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文档简介

数列特征方程的应用所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：1. 形如的数列，一般是令，解出，则是公比为的等比数列 。2. 形如的数列，一般是令，解出，则 当时, ，其中为待定系数，可根据初始值求出；当时，其中为待定系数，可根据初始值求出。3. 形如的数列，一般是令，解出，则 当时，为等比数列；当时，为等差数列。典型例题： 例1. （2012年全国大纲卷理12分）函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。（1）证明：；（2）求数列的通项公式。【答案】解：（1），点在函数的图像上。 由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。直线的直线方程为。令，可求得，解得。下面用数学归纳法证明：当时，满足，假设时，成立，则当时，由得，即，。也成立。综上可知对任意正整数恒成立。下面证明：，由得，。即。综上可知恒成立。 （2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或。 ，。两式相除可得。而数列是以为首项以为公比的等比数列。【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明，运用差值法证明，从而得证。
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