山东省各市中考数学分类解析 专题10 四边形.doc

山东各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形1、 选择题1. （2012山东滨州3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【 】a3：1b4：1c5：1d6：1【答案】 c。【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质。【分析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30，相邻的角为150，则该菱形两邻角度数比为5：1。故选c。2. （2012山东济南3分）下列命题是真命题的是【 】a对角线相等的四边形是矩形b一组邻边相等的四边形是菱形 c四个角是直角的四边形是正方形d对角线相等的梯形是等腰梯形 【答案】d。【考点】命题与定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。【分析】根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：a、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；b、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；c、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；d、正确。故选d。3. （2012山东莱芜3分）如图，在梯形abcd中，adbc，bcd90，bc2ad，f、e分别是ba、bc的中点，则下列结论不正确的是【 】aabc是等腰三角形 b四边形efam是菱形csbefsacd dde平分cdf【答案】d。【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。【分析】如图，连接ae，由adbc，bcd90，bc2ad，可得四边形aecd是矩形，ac=de。 f、e分别是ba、bc的中点，adbe。四边形abed是平行四边形。ab=de。 ab= ac，即abc是等腰三角形。故结论a正确。 f、e分别是ba、bc的中点，efac，ef=ac=ab=af。 四边形abed是平行四边形，afme。四边形efam是菱形。故结论b正确。 bef和acd的底be=ad，bef的be边上高=acd的ad边上高的一半， sbefsacd。故结论c正确。 以例说明de平分cdf不正确。如图，若b=450， 则易得ade=cde=450。而fdeade=cde。de平分cdf不正确（只有在b=600时才成立）。故结论d不正确。故选d。4. （2012山东聊城3分）如图，四边形abcd是平行四边形，点e在边bc上，如果点f是边ad上的点，那么cdf与abe不一定全等的条件是【 】adf=bebaf=ceccf=aedcfae【答案】c。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：a、当df=be时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，利用sas可判定cdfabe；b、当af=ce时，由平行四边形的性质可得：be=df，ab=cd，b=d，利用sas可判定cdfabe；c、当cf=ae时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，利用ssa不能可判定cdfabe；d、当cfae时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，aeb=cfd，利用aas可判定cdfabe。故选c。5. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，对角线acbd相交于点o，下列结论不一定正确的是【 】aac=bdbob=occbcd=bdcdabd=acd【答案】c。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】a四边形abcd是等腰梯形，ac=bd，故本选项正确。b四边形abcd是等腰梯形，ab=dc，abc=dcb，在abc和dcb中，ab=dc，abc=dcb，bc=cb，abcdcb（sas）。acb=dbc。ob=oc。故本选项正确。cbc和bd不一定相等，bcd与bdc不一定相等，故本选项错误。dabc=dcb，acb=dbc，abd=acd。故本选项正确。故选c。6. （2012山东日照3分）在菱形abcd中，e是bc边上的点，连接ae交bd于点f， 若ec=2be，则 的值是【 】(a) (b) (c) (d) 【答案】b。【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，在菱形abcd中，adbc，且ad=bc，befdaf，。又ec=2be，bc=3be，即ad=3be。故选b。7. （2012山东泰安3分）如图，在平行四边形abcd中，过点c的直线ceab，垂足为e，若ead=53，则bce的度数为【 】a53b37c47d123【答案】b。【考点】平行四边形的性质，对项角的性质，平行的性质。【分析】设ce与ad相交于点f。在平行四边形abcd中，过点c的直线ceab，e=90，ead=53，efa=9053=37。dfc=37四边形abcd是平行四边形， adbc。bce=dfc=37。故选b。8. （2012山东泰安3分）如图，在矩形abcd中，ab=2，bc=4，对角线ac的垂直平分线分别交ad、ac于点e、o，连接ce，则ce的长为【 】a3b3.5c2.5d2.8【答案】c。【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】eo是ac的垂直平分线，ae=ce。设ce=x，则ed=adae=4x。，在rtcde中，ce2=cd2+ed2，即x 2=22+（4x）2 ，解得x=2.5，即ce的长为2.5。故选c。9. （2012山东威海3分）如图，在abcd中，ae，cf分别是bad和bcd的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形aecf为菱形的是【 】a.ae=af b.efac c.b=600 d.ac是eaf的平分线10. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形abcd的下底在x轴上，且b点坐标为（4，0），d点坐标为（0，3），则ac长为【 】a4b5c6d不能确定【答案】b。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接bd，由题意得，ob=4，od=3，根据勾股定理，得bd=5。又abcd是等腰梯形，ac=bd=5。故选b。二、填空题1. （2012山东德州4分）在四边形abcd中，ab=cd，要使四边形abcd是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】ad=bc（答案不唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：ab=cd，当ad=bc时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当abcd时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 当b+c=180或a+d=180时，四边形abcd是平行四边形。故此时是中心对称图形。故答案为：ad=bc或abcd或b+c=180或a+d=180等（答案不唯一）。2. （2012山东临沂3分）如图，cd与be互相垂直平分，addb，bde=70，则cad= 【答案】70。【考点】菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。【分析】cd与be互相垂直平分，四边形bdec是菱形。db=de。bde=70，abd=55。addb，bad=9055=35。根据轴对称性，四边形acbd关于直线ab成轴对称，bac=bad=35。cad=bac+bad=35+35=70。三解答题1. （2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形abcd中，adbc，点e，f分别是ab，cd的中点，那么ef就是梯形abcd的中位线通过观察、测量，猜想ef和ad、bc有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【答案】解：结论为：efadbc，ef=（ad+bc）。理由如下：连接af并延长交bc的延长线于点g。adbc，adf=gcf。在adf和gcf中，adf=gcf，df=cf，dfa=cfg，adfgcf（asa）。af=fg，ad=cg。又ae=eb，efbg，ef=bg。efadbc，ef=（ad+bc）【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。【分析】连接af并延长交bc于点g，则adfgcf，可以证得ef是abg的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。2. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且dfbe求证：cecf；（2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果gce45，请你利用（1）的结论证明：gebegd（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b90，abbc，e是ab上一点，且dce45，be4，de=10, 求直角梯形abcd的面积【答案】解：（1）证明：在正方形abcd中，bccd，bcdf，bedf，cbecdf（sas）。cecf。（2）证明： 如图，延长ad至f，使df=be连接cf。 由（1）知cbecdf，bcedcf。bceecddcfecd，即ecfbcd90。又gce45，gcfgce45。cecf，gcegcf，gcgc，ecgfcg（sas）。gegf，gedfgdbegd。（3）如图，过c作cgad，交ad延长线于g在直角梯形abcd中，adbc，ab90。又cga90，abbc，四边形abcd 为正方形。 agbc。已知dce45，根据（1）（2）可知，edbedg。10=4+dg，即dg=6。设abx，则aex4，adx6，在rtaed中，de2=ad2ae2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。ab=12。梯形abcd的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是abcd正方形，易证得cbecdf（sas），即可得ce=cf。（2）延长ad至f，使df=be，连接cf，由（1）知cbecdf，易证得ecf=bcd=90，又由gce=45，可得gcf=gce=45，即可证得ecgfcg，从而可得ge=be+gd。（3）过c作cgad，交ad延长线于g，易证得四边形abcg为正方形，由（1）（2）可知，ed=be+dg，即可求得dg的长，设ab=x，在rtaed中，由勾股定理de2=ad2+ae2，可得方程，解方程即可求得ab的长，从而求得直角梯形abcd的面积。3. （2012山东济南7分）（1）如图1，在abcd中，点e，f分别在ab，cd上，ae=cf求证：de=bf（2）如图2，在abc中，ab=ac，a=40，bd是abc的平分线，求bdc的度数【答案】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，ad=bc，a=c， 在ade和cbf中，ad=cb ，a=c ，ae=cf，adecbf（sas）。de=bf；（2）解：ab=ac，a=40，abc=c=（18040）=70，又bd是abc的平分线，dbc=abc=35。bdc=180dbcc=75。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。【分析】（1）根据四边形abcd是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，由“sas”，证得adecbf，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证。（2）根据ab=ac，利用等角对等边和已知的a的度数求出abc和c的度数，再根据已知的bd是abc的平分线，利用角平分线的定义求出dbc的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出bdc的度数。4. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形abcd中，ab2，a60，以点d为圆心的d与边ab相切于点e(1)求证：d与边bc也相切；(2)设d与bd相交于点h，与边cd相交于点f，连接hf，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)d上一动点m从点f出发，按逆时针方向运动半周，当shdfsmdf时，求动点m经过的弧长(结果保留)【答案】解：（1）证明：连接de，过点d作dnbc，垂足为点n。 四边形abcd是菱形，bd平分abc。 d与边ab相切于点e，deab。dn=de。 d与边bc也相切。（2）四边形abcd是菱形，ab2，adab2。又a60，deadsin6003，即d的半径是3。又hdfhadc60，dhdf，hdf是等边三角形。过点h作hgdf，垂足为点g，则hg3sin600。（3）假设点m运动到点m1时，满足shdfsmdf，过点m1作m1pdf，垂足为点p，则，解得。 。m1df30。此时动点m经过的弧长为：。过点m1作m1m2df交d于点m2，则满足，此时m2df150，动点m经过的弧长为：。综上所述，当shdfsmdf时，动点m经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接de，过点d作dnbc，垂足为点n，则根据菱形的性质可得bd平分abc，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得dn=de，即bc垂直于过d上点n的半径，从而得到d与边bc也相切的结论。（2）求出hdf和扇形hdf即可求得阴影部分的面积。（3）根据shdfsmdf求出圆心角即可求动点m经过的弧长。注意有两点。5. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形abcd中，ab2，a60，以点d为圆心的d与边ab相切于点e(1)求证：d与边bc也相切；(2)设d与bd相交于点h，与边cd相交于点f，连接hf，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)d上一动点m从点f出发，按逆时针方向运动半周，当shdfsmdf时，求动点m经过的弧长(结果保留)【答案】解：（1）证明：连接de，过点d作dnbc，垂足为点n。 四边形abcd是菱形，bd平分abc。 d与边ab相切于点e，deab。dn=de。 d与边bc也相切。（2）四边形abcd是菱形，ab2，adab2。又a60，deadsin6003，即d的半径是3。又hdfhadc60，dhdf，hdf是等边三角形。过点h作hgdf，垂足为点g，则hg3sin600。（3）假设点m运动到点m1时，满足shdfsmdf，过点m1作m1pdf，垂足为点p，则，解得。 。m1df30。此时动点m经过的弧长为：。过点m1作m1m2df交d于点m2，则满足，此时m2df150，动点m经过的弧长为：。综上所述，当shdfsmdf时，动点m经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接de，过点d作dnbc，垂足为点n，则根据菱形的性质可得bd平分abc，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得dn=de，即bc垂直于过d上点n的半径，从而得到d与边bc也相切的结论。（2）求出hdf和扇形hdf即可求得阴影部分的面积。（3）根据shdfsmdf求出圆心角即可求动点m经过的弧长。注意有两点。6. （2012山东聊城7分）如图，矩形abcd的对角线相交于点o，deac，cebd求证：四边形oced是菱形【答案】证明：deac，cebd，四边形oced是平行四边形。 四边形abcd是矩形，oc=od。四边形oced是菱形。【考点】矩形的性质，菱形的判定。【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形oced是平行四边形，再根据矩形的性质可得oc=od，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。7. （2012山东临沂7分）如图，点af、cd在同一直线上，点b和点e分别在直线ad的两侧，且ab=de，a=d，af=dc（1）求证：四边形bcef是平行四边形，（2）若abc=90，ab=4，bc=3，当af为何值时，四边形bcef是菱形【答案】（1）证明：af=dc，af+fc=dc+fc，即ac=df。在abc和def中，ac=df，a=d，ab=de，abcdef（sas）。bc=ef，acb=dfe，bcef。四边形bcef是平行四边形（2）解：连接be，交cf与点g，四边形bcef是平行四边形，当becf时，四边形bcef是菱形。abc=90，ab=4，bc=3，ac=。bgc=abc=90，acb=bcg，abcbgc。，即。fg=cg，fc=2cg=，af=acfc=5。当af=时，四边形bcef是菱形【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ab=de，a=d，af=dc，根据sas得abcdef，即可得bc=ef，且bcef，即可判定四边形bcef是平行四边形。（2）由四边形bcef是平行四边形，可得当becf时，四边形bcef是菱形，所以连接be，交cf与点g，证得abcbgc，由相似三角形的对应边成比例，即可求得af的值。8. （2012山东青岛8分）如图，四边形abcd的对角线ac、bd交于点o，beac于e，dfac于f，点o既是ac的中点，又是ef的中点(1)求证：boedof；(2)若oabd，则四边形abcd是什么特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：beacdfac，beo=dfo=90。点o是ef的中点，oe=of。又dof=boe，boedof（asa）。（2）四边形abcd是矩形。理由如下：boedof，ob=od。又oa=oc，四边形abcd是平行四边形。oa=bd，oa=ac，bd=ac。平行四边形abcd是矩形。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）根据垂直可得beo=dfo=90，再由点o是ef的中点可得oe=of，再加上对顶角dof=boe，可利用asa证明boedof。（2）根据boedof可得do=bo，再加上条件ao=co可得四边形abcd是平行四边形，再证明db=ac，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。9. （2012山东日照9分）如图，在正方形abcd中，e是bc上的一点,连结ae，作bfae，垂足为h,交cd于f,作cgae,交bf于g.求证：（1） cg=bh；（2）fc2=bfgf；（3）.10. （2012山东泰安10分）如图，e是矩形abcd的边bc上一点，efae，ef分别交ac，cd于点m，f，bgac，垂足为c，bg交ae于点h（1）求证：abeecf；（2）找出与abh相似的三角形，并证明；（3）若e是bc中点，bc=2ab，ab=2，求em的长【答案】解：（1）证明：四边形abcd是矩形，abe=ecf=90aeef，aeb+fec=90，aeb+bea=90。bae=cef。abeecf。（2）abhecm。证明如下：bgac，abg+bag=90。abh=ecm。由（1）知，bah=cem，abhecm。（3）作mrbc，垂足为r，ab=be=ec=2，ab：bc=mr：rc=2，aeb=45。mer=45，cr=2mr。mr=er=。em=。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由四边形abcd是矩形，可得abe=ecf=90，又由efae，利用同角的余角相等，可得bae=cef，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：abeecf。（2）由bgac，易证得abh=ecm，又由（1）中bah=cem，即可证得abhecm。（3）首先作mrbc，垂足为r，由ab：bc=mr：rc=2，aeb=45，即可求得mr的长，又由em= 即可求得答案。11. （2012山东威海10分）（1）如图，abcd的对角线ac、bd交于点o。直线ef过点o，分别交ad、bc于点e、f 求证：ae=cf。（2）如图，将abcd（纸片）沿过对角线交点o的直线ef折叠，点a落在点a1处，点b落在点b1处。设fb1交cd于点g，a1b1分别交cd、de于点h、i。 求证：ei=fg。【答案】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，adbc。eao=fco，aeo=cfo。 又四边形abcd是平行四边形，oa=oc。 aoecof（aas）。ae=cf。 （2）由（1）得，ae=cf。 由折叠性质，得ae=a1e，a1e=cf。 a1=a=c，b1=b=d， eia1=dih=1800ddhi=1800b1b1hg=b1gh=fgc。 在eia1和fgc中，a1=c，eia1 =fgc，a1e=cf， eia1fgc（aas）。ei=fg。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质， 三角形内角和定理，对顶角的性质。【分析】（1）要证ae=cf，只要aoe和cof全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行线内错角相等的性质，可得eao=fco，aeo=cfo；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得oa=oc。从而根据aas可证。 （2）要证ei=fg，只要eia1和fgc全等即可。一方面由（1）可得ae=cf；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得a1=c，eia1 =fgc。从而根据aas可证。12. （2012山东潍坊10分）如图，已知平行四边形abcd，过a作ambc于m，交bd于e，过c作cnad于n，交bd于f，连结af、ce (1)求证：四边形aecf为平行四边形； (2)当aecf为菱形，m点为bc的中点时，求ab：ae的值【答案】（1）证明四边形abcd是平行四边形（已知），bcad（平行四边形的对边相互平行）。又am丄bc（已知），amad。cn丄ad（已知），amcn。aecf。又由平行得ade=cbd，又ad=bc（平行四边形的对边相等）。在ade和cbf中， dae=bcf=90 ，ad=cb，ade=fbc，adecbf（asa），ae=cf（全等三角形的对应边