广东省汕头市澄海凤翔中学高三数学上学期第三次段考试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第三次段考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设集合m=x|x2+2x=0，xr，n=x|x22x=0，xr，则mn=（）a0b0，2c2，0d2，0，22（5分）定义域为r的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）a4b3c2d13（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）a（2，4）b（2，4）c（4，2）d（4，2）4（5分）已知离散型随机变量x的分布列为x123p则x的数学期望e（x）=（）ab2cd35（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）a4bcd66（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则7（5分）已知函数f（x）=为r上的单调函数，则实数a的取值范围是（）a（2，3b（2，）c（，3d（2，3）8（5分）设整数n4，集合x=1，2，3，n令集合s=（x，y，z）|x，y，zx，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是（）a（y，z，w）s，（x，y，w）sb（y，z，w）s，（x，y，w）sc（y，z，w）s，（x，y，w）sd（y，z，w）s，（x，y，w）s二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）不等式x2+x20的解集为10（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=11（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为12（5分）在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=13（5分）给定区域d：令点集t=（x0，y0）d|x0，y0z，（x0，y0）是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定 条不同的直线二、（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=2，则圆c上的点到直线l的距离最小值是【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数（1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）若f（）=，是第二象限的角，求sin217（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=）18（14分）如图，直三棱柱abca1b1c1中，cacb，ca=cb=1，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点（1）求证：c1n平面bcn；（2）求直线b1c与平面c1mn所成角的正弦值19（14分）若数列an的前n项和为sn，对任意正整数n都有6sn=12an，记bn=an（）求a1，a2的值；（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，数列cn的前n项和为tn，证明：对于任意的nn*，都有tn20（14分）已知双曲线c：=1（a0，b0），f1、f2分别是它的左、右焦点，a（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点f2的直线l与双曲线c的右支交于p、q两点，其中点p位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线ap、aq分别与直线x=交于m、n两点，求证：mf2nf2；（3）是否存在常数，使得pf2a=paf2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21（14分）已知关于x的函数f（x）=x3+bx2+cx+bc，其导函数为f（x）令g（x）=|f（x）|，记函数g（x）在区间1、1上的最大值为m（）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值：（）若|b|1，证明对任意的c，都有m2（）若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第三次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设集合m=x|x2+2x=0，xr，n=x|x22x=0，xr，则mn=（）a0b0，2c2，0d2，0，2考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据题意，分析可得，m=0，2，n=0，2，进而求其并集可得答案解答：解：分析可得，m为方程x2+2x=0的解集，则m=x|x2+2x=0=0，2，n为方程x22x=0的解集，则n=x|x22x=0=0，2，故集合mn=0，2，2，故选d点评：本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集2（5分）定义域为r的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）a4b3c2d1考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可解答：解：y=x3的定义域为r，关于原点对称，且（x）3=x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为r，关于原点对称，且2sin（x）=2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选c点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握3（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）a（2，4）b（2，4）c（4，2）d（4，2）考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i，从而求得z对应的点的坐标解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z=42i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，2），故选c点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题4（5分）已知离散型随机变量x的分布列为x123p则x的数学期望e（x）=（）ab2cd3考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：利用数学期望的计算公式即可得出解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：e（x）=故选a点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键5（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）a4bcd6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：立体几何分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可解答：解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为v=故选b点评：本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力6（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得解答：解：选项a，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故a错误；选项b，若，m，n，则mn，或m，n异面，故b错误；选项c，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故c错误；选项d，若m，mn，则n，再由n可得，故d正确故选d点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题7（5分）已知函数f（x）=为r上的单调函数，则实数a的取值范围是（）a（2，3b（2，）c（，3d（2，3）考点：函数单调性的判断与证明 专题：计算题；函数的性质及应用分析：分类讨论，利用二次函数，指数函数的单调性，即可求得结论解答：解：若f（x）在r上单调递增，则有，解得2a3；若f（x）在r上单调递减，则有，a无解，综上实数a的取值范围是（2，3故选a点评：本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）设整数n4，集合x=1，2，3，n令集合s=（x，y，z）|x，y，zx，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是（）a（y，z，w）s，（x，y，w）sb（y，z，w）s，（x，y，w）sc（y，z，w）s，（x，y，w）sd（y，z，w）s，（x，y，w）s考点：进行简单的合情推理 专题：集合分析：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案解答：解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，此时（y，z，w）=（3，4，1）s，（x，y，w）=（2，3，1）s，故a、c、d均错误；只有b成立，故选b直接法：根据题意知，只要yzw，zwy，wyz中或xyw，ywx，wxy中恰有一个成立则可判断（y，z，w）s，（x，y，w）s（x，y，z）s，（z，w，x）s，xyz，yzx，zxy三个式子中恰有一个成立； zwx，wxz，xzw三个式子中恰有一个成立配对后有四种情况成立，第一种：成立，此时wxyz，于是（y，z，w）s，（x，y，w）s；第二种：成立，此时xyzw，于是（y，z，w）s，（x，y，w）s；第三种：成立，此时yzwx，于是（y，z，w）s，（x，y，w）s；第四种：成立，此时zwxy，于是（y，z，w）s，（x，y，w）s综合上述四种情况，可得（y，z，w）s，（x，y，w）s故选b点评：本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）不等式x2+x20的解集为（2，1）考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：先求相应二次方程x2+x2=0的两根，根据二次函数y=x2+x2的图象即可写出不等式的解集解答：解：方程x2+x2=0的两根为2，1，且函数y=x2+x2的图象开口向上，所以不等式x2+x20的解集为（2，1）故答案为：（2，1）点评：本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集10（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值解答：解：由题意得，y=k+，在点（1，k）处的切线平行于x轴，k+1=0，得k=1，故答案为：1点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大11（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i4，即i=1，2，3，4模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值解答：解：当i=1时，s=1+11=1；当i=2时，s=1+21=2；当i=3时，s=2+31=4；当i=4时，s=4+41=7；当i=5时，退出循环，输出s=7；故答案为：7点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理12（5分）在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本13（5分）给定区域d：令点集t=（x0，y0）d|x0，y0z，（x0，y0）是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定6 条不同的直线考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集t中元素的个数，即可得出正确答案解答：解：画出不等式表示的平面区域，如图作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集t=（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1），经过这六个点的直线一共有6条即t中的点共确定6条不同的直线故答案为：6点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题二、（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=2，则圆c上的点到直线l的距离最小值是22考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：直线与圆分析：把直线的参数方程化为普通方程，再把圆c的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心c到直线l的距离解答：解：直线l的参数方程为 （参数tr），消去t的普通方程为 xy4=0，圆c的极坐标方程为=2圆c的普通方程为 x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，则圆心c到直线l的距离为d=2，圆c上的点到直线l的距离最小值是dr=22故答案为：22点评：本题以曲线参数方程、极坐标方程出发，考查了参数方程、极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系【几何证明选讲选做题】15如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2，则bc=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用ab是圆o的直径，可得acb=90即acbd又已知bc=cd，可得abd是等腰三角形，可得d=b再利用弦切角定理可得ace=b，得到aec=acb=90，进而得到cedacb，利用相似三角形的性质即可得出解答：解：ab是圆o的直径，acb=90即acbd又bc=cd，ab=ad，d=abc，eac=bacce与o相切于点c，ace=abcaec=acb=90cedacb，又cd=bc，点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数（1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）若f（）=，是第二象限的角，求sin2考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用两角和的正弦公式对解析式化简，由正弦函数的最值和三角函数的周期公式求出函数的最大值和周期；（2）将x=代入由（1）求出的解析式，化简后求出正弦值，再由角的范围和平方关系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可解答：解（1）由题意得，=2sin（2x+），f（x）的最大值为2，且函数的最小正周期为t=，（2）由（1）知，即sin=，又是第二象限的角，cos=，sin2=2sincos=2（）=点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握17（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=）考点：回归分析 专题：计算题；概率与统计分析：（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图；（2）利用最小二乘法求得回归直线方程的系数b，再求系数a，得回归直线方程；（3）把x=10代入回归直线方程，求得预报变量y的值解答：解（1）散点图如图所示（2）由表中数据得：xiyi=52.5，=3.5，=3.5，=54，b=0.7，a=1.05回归直线方程为y=0.7x+1.05（3）将x=10代入回归直线方程，得y=0.710+1.05=8.05（小时），预测加工10个零件需要8.05小时点评：本题考查了线性回归方程的求法及应用，熟练掌握最小二乘法求回归直线方程的系数是关键18（14分）如图，直三棱柱abca1b1c1中，cacb，ca=cb=1，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点（1）求证：c1n平面bcn；（2）求直线b1c与平面c1mn所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（1）由已知中ca=cb=1，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点，结合正棱柱的几何特征，易得，进而c1nnc，由cacb，bccc1，结合线面垂直的判定定理及性质可得bcc1n，最后再由线面垂直的判定定理得到c1n平面bcn；（2）（方法一）以c为原点，ca、cb、cc1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求直线b1c的方向向量与平面c1mn的一个法向量，代入向量夹角公式可得直线b1c与平面c1mn所成角的正弦值（方法二）根据相似三角形的判定可得，进而bnmn，结合（1）中bnc1n，可得bn平面c1mn，延长b1b到b2，延长c1c到c2，使bb2=cc2=2，连接bc2、nc2，解nbc2中，结合bn是平面c1mn的法向量，由所作知bc2b1c，可得答案解答：证明：（1）ca=cb=1，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点ca=an=na1=a1c1=1，又由aa1底面abc，aa1底面a1b1c1（1分），即c1nnc（2分），因为cacb，bccc1，accc1=c，所以bc平面caa1c1（3分），又c1n平面caa1c1，bcc1n（4分），因为bcnc=c，所以c1n平面bcn（5分）解：（2）（方法一）以c为原点，ca、cb、cc1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（6分），则c（0，0，0）、c1（0，0，2）、b1（0，1，2）（7分），、n（1，0，1）（8分），、（9分），设平面c1mn的一个法向量为，则（10分），即，取（11分），所以=（13分）（方法二），（6分），所以bna=a1mn，bnmn（7分），由（1）知bnc1n，c1nmn=n，所以bn平面c1mn（8分）延长b1b到b2，延长c1c到c2，使bb2=cc2=2，连接bc2、nc2（9分），在nbc2中，（10分），（11分），=是平面c1mn的法向量，由所作知bc2b1c，从而，所以（13分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，是空间线面关系的综合应用，难度较大，属于难题19（14分）若数列an的前n项和为sn，对任意正整数n都有6sn=12an，记bn=an（）求a1，a2的值；（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，数列cn的前n项和为tn，证明：对于任意的nn*，都有tn考点：数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）由6s1=2a1，得，由6s2=12a2，得a2=（）由6sn=12an，得6sn1=12an1，从而=，进而=，由此求出=2n+1（）由cn=，利用裂项法求出tn=由此能证明对于任意的nn*，都有tn解答：解：（）由6s1=2a1，得6a1=12a1，解得（1分）6s2=12a2，得6（a1+a2）=12a2，解得a2=（3分）（）由6sn=12an，当n2时，有6sn1=12an1，（4分）得：=，（5分）数列an是首项，公比q=的等比数列，（6分）=（7分）bn=an，=2n+1（8分）（）证明：由（）有：cn=（10分）tn=+（12分）=（13分）对于任意的nn*，都有tn（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用20（14分）已知双曲线c：=1（a0，b0），f1、f2分别是它的左、右焦点，a（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点f2的直线l与双曲线c的右支交于p、q两点，其中点p位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线ap、aq分别与直线x=交于m、n两点，求证：mf2nf2；（3）是否存在常数，使得pf2a=paf2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：p（x1，y1）、q（x2，y2）联立，可得根与系数的关系又直线ap的方程为，解得m同理解得n只要证明=0即可（3）当直线l的方程为x=2时，解得p（2，3）易知此时af2p为等腰直角三角形，可得：=2当af2p=2paf2对直线l存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明解答：（1）解：由题可知：a=1，c=2b2=c2a2=3，双曲线c的方程为：（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2，另设：p（x1，y1），q（x2，y2）联立，化为（3t21）y2+12ty+9=0又直线ap的方程为，代入x=，解得m同理，直线aq的方程为，代入x=，解得n=+=+=mf2nf2（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得p（2，3）易知此时af2p为等腰直角三角形，其中，也即：=2下证：af2p=2paf2对直线l存在斜率的情形也成立tan2paf2=1，结合正切函数在上的图象可知，af2p=2paf2点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知关于x的函数f（x）=x3+bx2+cx+bc，其导函数为f（x）令g（x）=|f（x）|，记函数g（x）在区间1、1上的最大值为m（）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值：（）若|b|1，证明对任意的c，都有m2（）若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（）对函数求导，由题意可得，代入可求b，c，代入验证，找出符合条件的值（）（法1）代入整理g（x）=|（xb）2+b2+c|，结合|b|1的条件判断函数f（x）的对称轴与区间1，1的位置关系，从而求出该函数在1，1上的最大值m，则mf（1），mf（1），可证（法2）利用反证法：假设m2，由（1）可知m应是g（1）和g（1）中较大的一个，则有，代入课产生矛盾（）