二次函数与一元二次方程 (4).doc

新课标（RJ） 数学 九年级上册第二十二章 二次函数22.2 二次函数与一元二次方程 素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣图2221情景导入某火车站在地面上欲建造一个圆形喷水池，如图2221，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用yx2x来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？说明与建议 说明：通过对喷水池的实际问题的探究，建立二次函数与一元二次方程关系的模型，从而导出新课，制造悬念，使学生兴趣盎然学习新课建议：帮助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不致落到池外是什么意思，水流最远是多少，如何求，此时的函数值y是多少，为什么是0等问题图2222置疑导入多媒体演示：出示二次函数yx22x3的图象，如图2222所示，根据图象回答：(1)当x为何值时，y0?(2)你能根据图象，求方程x22x30的根吗？(3)二次函数yx22x3与一元二次方程x22x30之间有什么关系？说明与建议 说明：通过对二次函数图象问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对二次函数yx22x3与一元二次方程x22x30之间关系的了解和认识建议：引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点的坐标是什么，有什么意义，与方程的根有什么联系类比导入(1)回忆：一次函数ykxb(k0)与一次方程kxb0之间有何关系？(2)观察：二次函数yax2bxc与一元二次方程ax2bxc0在结构上有哪些相同之处？(3)类比猜想：二次函数yax2bxc的图象与一元二次方程ax2bxc0有何关系？说明与建议 说明：通过对一次函数ykxb与一次方程kxb0的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数yax2bxc与一元二次方程ax2bxc0的关系建议：引导学生明白一元二次方程ax2bxc0是当y0时二次函数yax2bxc的特殊情形进一步引入教材中的问题素材二教材母题挖掘教材母题第47页第4题抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴【模型建立】方法一：抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(1，0)，(3，0)，代入求得ya(x1)24a，所得对称轴为直线x1；方法二：抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(1，0)，(3，0)，可设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，所得对称轴为直线x1；方法三：根据抛物线的对称性，对称轴与x轴的交点是(1，0)，(3，0)的中点，所以对称轴为直线x1.本题已知简洁，结论明了，解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还要分a0和a0的情况讨论，适当改变条件就可得到许多新题【变式变形】1已知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两根为x11，x23，则抛物线yax2bx(c1)的对称轴是(B)Ay轴B直线x1C直线x2 D直线x3图22232如图2223，抛物线yax2bxc交x轴于(1，0)，(3，0)两点，则下列判断错误的是(D)A图象的对称轴是直线x1B当x1时，y随x的增大而减小C一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是1和3D当1x3时，y03抛物线yax2bxc与x轴的交点是A(1，0)，B(3，0)，与y轴的交点为D，顶点为C，若四边形ABCD的面积为18，求抛物线的解析式答案：y2x24x6或y2x24x64已知抛物线yax2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)判断ABC是否为直角三角形，并给出理由答案：(1)yx22x3(2)不是理由略图22245如图2224，已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标答案：(1)yx22x3，顶点D的坐标为(1，4)(2)S四边形PMAC最大值，此时点P的坐标为素材三考情考向分析命题角度1 根据二次函数与一元二次方程的关系解方程根据二次函数确定一元二次方程的根，关键是看抛物线与x轴的交点的横坐标如教材P47习题22.2 T2，T3，T6.命题角度2 根据二次函数与一元二次方程的关系判断待定系数的范围能根据抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围(比如b24ac)，有时候还会考查当x1或x1时代数式(abc或abc)的值注意相关代数式特点及图象对应特征的积累图2225例孝感中考 抛物线yax2bxc的顶点为D(1，2)，与x轴的一个交点A在点(3，0)和点(2，0)之间，其部分图象如图2225所示，则以下结论：b24ac0；abc0；ca2；方程ax2bxc20有两个相等的实数根其中正确的结论有(C)A1个B2个C3个D4个 P47习题复习巩固1已知函数yx24x3.(1)画出这个函数的图像；(2)观察图像，当x取哪些值时，函数值为0?解： (1)如图所示：(2)由图像可知，当x1或x3时，y0.2用函数的图像求下列方程的解：(1)x23x20；(2)x26x90.解： (1)画出函数yx23x2的图像如图1. 图1图2可知方程x23x20的解为x11，x22.(2)画出函数yx26x9的图像如图2，可知方程x26x90的解为x1x23.综合运用3如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 yx2x.(1)画出上述函数的图像；(2)观察图像，指出铅球推出的距离解： (1)图像如图所示：(2)从图像可以看出，铅球的落地点距原点10个单位，即铅球推出的距离为10 m.4抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴解： 由抛物线的对称性知，这条抛物线的对称轴为直线x1.拓广探索5画出函数yx22x3的图像，利用图像回答：(1)方程x22x30的解是什么；(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解： 函数图像如图所示：(1)方程x22x30的解是x11，x23.(2)当x1或x3时，函数值大于0.(3)当1x0，抛物线yax2bxc的顶点在什么位置？(1)方程ax2bxc0有两个不等的实数根；(2)方程ax2bxc0有两个相等的实数根；(3)方程ax2bxc0无实数根如果a0呢？解： (1)顶点在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上(2)顶点在x轴上(3)顶点在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上当a0时，(1)顶点在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上；(2)顶点在x轴上；(3)顶点在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上当堂检测1. 已知抛物线yx2x1与x轴的交点为（m，0），则代数式m 2m2013的值为（ ）A2011 B2014 C2013 D20122. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a0，a、b、c为常数)的一个解的范围是（ ）x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.09A3x3.23B3.23x3.24C3.24x3.25D3.25x0； 2a+b0； 4a2b+c=0； a：b：c= 1：2：3.其中正确的是（ ）A. B. C. D.专题二二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系4设一元二次方程=m（m0）的两实根分别为，且，则，满足（）A12B12C12D1且25二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A B3 C D96已知函数y=mx26x+1（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值7已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(1,1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值？并求出最小值.8.【2012珠海】如图，二次函数y=(x2)2+m的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足kx+b(x2)2+m的的取值范围.专题三 利用二次函数知识解决动态问题9一条抛物线y=x2+mx+n经过点（0，）与（4，）（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当P与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标【知识要点】1二次函数yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）的关系（1）二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当x= 时，函数的值是0，因此x=就是方程ax2bxc=0的一个根.（2）二次函数yax2bxc的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2bxc=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数，有两个不相等的实数根.2二次函数与一元二次不等式的关系抛物线yax2bxc在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集，所以，利用画二次函数yax2bxc的图象的方法，可以直接地求得不等式ax2bxc0或ax2bxc0的解集【温馨提示】1当抛物线yax2bxc开口向下，与坐标轴有两个交点时，y0对应的x值有两部分，不要漏掉；当抛物线yax2bxc开口向上，与坐标轴有两个交点时，y0对应的x值有两部分，不要漏掉2一元二次方程的解是对应的二次函数与x轴交点的横坐标，而不是与x轴的交点.3圆与坐标轴相切包括与x、y轴相切，不要漏掉某一部分.【方法技巧】1由二次函数图象判断yax2bxc解析式中字母的符号：（1）a：抛物线开口向上，则a0；抛物线开口向下，则a0；（2）b：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴则b=0；简记“左同右异y轴b=0”；（3）c：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0；抛物线与y轴的交点在原点，c=0；简记“上正、下负、原点c为0”；（4）b2-4ac：抛物线与x轴两个交点，b2-4ac0；抛物线与x轴一个交点，b2-4ac=0；抛物线与x轴没有交点，b2-4ac0；（5）判断a+b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断a-b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断4a+2b+c的符号，看当x=2时，y的值与0的关系；判断4a-2b+c的符号，看当x=-2时，y的值与0的关系；（6）判断2a+b的符号看对称轴与直线x=1的关系；判断2ab的符号看对称轴与直线x=1的关系.2圆与x轴相切时，圆心的纵坐标的绝对值等于半径；圆与y轴相切时，圆心的横坐标的绝对值等于半径.参考答案1D【解析】二次函数化为一般形式得，所以对称轴方程为=，因为对称轴在y轴的右侧，所以，解得2D【解析】a、b同号且a=b，c0，A、B均错误；当x=1时，由图象知y=a+b+c0，即2b+c0，故C错误；由2b+c0，两边加上2b得4b+c2b,不得式左边的b用a替换，可得4a+c2b,所以D正确.3D【解析】抛物线与x轴有两个交点，b2-4ac0，正确；对称轴为直线x=1， =1，可得2a+b=0，错误；当x= -2时，y=4a-2b+c0，错误；由x= -1时，y=a-b+c=0，2a+b=0，可得b=-2a，c=-3a，a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，正确.4D【解析】令m=0，则函数的图象与x轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），故此函数的图象为： m0，1，2故选D5B【解析】抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3，a0，即.一元二次方程有实数根，=，即，即，解得，m的最大值为36解：（1）当x=0时，y=1所以不论m为何值，函数y=mx26x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）（2）当m=0时，函数y=6x+1的图象与x轴只有一个交点；当m0时，若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx26x+1=0有两个相等的实数根，所以=（6）24m=0，m=9综上，若函数y= mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或97解：把(1,1)代入y=x2+px+q得pq=2，q=p2.设抛物线y=x2+px+q与x轴交点A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),d=|x1-x2| ，d2=(x1x2)2=(x1+x2)24 x1x2 = p24q= p24p+8=(p2)2+4,当p=2时，d2有最小值，最小值是4.8解：（1）将点A（1，0）代入y=（x2）2+m得，（12）2+m=0，解得m=1.则二次函数解析式为y=（x2）21当x=0时，y=41=3，故C点坐标为（0，3）.由于C和B关于对称轴对称，设B点坐标为（x，3），令y=3，有（x2）21=3，解得x=4或x=0，则B点坐标为（4，3）设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得， 解得则一次函数解析式为y=x1.（2）A、B坐标为（1，0）、（4，3），当kx+b（x2）2+m时，1x49解：（1）由抛物线过（0，），（4，）两点，得解得抛物线的解析式是y=x2x+.由y=x2x+=（x2）2+，得抛物线的顶点坐标为（2，）.（2）设点P的坐标为（x0，y0）.当圆P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1.由x0=1，得y0=11+=.由x0=1，得y0=（1）2（1）+=.此时点P的坐标为P1（1，），P2（1，）.当圆P与x轴相切时，有|y0|=1.抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y00，y0=1.由y0=1，得x02x0+=1，解得x0=2.此时点P的坐标为P1（2，1），P4（2+，1）.综上所述，圆心P的坐标为P1（1，），P2（1，），P3（，1），P4（，1）有关希尔伯特的两个小故事北京师范大学数学系王敬庚德国数学家大卫希尔伯特（18621943）是20世纪最伟大的数学家之一他对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理学和数学基础等他在1899年出版的几何基础成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人1900年希尔伯特38岁时在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演在讲演中，他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势，以卓越的远见和非凡的洞察力，提出了新世纪所面临的23个问题这23个问题涉及现代数学的大部分重要领域（著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分），对这些问题的研究有力地推动了20世纪各个数学分支的发展本文介绍关于希尔伯特青年时代的两个小故事一、老师在课堂上现想现推1880年秋天，18岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他学习法律的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上，然而对希尔伯特来说，大学生活的更加迷人之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了大学第一学期，希尔伯特选学了积分学，矩阵论和曲面的曲率论三门课根据规定。第二学期可以转到另一所大学听课，希尔伯特选择了海德尔堡大学，这是当时德国所有大学中最讨人喜欢和最富浪漫色彩的学校希尔伯特在海德尔堡大学选听拉撒路富克斯的课富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和线性微分方程几乎成了同义语他讲课确实与众不同，给人的印象很深课前他不大做准备，对要讲的内容，在课堂上现想现推于是常常发生这样的情形，某个问题在黑板上推不下去了，这时他就再想另外一种方法，有时一连要换好几种方法，但他最后总能推导出结果来他就是这样，习惯于在课堂上把自己置于危险的境地这样的课学生们如何看呢？他的一位学生后来回忆时写道：这样的课，使学生们“得到一个机会，瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程”我们可以想象，善于思考和学习的希尔伯特肯定会从中领悟到一个数学家是如何思考问题的，这种包括几经碰壁终于找到解法的探索过程在教科书上无论如何是看不到的把思考问题的实际过程展现给学生看，这样做实际上是非常富于启发性的我国著名的数学方法论专家徐利治教授认为这一点对希尔伯特的成长肯定起过很好的作用我想这一点对我们今天也很有启发学习数学不仅要学会这道题的解法，而且更要学会这个解法是如何找到的即学会思考二、苹果树下的例行出步希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林去听课，但他深深地依恋自己的家乡，于是他又回到了哥尼斯堡大学再下一个学期1882年春天，希尔伯特仍决定留在哥尼斯堡这时赫尔曼阅可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学闽可夫斯基从小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道：“闭可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖金这时，年仅17岁的阅可夫斯基正沉浸在一项很深奥的研究之中解巴黎科学院出榜征解的一个问题：把一个数表成五个平方数的和一年后，1883年春天，18岁的阅可夫斯基和英国著名的数学家史密斯共享巴黎科学院的这项大奖这件事轰动了整个哥尼斯堡希尔伯特的父亲因此曾告诫自己的儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友但由于对数学