压缩映射原理及其应用.doc

浅谈数学思想在解题中的应用（函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。）摘要：随着数学教育的改革,对数学教育提出了新的要求。学生要熟练掌握和运用数学基础知识、基本技能、基本思想，并且把数学知识的深层知识数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。数学中渗透着数学思想方法,它们是基础知识的灵魂.如果能使它们落实到我们学习和应用数学中去,那么对我们的数学是很有帮助的。翻阅了前人的研究名著，专家们详细的解决了数学中的各类数学思想，详细的给出了各种数学思想的精确定义及解决办法，但单纯的数学思想已不再满足学习者的需要，他们更关注的是数学思想在各科的灵活运用，以及何时用、怎么去用的问题，本文详细地介绍了利用数学思想来解决数学习题方法。第一章主要介绍了数学思想的定义、分类及其主要特征；第二、三章分别依照数形结合思想，转化与化归思想，函数与方程思想来解决各科中的题目，充分体现这些思想在解题中的巧妙性。Abstract: with the development of mathematics education reform of mathematics education, puts forward new requirements. Students to master and apply mathematical basic knowledge, basic skills, basic idea, and mathematical knowledge to deep knowledge is called - the mathematical thoughts and methods into the basic knowledge, which fully embodies the Chinese mathematics educators for mathematics curriculum development of a consensus. Infiltration of mathematical thought and method in mathematics, which is the basis of knowledge of the soul. If you can make them into our study and applied mathematics, so our maths is very helpful. Read the previous research works, the experts detailed solves all kinds of mathematical thinking in mathematics, gives a detailed mathematical thought accurate definition and solution, but the simple mathematical ideas no longer meet the needs of learners, they are more concerned with mathematical ideas in the flexible use, and when to use, what to do with the problem, this paper introduces in detail the use of mathematical thinking to solve mathematical problem method. The first chapter mainly introduces the definition of mathematical thinking, classification and main characteristics; second, the three chapter separately in accordance with the number shape union thought, conversion and transformation, the function and equation thought to solve the subjects in question, fully embodied these ideas in solving problems of the clever.关键词：数形结合思想， 转化与化归思想 数学思想数形结合思想数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。而实际上，在中学数学各科教学中都渗透了数和形相结合的内容。例如，实数与数轴上的点一一对应，复数与坐标平面的点一一对应，函数与图像的相互表示，二元一次方程表示坐标平面上的一条直线，二元二次方程表示二次曲线等。在数学教学中，把数和形结合起来研究，可以把图形的性质问题转化为数量关系问题，或将数量关系问题转化为图形的性质问题，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。例1：已知a,b都是小于1的正数，求证：+ 该题看似复杂，但若把数和形结合起来考虑，问题就可化简。因为a,b都是小于1的正数且题目的根号所表示的可以是直角三角形斜边的长，因此可考虑利用边长为1的正方形ABCD（如图）其对角线AC=BD= 。图根据题意，将正方形ABCD分成四个矩形，其对角线的长分别为 AO= BO= CO= DO= 而AO+COAC, BO+DOBD. 于是问题得证。例2：已知a, b 均为正数，且a+b=2.求 的最小值？该题看似复杂，但若把数和形结合起来考虑，把问题转化成图形问题就简单了。如图作线段AB=2,在AB上截取AE=a ,EB=b 。过A作AC垂直AB且AC=2. 过B作BD垂直AB且BD=1由勾股定理知CE= , BD= .顾可知原题即求CE+ED最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE。由三角形两边之和大于第三边，则G, E, D ,三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F,使BF平行AG且BF=AG，连接GF.。则在三角形DGF中，DF=3 ，GF=2。所以 即 的最小值为。掌握数形结合思想在解题中的应用，有利于我们利用以数和形相结合的观点钻研教材，理解数学中的有关概念，公式和法则，掌握数和形相结合进行分析问题与解决问题的方法，从而提高运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和解题能力。转化与化归思想数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的，转化与化归法是一种重要的数学思想，所谓转化与化归，就是将待解决或未解决问题，通过某种转化过程，化结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去。在中学数学中，转化与化归法的应用，无处不在。在数学中注意转化与化归思想的培养对学生学习数学，发展解题能力以及对教师提升自身教学水平都无疑是至关重要的。转化与化归思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用转化与化归的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。例如1求证F(n)=能被6整除 现把原式适当地变形 F(n)= =（n+1）(n+2)(n+3)+6 上式表明，F(n) 是三个联系自然数之积与6之和。因而问题转化为往证：（1） 三个连续自然数之积总能被6整除。 如果我们对（1）的证明方法已经掌握，那么原问题便可由此而获证，但若我们对（1）的证法仍属未知，那么因为6=2*3，而2与3又互质，因而（1）又可转化为往证：（2）三个连续自然数之积，既能被2整除，又能被3整除 。 注 可以通过可用数学归纳法来证明:n(n+1)(n+2) (n为任意自然数,注意,现在规定0是自然数,n为0时显然成立,故下面还是以1为奠基当n=1时,1*2*3=6能被6整除,结论成立,假设n=k时结论成立,即k(k+1)(k+2)能被6整除,那么当n=k+1时:(k+1)(k+1)+1(k+1)+2=(k+1)(k+2)(k+3),拆开最后一个括号=k(K+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)这两项中,由归纳假设,前项能被6整除,后项有两连续整数相乘,必含因数2,前面还有因数3,故后项也能被6整除,这就证明了当n=k+1时结论成立.综上所述,结论对一切均自然数都成立因此原问题可由此获解。例2：已知A,B,C是三角形ABC的三内角，求y=sinAsinBsinC的最大值注意到函数式中的sinA，sinB，sinC，它容易使我们联想到正弦定理： (R是三角形外接圆半径)。考虑到y值得大小与三角形外接圆半径的大小无关，因此不妨碍假定R=1，于是根据正弦定理便可将原函数式变形为 y=sinAsinBsinC= = 其中是我们所熟悉的三角形面积公式，于是原问题就转化为求单位圆内接三角形面积之最大值。这是一个为我们所熟悉并能求解的问题，从而原问题也就由此而得解。事实上，由于圆内接三角形中以正三角形面积最大 。 因而当A=，b=c= 时能取最大值。故所求y的最大值为。 以上两个例之形式各不相同，求解或证明的具体过程也各各相异，但其思考方式即有一个共同的特点，即都是通过转化，或在转化，将待解决的问题归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个较容易解决的问题，这就是化归方法的一般模式。然而这只是在原则上教我们一种解决数学问题的基本手段，至于对每一个具体问题如何去具体实现这种转化过程，以及能否依靠或单独依靠化归方法解决问题，这既要在总体上去作多方面的探索，还要加上具体实现化归过程时的种种数学技巧，这也是我所要重点讨论和研究的一个问题。函数与方程函数是中学数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。因此，越来越成为中学数学的长考不衰的热点。 函数思想在数学中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。 函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)0就是求函数yf(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数yf(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；合参数的方程f(x, y, t)=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。 例1：求使不等式 的一切实数m都成立的x的取值范围?注：本题看上去是一个不等式问题，但经过函数相思中的显化 转化 构造 建立使问题转变成方程便简单了。即把m看作自变量，x视为参数，构建并显化函数，则转化为y是m的一次函数