【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题14 直线、圆及其交汇问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题14直线、圆及其交汇问题1(2012浙江)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x2y40平行”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案c若l1l2，则2a20，a1.故a1是l1l2的充要条件2(2012陕西)已知圆c：x2y24x0，l是过点p(3,0)的直线，则()al与c相交 bl与c相切cl与c相离 d以上三个选项均有可能答案a把点(3,0)代入圆的方程得32024330，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆c相交，选a.3(2012重庆)设a，b为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|ab|()a1 b. c. d2答案d由于直线yx过圆心(0,0)，所以弦长|ab|2r2.4(2011湖北)过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y2k(x1)，又圆的方程可化为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ，解得k1或.答案1或本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力必备知识两直线平行、垂直的判定(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1l2k1k2，l1l2k1k21.若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直(2)l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则有l1l2a1b2a2b10，且b1c2b2c10，l1l2a1a2b1b20.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)，圆心为，半径为r；二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是必备方法1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况2处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化3直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值4两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程给定条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求圆的方程【例1】 已知圆c与圆x2y22x0相外切，并且与直线xy0相切于点q(3，)，求圆c的方程审题视点 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法听课记录解设圆c的圆心为(a，b)，则解得或所以r2或r6.所以圆c的方程为(x4)2y24或x2(y4)236. 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数【突破训练1】 已知圆过点a(1,2)，b(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆的方程解法一设圆的方程为x2y2dxeyf0.令y0，得x2dxf0.设弦的两端点的横坐标分别为x1、x2.因圆在x轴上截得的弦长为6，所以|x1x2|6，即d24f36，又圆过点a(1,2)，b(3,4)，所以d2ef50，3d4ef250，由解得或故所求圆的方程为x2y212x22y270或x2y28x2y70.法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由已知得解得或故所求圆的方程为(x6)2(y11)2130，或(x4)2(y1)210.常考查：给定圆的方程求直线斜率的最值；给定圆的方程与动直线的条件求参数【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值审题视点 研究与圆有关的最值问题，应该注意研究代数式的几何意义，可借助图形性质，利用数形结合求解听课记录解(1)原方程化为(x2)2y23，表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2.故x2y2的最大值为(2)274，最小值为(2)274. (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等【突破训练2】 已知圆c：(x1)2y28.(1)设点q(x，y)是圆c上一点，求xy的取值范围；(2)在直线xy70上找一点p(m，n)，使得过该点所作圆c的切线长最短解(1)设xyt，因为q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即2，解得：5t3，即xy的取值范围为5,3；(2)因为圆心c到直线xy70的距离d42r，所以直线与圆相离，又因为切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且半径为一定值，所以只有当过圆心向直线xy70作垂线，过其垂足作的切线长最短，其垂足即为所求；设过圆心作直线xy70的垂线为xyc0.又因为该线过圆心(1,0)，所以10c0，即c1，而xy70与xy10的交点为(3,4)，该点即为所求常考查：给定圆的方程解决切线问题；给定圆的方程，求直线被圆截得的弦长问题(直接求弦长；求参数的取值范围)【例3】 如图所示，已知以点a(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点b(2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点，q是mn的中点，直线l与l1相交于点p.(1)求圆a的方程；(2)当|mn|2时，求直线l的方程；(3)bb是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由审题视点 第(1)问由圆a与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆a的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论听课记录解(1)设圆a的半径为r，圆a与直线l1：x2y70相切，r2.圆a的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接aq，则aqmn.|mn|2，|aq|1，由|aq|1，得k.直线l的方程为3x4y60，所求直线l的方程为：x2或3x4y60.(3)aqbp，ab0，bb(ba)bbbabbb.当直线l与x轴垂直时，得p，则b，又b(1,2)bbbb5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得p.b.bbbb5，综上所述，bb是定值，且bb5. (1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长构成直角三角形关系来处理(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨【突破训练3】 (2012临沂模拟)在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆c上(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线xya0交于a，b两点，且oaob，求a的值解(1)曲线yx26x1与坐标轴的交点为(0,1)，(32，0)故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32(t1)22t2.解得t1，则圆的半径为3.所以圆的方程为(x3)2(y1)29.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2(2a8)xa22a10，由已知可得判别式5616a4a20，由韦达定理可得x1x24a，x1x2，由oaob可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a.所以2x1x2a(x1x2)a20.由可得a1，满足0，故a1.直线问题“误”汇易错点1：忽视截距为零或认为截距是距离的情况【例1】 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_解析(1)直线在两坐标轴的截距为0时，直线方程为yx.(2)直线在两坐标轴的截距不为0时，设直线方程为xya.因为点(2,1)在直线上，所以21a，即a3.直线方程为xy3.故所求直线方程为yx或xy3.答案yx或xy3老师叮咛：考生可能产生两种错误，第一种错误：忽视截距为零的情况，只答出第(2)种情况；第二种错误：认为截距是距离，把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来，导致有错误答案为“所求直线方程为yx或xy3或xy1”.【试一试1】 已知直线l过点(2，6)，它在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程解当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为yx3x，可化为3xy0；当直线l不过原点时，设它在x轴上的截距为a(a0)，则它在y轴上的截距为2a，则直线的截距式为1，把点(2，6)的坐标代入得1，解得a1，故此时直线的方程为x1，可化为2xy20.综上，直线的方程为3xy0或2xy20.易错点2：忽视直线的斜率不存在的情况【例2】 已知直线l过点(2,0)，直线x2y50和3xy10的交点到直线l的距离为3，求直线l的方程解由，得即直线x2y50和3xy10的交点坐标为(1,2)(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，点(1,2)到该直线的距离为3，适合题意(2)当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的点斜式方程为yk(x2)，可化为kxy2k0.依题意得3，解得k.所以，此时直线l的方程为5x12y100.综上所述，直线的方程为x20或5x12y100.老师叮咛：忽视直线的斜率不存在的情形，也是一类常见错误在相关问题中，需设直线的斜率时，一定要注意分析直线的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分类讨论【试一试2】 已知直线l1：axy2a0与直线l2：(2a1)xaya0互相垂直，则a等于()a1 b0 c1或0 d1或1答案 c法一依题意有a(2a1)(1)a0；解得a0或a1.法二a0时直线l2斜率不存在，直线l1的斜率为0，两直线垂直a0时，直线l1的斜率为a，直线l2的斜率为，因为直线l1与直线l2垂直，所以a1，解得a1.故所求a值为0或1，选c.易错点3：圆上的点到直线的距离转化的情况【例3】 若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是()a. b. c. d.解析圆方程可整理为(x2)2(y2)2(3)2，知圆心坐标为(2,2)，半径为3，圆上至少有3个点到直线l：axby0的距离为2，则圆心到直线l的距离应小于或等于，所以，2410，解得22.令直线斜率为k，则k，得2k2，所以直线的倾斜角范围是，选答案b.另解：根据图象(略)答案b老师叮咛：学生不会将“圆上至少有3个点到直线l：axby0的距离