用正交变换(左变换)将化为上三角矩阵,即(当为上海森伯格矩阵或对称三对角矩阵时,可为平面旋转矩阵)则下面考虑用方法计算上海森伯矩阵的特征值.如果,则称为不可约上海森伯格矩阵.设,由定理19可选正交矩阵使为上海森伯格矩阵,对应用算法.算法:。对于 (4.6)不失一般性,可假设(4.6)式迭代产生的每一个上海森伯格矩阵都是不可约的.否则,若在某步有于是,这个问题就分解为与;两个较小的问题.当或时,有或即可求出的特征值或(由右下角二阶矩阵的特征值求得),且求的其余特征值时,转化为降阶求的特征值.实际上,每当的次对角元适当小时,即可进行分离.例如,如果就把视为零.一般取,其中是计算中有效数字的位数.4.2用单步方法计算上海森伯格矩阵的特征值上海森伯格矩阵的单步方法:选取并设（设为不可约）对于(用位移来加速收敛)由实际计算为(1) 左边换:(上三角矩阵).(2) 右变换:其中为平面旋转矩阵.(1) 左变换计算确定平面旋转矩阵使设已完成第一次,第次左变换,即有确定平面旋转矩阵,使变为0,且完成第次左变换计算(只需计算(4.7)式所表示矩阵的第行及第行元素).继续这一过程,最后有(2)右变换计算在第次右变换中，只需计算第列及列元素。最后由上述讨论指出，如果为上海森伯格矩阵，则用算法产生的亦是上海森伯格矩阵，即上海森伯格矩阵在变换下形式不变。下述定理讨论一个极端的情况。定理20 设：（1）为不可约上海森伯格矩阵；（2）为一个特征值，则方法中.证明 记由假设为不可约矩阵，则上海森伯格矩阵亦为不可约。由将上海森伯格矩阵,约化为上三角矩阵的平面旋转变换的取法可知又因为为奇异矩阵,从而得到.因此,的最后一行为,即这就启发我们在方法迭代中,参数可选为,即的元素,通常可以作为特征值的最好近似.算法1 (上海森伯格矩阵的算法)给定为上海森伯格矩阵,本算法计算且覆盖1.2.对于(1)(2)确定使(3