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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 第九讲 比较和估算内容概述 在人们的学习和生活实践中经常要和各种各样的数打交道，在许多情况下把握数的相对大小关系就显得比较重要。今天我们将来学习一些数的比较和估算的方法，帮助我们更加深刻的理解数的概念，加深对数的实际意义的理解。大家都听说过“诸葛亮草船借箭”的故事吧！故事是这样的：当将士们将“借来”的箭正准备报给诸葛亮听，诸葛亮轻轻挥了一下羽毛扇，让这个士兵不要报出数来，然后对士兵们笑着说：“今天大获全胜，大家都很高兴，我就来猜猜箭数，给大家再助助兴。”然后对前来汇报的士兵说：“你不用说出箭数，我问你们十个问题，你们一一答来，我就知道箭数。”士兵们开始不信，一直等诸葛亮问完，士兵答完，诸葛亮报出数来，他们才个个称奇。诸葛亮问了哪些问题?又如何算得箭数呢? 小朋友们，学完这一讲你就能体会“比较和估算”的“妙处”了！自然就明白了诸葛亮的神机妙算了! 类型：数的大小比较小数的大小比较常用方法：为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.（如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式）分数的大小比较常用方法：（1）通分母：分子小的分数小.（2）通分子：分母小的分数大.（3）比倒数：倒数大的分数小.（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小。（适用于真分数）（5）重要结论：对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大（6）放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！【例1】 （奥数网习题库）给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998（难度系数：）分析：根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为 于是得到不等式： 【例2】 用尽可能多的方法解答下列题目：（1）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用“”号连接起来： ；（2）试比较和的大小 ； （3）（第六届迎春杯决赛）如果A=，B=,A与B中哪个数较大？（难度系数：）分析： （1）这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦。再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数。利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数。我们称之为“通分子比大小”的方法。 ；可见 ；也就是 .你若选择“通分母比大小”或“化成小数比大小”的方法也可以，但计算复杂，难免出错。（2）法1：观察可知，这两个分数的分母都比分子的lO倍多1对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小的倒数是110 ，的倒数是10，我们很容易看出1010，所以；法2：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以（3）法1：观察可以发现A、B都很接近1/2，且比它小。依照与1比较的思路，我们不防与1/2比较。-A=,-B=,-B-A，即B比A更接近，换句话说 BA .法2： ，.法3：以上答案仅供参考。希望通过两个联系题让学生初步掌握运用：比倒数法，与1相减比较法，运用结论。【例3】 （1）（第四届希望杯1试）设a=，b=,则在a与b中，较大的数是_。（2）（第十届迎春杯刊赛） .（难度系数：）分析：（1）可采用放缩法。因为=+，。所以，即a是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。（2）法1：综合利用“与1比较法”和“放缩法”。 .法2：其实你也可以这样想：， ，所以 . 【例4】 （华杯赛复赛）与相比，哪个更大，为什么？（难度系数：）分析：记，显然有： ，而，有，所以原分式比小 .【例5】 (第五届华杯赛口试)试比较: 与哪一个大? （难度系数：）分析：296=378，185=375，因为，所以【例6】 （小学数学奥林匹克竞赛决赛）在右边四个算式的四个方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的答数之和尽可能大，那么这个和等于多少？ （难度系数：）分析： 所以，0.3前面应填除号,前面填减号,前填加号，前填乘号，才能使这四个算式的答数之和最大这个最大的和是：【例7】 （奥数网习题库）从六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出的三个数使得A（B-C）尽量大，并写出A（B-C）的最简分数表示。（难度系数：）分析：要求A（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小积越大，显然A取次大数，B取最大数。六个数中分数、小数并存，发现是比1小的数，所以C为。再看其它五个数字，本题将分数化为小数容易判断：因此，故有： . 类型：数的估算 数的估算时常用方法：（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小。使结果介于某两个接近数之间，从而估算出结果。（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式。【例8】 （全国奥林匹克民族卷）在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少?（难度系数：）分析：法1：将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有，而、的倒数分别为、，而应该在之间，即在103.33102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以内所填的整数为103法2：这道题用到一个结论：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数加成分数的值介于原来两个分数之间用式子可以表示为：。由，所以方框中可以填103。法3：此题也可以这么解：根据：，那么：248031；7980，可以得到102.8103.3，所以103 .【例9】 （第五届希望杯培训试题）已知除法算式：1234567891011121331211101987654321它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是 . （难度系数：）分析：各取被除数、除数前两位，有：原式1232=0.375，原式13310.4194 ；在0.3750.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大. 再各取被除数、除数前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍无法确定 ； 又各取被除数、除数前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.说明原式的结果在0.39530.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5.【例10】 （首师大附中分班考试题）老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了”那么，正确的得数应是_.（难度系数：）分析：法1：因为14.7这三个数字正确，14.77102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，等，当和为103时，平均数为103714.71，当和为104时，平均数为10471486，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70平均数14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103714.71 .【例11】 （第三届华杯赛复赛试题）数的整数部分是几？（难度系数：）分析： 即1原式1.9，所以原式的整数部分是1.【例12】 （06年清华附测试题）已知：S=,则S的整数部分是_.（难度系数：）分析：如果全是，那么结果是，如果全是，那么结果是，所以S，不能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！下面先让我们来看看两个例子：（1）（2）聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！【例13】 （奥数网习题库）A=1的整数部分是多少?（难度系数：）分析：把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为，则A8；全部缩小为，则A1，这样无法确定A的整数是多少.如果用我们上题的方法我们也找不到答案.（同学们不妨想想为什么在这道题目中不能用上题方法？）于是我们来用一种分段放大和缩小的办法1 （）（）（）通过计算得13 11（+）+（+）+ 即A3，因为3A3，所以A的整数部分是3 “放大缩小”最难掌握的是放缩幅度一般先按较大的幅度去试，发现太大时再把幅度调整得小一点，重新估算13次，这样就会逐步达到目的 附加题目 学生在学习此节课时，可能要涉及到：“循环小数化分数的方法”，教师根据自己班级情况给与讲解。【附1】把0，04，化成分数. 分析：（1）0 104. 用一可得：0 (101)40 00 094所以：0 0 （2）041000=1434 用一得：04 (10001) 404044 04 所以： 04 04（3） 用一得： 0.（） 0. 所以0. 0.1（4）0. （）0. 所以： 【附2】（1）（奥数网习题库）比较以下小数，找到最大的数： .（2）比较以下5个数，排列大小： .（难度系数：）分析：（1）题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示： 112112112 l 1121000000 1121212121 1121210000 1120000000于是可以得出结果，是最大的数对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的。（2）题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较 小于l部分为和，将小数展开，并把化为分数得：042424，042857，显然，； 另一部分中，有整数、小数、假分数，先将假分数化为带分数，比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分：=16666661993一1992即1997+19921996+1993，两个蓝色正方形的面积大【附10】（奥数网习题库）计算 1.228.031.238.021.248.01的整数部分. （难度系数：）分析：在1.228.03，1.238.02，1.248.01中，各式的两个因数之和都相等。根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以1.228.031.238.021.248.01；则有1.228.0038.85= 44 ，A；再放：原式=401，所以 401原式401.故原式的整数部分是401.课外知识诸葛亮猜箭数 小朋友都听说过诸葛亮草船借箭的故事吧?诸葛亮、鲁肃等人率20只轻舟去曹营“借箭”归来，几乎未费江东半分之力，便得十万余支箭，这正是诸葛亮通天文、识地理、懂阵图、明兵势、善计谋的结果。可你知道，诸葛亮“借”了曹操多少支箭吗? 在船归岸时，周瑜就命令500军兵清点搬运箭，十万“狼牙”箭数好运走之后，还有很多没有清点。军兵们清点好剩下的箭数，正准备报给诸葛亮听，诸葛亮轻轻挥了一下羽毛扇，让这个士兵不要报出数来，然后对士兵们笑着说：“今天大获全胜，大家都很高兴，我就来猜猜箭数，给大家再助助兴。”然后对前来汇报的士兵说：“你不用说出箭数，我问你们十个问题，你们一一答来，我就知道箭数。”士兵们开始不信，一直等诸葛亮问完，士兵答完，诸葛亮报出数来，他们才个个称奇。 诸葛亮问了哪些问题?又如何算得箭数呢? 原来他预先估出余下的箭比1000支多一些，于是先问：“箭数比1024大还是小?”士兵回答说：“比1024小。”然后取1024的半数51