《两个变量的线性关系》（人教）.docx

人民教育出版社 高二（必修3） 畅言教育两个变量的线性关系 教学目标【知识与能力目标】（1）经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；（2）知道最小二乘法的思想；（3）能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。【过程与方法能力目标】发现随机变量存在规律，经历线性回归分析过程，借助图形计算器得出回归直线，增强应用数学知识和信息技术解决实际问题的意识。【情感态度价值观目标】通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，通过合作学习，养成倾听别人意见和建议的良好品质。 教学重难点【教学重点】根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。【教学难点】理解最小二乘法的思想。 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、复习回顾，新课导入例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系.（1）画出散点图：（2）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小。 所以温度与杯数成负相关。图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。（3）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方的点和下方的点的数目相同。由图可见，所有数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。记此直线方程是y=bx+a由上述实例，引出我们这节课的内容。二、探究新知1. 回归方程y=bx+a这里在y的上方加记号“”，是为了区分Y的实际值y。 表示当x取xi (i=1，2，6)时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是yi=bxi+a。上式叫做Y对于x的回归直线方程，b叫做回归系数。要确定回归直线方程，只要确定a与b。2. 回归直线的方程的求法设x，Y的一组观察值为 (xi，yi) (i=1，2，n) 且回归直线的方程为y=bx+a当变量x取xi (i=1，2，n)时，可以得到：(i=1，2，n)，y=bxi+a，它与实际收集到的yi之间的偏差是：，(i=1，2，n)， 可见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用n个偏差的平方和表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，记(为连加符号)。上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值。这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。由此引出对最小二乘法的介绍。3. 最小二乘法用最小二乘法求回归直线方程中a，b有下面的公式：其中同样a，b的上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。4. 样本中心由于y=bx+a，故巧合的是：(xi，yi) (i=1，2，n)的中心点（x，y）在回归直线上，x处的估计值为y=bx+a.通过例题的讲解，加深对所学知识的理解和记忆。例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：（1）画出表中数据的散点图；（2）求Y对x的回归直线方程；（3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是多少？解：（1）散点图如下（2）根据公式求腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程。计算a，b的值.由上表分别计算x，y的平均数得写出回归方程为y=0.304x+5.346.（3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间为100s时，y=0.304100+5.346=38.86(m)，即腐蚀深度约为38.86m。三、总结求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表x，y，xi，yi；第二步：计算；第三步：代入公式计算b，a的值；第四步：写出直线方程，求解并预测实际生活问题。四、巩固练习1.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2C，预测这天卖出的热饮杯数。2.为了了解学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学数学成绩与期末数