【步步高】高三数学一轮 3.4 定积分与微积分基本定理导学案 理 北师大版.DOC

3.4定积分2014高考会这样考1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理；2.利用定积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等复习备考要这样做1.理解定积分的概念和几何意义；2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题1 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限2 定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x.当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫作函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx f(i)，其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积式， a，b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限，“”称为积分号3 定积分的运算性质(1)kf(x)dxkf(x)dx (k为常数)(2)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx (acb)4 微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a)这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式可以把f(b)f(a)记为f(x)|，即f(x)dxf(x)|f(b)f(a)难点正本疑点清源1定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等2由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分1 (2012江西)计算定积分(x2sin x)dx_.答案解析x2sin x，.2 直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_答案解析sx2dxx3|.3 (x21)dx_.答案12解析(x21)dx|33312.4 由ycos x及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为_答案0cos xdxcos xdx2cos xdx解析如图：阴影部分的面积为s0cos xdx.5 设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于 ()a. b. c. d.答案a解析由于f(x)xmax的导函数为f(x)2x1，所以f(x)x2x，于是f(x)dx(x2x)dx|.题型一定积分的计算例1求下列定积分：(1)x(x1)dx；(2)dx；(3)0sin2dx.思维启迪：化简被积函数，由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解解(1)x(x1)dx (x2x)dxx2dxxdxx3|x2|.(2)dxe2xdxdxe2x|ln x|e4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(3)0sin2dx0dx0dx0cos xdxx|0sin x|0.探究提高计算一些简单的定积分，解题的步骤：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导公式找到一个相应的原函数；利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；计算原始定积分的值 求下列定积分：(1)(4x33x2x)dx；(2)dx；(3)(cos xex)dx；(4)|1x|dx.解(1)(4x33x2x)dx(4x3)dx(3x2)dxxdxx4|x3|x2|(240)(230)(220)168222.(2)dxxdxx2dxdx|ln x|ln 2ln 2.(3)(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.(4)|1x|dx(1x)dx(x1)dx|01.题型二求曲边梯形的面积例2如图所示，求由抛物线yf(x)x24x3及其在点a(0，3)和点b(3,0)处的切线所围成的图形的面积思维启迪：求出两切线交点m的坐标，将积分区间分为两段、.解由题意，知抛物线yf(x)x24x3在点a处的切线斜率是k1f(0)4，在点b处的切线斜率是k2f(3)2.因此，抛物线过点a的切线方程为y4x3，过点b的切线方程为y2x6.设两切线相交于点m，由消去y，得x，即点m的横坐标为.在区间上，曲线y4x3在曲线yx24x3的上方；在区间上，曲线y2x6在曲线yx24x3的上方因此，所求的图形的面积是s (4x3)(x24x3)dx (2x6)(x24x3)dxx2dx (x26x9)dx.探究提高对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间 求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解由得交点a(1,1)；由得交点b(3，1)故所求面积sdxdx|.题型三定积分在物理方面的应用例3一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为_思维启迪：从题图上可以看出物体在0t1时做加速运动，1t3时做匀速运动，3t6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0t6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积答案 m解析由题图可知，v(t)，因此该物体在 s6 s间运动的路程为探究提高定积分在物理方面的应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所做的功 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解由变速直线运动的路程公式，可得st2dt(4t60)dt140dtt3|(2t260t)|140t|7 133 (m)7 673 (m)所以这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12分)在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积s1与s2之和最小，并求最小值审题视角(1)题目要求是求s1与s2之和最小，所以要先构造ss1s2的函数，利用函数思想求解(2)s1、s2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量规范解答解s1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即s1tt2x2dxt3.2分s2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即s2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以阴影部分的面积ss1s2t3t2(0t1)6分令s(t)4t22t4t0，得t0或t.8分t0时，s；t时，s；t1时，s.10分所以当t时，s最小，且最小值为.12分温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间方法与技巧1 求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数f(x)；计算f(b)f(a)(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分如：定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx.2 求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和(4)计算定积分失误与防范1被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2011湖南)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()a. b1 c. d.答案d解析2 (2012湖北)已知二次函数yf(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()a. b. c. d.答案b解析根据f(x)的图像可设f(x)a(x1)(x1)(a0)因为f(x)的图像过(0,1)点，所以a1，即a1.所以f(x)(x1)(x1)1x2.所以s(1x2)dx2(1x2)dx2.3 已知函数f(x)sin5x1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是()a. bc1 d0答案b解析4 设f(x)则f(x)dx等于()a. b. c. d不存在答案c解析如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (9x2)dx_.答案解析由定积分的几何意义知所求定积分为半圆x2y29 (y0)的面积s，s9.6 曲线y与直线yx，x2所围成的图形的面积为_答案ln 2解析sxdxdxx2|ln x|(ln 2ln 1)ln 2.7 汽车以v3t2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_ m.答案6.5解析s(3t2)dt|4410 (m)三、解答题(共22分)8 (10分)求在 0,2上，由x轴及正弦曲线ysin x围成的图形的面积解作出ysin x在0,2上的图像，如图所示ysin x与x轴交点的横坐标分别为x0，x，x2，所以所求面积为ssin xdx|sin xdx|(cos x)|(cos x)|4.9 (12分)汽车以54 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解由题意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以开始刹车5 s后，汽车停车所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为sv(t)dt(153t)dt|37.5(m)故汽车走了37.5 m.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011课标全国)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()a. b4 c. d6答案c解析由得其交点坐标为(4,2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx(x2)dx|81624.2 一物体在变力f(x)5x2(力单位：n，位移单位：m)作用下，沿与f(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时f(x)做的功为()a. j b. jc. j d2 j答案c解析f(x)cos 30dx(5x2)dx|，f(x)做的功为 j. 3. 图中阴影部分的面积是()a16 b18c20 d22答案b解析sdy|18.二、填空题(每小题5分，共15分)4. 如图所示，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_答案解析由，得x10，x22.s(x22x11)dx(x22x)dx|4.5 设函数f(x)ax2c (a0)，f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_答案解析f(x)dx(ax2c)dx|c，故caxc，即ax，又a0，所以x，又0x01，所以x0.6 (2012上海)已知函数yf(x)的图像是折线段abc，其中a(0,0)、b、c(1,0)函数yxf(x)(0